1、通項公式求解方法大全我現在總結出幾種求解數列通項公式的方法，希望能對大家有幫助。、觀察法已知數列前若干項，求該數列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規律，從而 根據規律寫出此數列的一個通項。1111(答：例1.已知數列3,5-,7 ,9, 試寫岀其一個通項公式：481632an 2n 112* 1 )1例 2、(1)2,4,8,132,3 7 15 311,-,學，丄223 45 6其結構特征是：分母,丄,23,厶；5 2 11 7 17(4)2,5,10,17,26,1 1(5)1 2,23 4'4 5''2, 4, 8, 16, 32,，可(1)觀察數列的結構特

2、征，每一項都是一個分式，分母是數列n用項數表示為2，分子是數列1 , 3, 7, 15, 31,，每一項比對應的分母少1,可用項數表示為21,所以,所求的數列的通項公式是an2n 1V(2)這個數列即:與項數相同；分子是2加上或減去I，即2(1/;各項的符號為負、正相間，即為(1)0.所以，所求的通項公式是an(1)".J#；ann 2 ；3n 2；觀察數列的項，這個數列可以按分母、分子由小到大重新排列為：3 4 5_IL5,8,11,14,17,分母、分子各自成等差數列，顯然，其通項公式為a n21；(4)每一項都是項數的平方加上 1,其通項公式為內 n '；an(5)通項

3、公式是(1)n . n(n 1).仔細觀察各項，不難發現其項與項之間有如下規律a?a12; a3a2a34 a5 a45anann.ana12ai)3 a2)4a3)(anan 1)123類型n(n 1) n2遞推公式法1an 1 an f (n)解法：把原遞推公式轉化為an 1 anf (n)，利用累加法(逐差相加法)求解。例1.已知解an滿足an 1lnan是首項為1,2，而且公差為a11，求通項2的等差數列，例2.已知-an 12n 1an 中,ai_14n2，求通項解 由已知可得an aan14n2 1an。2n 1 2n 1令 n 1,2,3,，n1，代入后1個等式迭加，即ana1a

4、2an 1 an 2arlnan 112n 512n 312n 312n 14n2n 14n 2例3.在數列 an中,a1=1，an an 11 (n=2、3、4求 an的通項公式。解： na2a11a3a22a4a33這n-1個等式累加得：an a1 1 2 .(n-1 )=1時,an 1n(n 1)2ana1n2 n 2且a11也滿足該式 an(n N ).類型2 an1f(n)an解法：形如anan 1f(n) (n=2、3、4),且f(1) f (2). f(n 1)可求，則用累乘法求an 。1、1已知an滿足a. 1a.,而a 2，求通項a.。2an 1an12是常數，an是以2、在

5、數列 a,中,解：由已知得加ana? a3 a4a1 a2 a3n2為首項，公比為-的等比數列。2a1=1,耳 1 nq，求 an。n ，分別取n=1、2、3 (n-1),代入該式得n-1個等式累乘，即=1 x 2 x 3X-X (n-1)=( n-1)!所以時， (n 1)!故an(n 1)!a1且a 0! =1也適用該式二an(n 1)!(n N ).例3、在數列an中，3 2,an 1 an，求通項公式an。n解法nn1an 1nn1an 2n1n2nn1n2an 33n1n2nnn1n23a2n1n2n32nn1n232n1n2n322nnan解法二：由am丄an 旦 L n 2nan

6、 ! n 1an2 an 1 an 2an 332a2n類型3 an 1 pan q （其中P, q均為常數,(pq(p 1)o）。解法（待定系數法）：把原遞推公式轉化為:an1 tp(ant），其中t，再利用1 P換元法轉化為等比數列求解。 例1、 數列an中，a,1，對于n有 an 3an 12，求通項an °解法1由已知遞推式得an 1 3an2,a3an 12兩式相減得an 1an3 anan 1因此數列aan是公比為3的等比數列，其首項為a2 aan 1an4 3n 1丁 an 1 3an 2, 3an 2 a, 4 3n 1 an 2 3n1 1解法上法得an 1 an是

