1、固體物理學答案第一章晶體的結構第一章、晶體的結構習 題1.以剛性原子球堆積模型，計算以下各結構的致密度分別為：(1)簡 立方，?3;(2)體心立方，?;6822?;(4)六角密積，?; 663?; 16 (3)面心立方，(5)金剛石結構，解答設想晶體是由剛性原子球堆積而成，一個晶胞中剛性原子球占據的體積與晶胞體積的 比值稱為結構的致密度，設n為一個晶胞中的剛性原子球數,r表示剛性原子球半徑，V表示晶胞體 4n?r3積，則致密度?二3V (1)對簡立方晶體，任一個原子有6個最近鄰，若原子以剛性球堆積， 如圖1.2所示，中心在1, 2, 3, 4處的原子球將依次相切，因為 3a?4r, V?a3,

2、面1.2簡立方晶胞晶胞內包含1個原子，所以9= 433? (a2)a3?6(2)對體心立方晶體，任一個原子有8個最近鄰，若原子剛性球堆積，如圖1.3所示，體心位置0的原子8個角頂位置的原子球相切，因為晶胞空間對角線的 長度為3a?4r,V?a3,晶胞內包含2個原子，所以9= 2*43?(a33a34)?3? 8圖L3體心立方晶胞(3)對面心立方晶體，任一個原子有12個最近鄰，若原子以剛性球堆積，如圖L4 所示，中心位于角頂的原子與相鄰的3個面心原子球相切，因為2a?4r,V?a3, 1個晶胞內包含4個原子，所以9= 4*43?(a32a34)?2?. 6圖1. 4面心立方晶胞(4)對六角密積結

3、構，任一個原子有12個最近鄰，若原子以剛性球堆積，如圖1。5 所示，中心在1的原子與中心在2, 3, 4的原子相切，中心在5的原子與中心在6, 7, 8 的原子相切，圖L5六角晶胞圖L6正四面體晶胞內的原子0與中心在1, 3, 4, 5, 7, 8處的原子相切，即0點與中心在5, 7, 8 處的原子分布在正四面體的四個頂上，因為四面體的高c2a?2r?h=2 332 晶胞體積 V= ca2sin60?32cat 2 一個晶胞內包含兩個原子，所以P =a32*43?(2) 32ca2?2?. 6 (5)對金剛石結構,任一個原子有4個最近鄰,若原子以剛 性球堆積，如圖1.7所示，中心在空間對角線四

4、分之一處的0原子與中心在1, 2, 3, 4 處的原子相切，因為3a?8r,晶胞體積V?a3,圖1. 7金剛石結構一個晶胞內包含8個原子，所以8*43?(33a)3?8?. 316a解答2.在立方晶胞中，畫出(102) , (021) , (122),和(210)晶面。99 圖L8中虛線標出的面即是所求的晶面。3 .如圖1.9所示，在六角晶系中，晶面指數常用(hkml)表示，它們代表一個晶面 在基矢的截距分別為ala2a3c,在C軸上的截距為Ihkm 證明：h?k?m 求出 O,A1A3,A1A3B3B1,A2B2B5A5 和 A1A3A5 四個面的面指數。圖1. 9六角晶胞對稱畫法解答設d是

5、晶面族(hkml)的面間距，n是晶面族的單位法矢量，晶面族(hklm)中最靠近原點的晶面在ala2a3, c軸上的截距分別為al/h, a2/k, a3/m, c/1所以有al?n=hd, a2?n=kd,a3?n=md.因為a3?(a2?a3),所以a3?n? (a2?a3) ?n。由上式得到md=? (hd?kd).即m?(h?k),由圖可得到：05 A1A3晶面的面指數為(1121)A1A3B3B1面的面指數為(1120)?A2B2B5A5晶面的面指數為(1100)?A1A3A5晶面的面指數為(0001)4 .設某一晶面族的面間距為d ,三個基矢al, a2,a3的末端分別落在離原點的距

6、離 為hid, h2d, h3d的晶面上，試用反證法證明：hl, h2, h3是互質的。解答設該晶面族的單位法量為al, a2, a3由己知條件可得al?n?hld, a2?n?h2d, a3?n?h3d,假定hl,h2,h3不是互質數，且公約數p?l即hl?pkl, h2?pk2, h3?pk3kl, k2, k3 是互質的整數，則有 al?n?pkld, a2?n?pk2d, a3?n?pk3d今取離原點最近的晶面上的一個格點，該格點的位置矢量為r?llal?12a2?13a3,由于心定是整數，而且r?n?d?llal?n?12a2?n?13a3?n 于是得到pklll?pk212?pk313?l 由上式可得klll?k212?k313?l p上式左端是整數，右端是分數，顯然是不成立的。矛盾的產生是 P為不等于1的整數的假定。也就是說，p只能等于1,即hl,h2,h3 一定是互質數。5 .證明在立方晶體中，晶列hkl與晶面(hkl)正交，并求晶面(hlklll)與晶面 (h2k212)的夾角。解答設d是為晶面族(hkl)的面間距，n為法向單位矢量，根據晶面族的定義，晶面族(hkl)將a, b, c分別截為h, k, 1等份,即a?