7、公比為3的等比數列，于是有a2a14, a3 a24 3, a4a31個等式相加得24 3，an4 3n1解法解法anana11 3 323n4 13n 1設遞推式a整理比較得于是得an所以anan3an 12 2t1 3 an2化為aan 1 t，即tan 1是公比為3的等比數列,其首項為a11 2 3n3an 123 3an 232 3an 33n1即 an 2 332an23a13n 23n 113n1 2 313 13 233a2 3n1 2233 2 33 22332 3n 11解法1、2、3稱為構造法，但法1與法3構造出的等比數列不同,各有千秋；解評注法4稱為迭代法，對很多遞推式求

8、通項公式都適用，應認真理解掌握。類型 4 an 1 pan qn (其中 p, q 均為常數，(pq(p 1)(q 1) 0)。(或an 1 pan rqn,其中p, q, r均為常數)°引入輔助數列S （其中bnn ），得：bn 1bn11再待定系數法解決。qqq例1、 已知由5an 中，a1,an 1n 111an1，求通項a6n 132解在am 3an2兩邊同乘以廠得12an 12n2 an 1，令bn2nan3則 bn 1tnbnbn 13nnn2bn11bn 32, an32 -32n23類型5遞推公式為an 2pan 1qan（其中p，q均為常數）。解法：一般地，要先在原

9、遞推公式兩邊同除以qn 1，得:p ?an nq q解法一（待定系數法）：先把原遞推公式轉化為 an 2 san 1 t（an 1 san）其中s，t滿足s t p st q解法二（特征根法）：對于由遞推公式an 2 pan 1 qan，a1,a2給出的數列an ， 方程x2 px q 0，叫做數列 an的特征方程。若x1 ,x2是特征方程的兩個根，當x1 x2 時，數列 an的通項為an Ax；1 Bx2 1，其中 A，B由a1 旦 決定（即把a1,a2,X1,X2和n 1,2，代入an Ax? 1 Bx2 1，得到關于A、B的方程組）；當捲 X2時, 數列an的通項為an （A Bn）x：

10、 1，其中A,B由a a? 決定（即把682,為公2 和n 1,2，代入an （A Bn）x： 1，得到關于A、B的方程組）。方法：an 2 pan 1 qan變形為an 2ama.! 4，即 比2% 比，若P有解，解得，于是數列an !an是公比為的等比數列，即轉化為前q面的類型，從而達到求解的目的。例1、已知數列an中,ai1,a22, an2an 13爲，求a3解：由1an3化為an 2an 1 an所以數列an是公比為1丄的等比數列，首項是3a11所以a所以aanana.ana2a a1類型6 遞推式為f (n)。例1、 在數列an 中，Sn表示其前n項的和,Sn，求通項an。1時,1

11、。2 時，an Sn Sn12 2n (n 1)2n故an2n 1類型7遞推公式為Sn與an的關系式。（或Snf(an)用anS1SnSn 1(n(n2：與anSn& 1 f (an )f (an 1)消去 Sn (n2）或與Snf(Sn Sn1) (n 2)消去 an進行求解。例1、在數列 an中，解 由Sn 2 3anSn1 2 3兔1S表示其前n項的和，且S 2 3a，求通項an。兩式相減得£ £ 1 an3(an an 1)( n 2)即 4an 3an 1瑩 3( n 2)an 14類型 8 an 1panan b (p1、0,a0)解法:這種類型一般利用

12、待定系數法構造等比數列，即令an 1x(n1) yp(anxny)，與已知遞推式比較，解出x,y ,從而轉化為an xn y是公比為p的等比數列。例1數列ana14, an3an 12n1,(n2)，求 an.解:設bnanAn B，則 an b,n An B，將an,am代入遞推式，得bnAnB3 bn 1A(n 1)B2n 1 3bn 1(3A 2)n (3B 3A 1)A3A2A1B 3B 3,A1 B1取bnannj(1)則bn3bn1,又b 6，故bn 6 3n 1 2 3n 代入(1)得 an 2 3n n 1說明：(1)若f(n)為n的二次式，則可設bn an An2 Bn C

13、;(2)本題也可由an3an 1 2n 1,an 13an 2 2(n 1)1(n3) 兩式相減彳anan 13(an 1an2)2轉化為bn 2pbn 1 qbn 求之類型9 an 1 pa：(p0,an0)解法:這種類型一般是等式 兩邊取對數后轉化為an1panq，再利用待定系數法求解。例1、在數列an中，2a13,an 1an，求通項公式an。解由題意知數列 an中的各項均為正數，即an0，對等式2an 1an取以3為底的對數，得log3 an 1Iog3a；2log3an，則有"耳12，進而可知數列log 3 an是以log3 3 1為首l0g3 an項，以2為公比的等比數列

14、，則logsan 1 2n1 2n1，故an 3“。類型10 an 1f (n)ang(n)anh(n)解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數后換元轉化為an 1pan q。例1、在數列an中，當a11,an 1an2旳_時，求通項2an。2an1an2an 23n 12an丄丄 112anan 1 an所以2是以1ana11為首項，以1丄為公差的等差數列。2所以丄1an(n1)1評注：在遞推關系aAanBan C（A, B,C,均為常數），若A C ,對其取倒數后得到等差數列;，取其倒數后得到一個新的遞推式1an 11m an其解法于后。例2、已知數列 an中，其中a11,且當n2時,anan

15、12an 1-，求通項公式an。1將anan 12an 11兩邊取倒數得:anan 11這說明丄是一個等差數列,an1首項是a1公差為12，所以1an(n 1) 22n1,即 an12n類型11 anpan ran h解法：如果數列an滿足下列條件：已知a的值且對于nN，都有an 1pan ran中p、q、r、h均為常數，且ph qr,rQd ）,那么，可作特征方程rpx q rx h當特征方程有且僅有一根x°時,則an x°是等差數列；當特征方程有兩個相異的根x1、x2時，則anX2是等比數列。類型12 an對于數列其特征方程為AanBCanDAanBCanDAxBCxD

16、不動點法22變形為Cx若有二異根，則可令a m,nan 1an 1值可求得C值.(A,B,C,D是常數且 C °,AD BC(D A)x B 0 （其中C是待定常數），代入a1，a2 的若有二重根的值可求得C值.1這樣數列 an例1.已知數列an滿足a12,an3n解：其特征方程為XX2x(n23m 1化簡得2x22），求數列an的通項0 ,解得 X11,X23n 3n 113n 113n 1 c -3n 1由a12,得 3245，可得c數列苑1是以31-1為首項，以1為公比的等比數列13i1 333n 111n 13n ( 1)n3n 133，3n3n ( 1)n .例2.已知數列

17、3n滿足31 2,3m 空（n N*），求數列厲的通項 時4an 6解：其特征方程為x，即4x2 4x 10，解得X! X21，令4x 62114 1211 C 3n 2由3132,得32，求得C 1，143n3這樣數列3n是首項為31，公比為C的等比數列，于是這樣可求得3n1 1 C，則可令an 1an（其中C是待定常數），代入q,a21是首項為an，公差為C的等差數列，于是這樣可求得.anaian1-y2135nan10n 6類型13 an 1an(n1) 1pn q 或 an解法：這種類型一般可轉化為1"323，51 ana2n 1 與-為首項，以1為公差的等差數列，5npqa2n是等差或等比數列求解。類型14雙數列型解法：根據所給兩個數列遞推公式的關系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。類型15周期型解法：由遞推式計算出前幾項，尋找周期。三、換元法24an), a11，求數列an的通項公式。1l例1已知數列an滿足an 1(1 4an ,1解：令 bn . 124an，則 a.故an 11 224(bn1 1)，代入 an汕4an124an)得即 4b： 1因為bn則 2bn 11)和 42>2(bn 3)24an