1、曲線積分的計(jì)算法1.基本方法f第一類(對弧長)定積分曲線積分J1轉(zhuǎn)化第二類(對坐標(biāo))C用參數(shù)方程(1) 選擇積分變量用直角坐標(biāo)方程I用極坐標(biāo)方程(2)確定積分上下限下小上大下始上終對弧長曲線積分的計(jì)算定理設(shè)f (x, y)在曲線弧L上有定義且連續(xù),L的參數(shù)方程為，(t )其中y (t), '(t), (t)在,上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且L f (x,y)dsf (t), (t)2(t)2(t)dt( )汪意:1. 定積分的下限一定要小于上限；2. f(x,y)中x, y不彼此獨(dú)立，而是相互有關(guān)的.特殊情形(1) L : y (x) a x b.bi2,f(x, y)ds f x, (x).

2、 1 (x)dx.La(2) L:x(y) c y d.Lf(x,y)ds C f(y),y .12(y)dy.x a cost求Ixyds, L:橢圓(第象限)Ly bsi nt,o2 a cost bsi nt ( asi nt)2 (bcost)2dtab 2 sin t cost a2 sin2t b2cos2 tdt0a 2 b u du (令口a2 sin2t b2 cos21)aba bab(a2ab b2)A12dy °.xyzdq的一段.其中a cos , ya sin ,(02a cossin、.a2 k2dka2 、 a2k2.其中x2ds,為圓周2z0.解由對

3、稱性x2ds2 2y ds z ds.3(a b)求 I l yds,其中 L: y24x,從(1,2)到(1, 2)一段.z2)dsds2 a3(2 ads,球面大圓周長)對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算設(shè)P(x, y), Q(x, y)在曲線弧L上有定義且連續(xù)丄的參數(shù)方程為 (t),當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地由變y(t),到 時(shí)，點(diǎn)M (x, y)從L的起點(diǎn)A沿L運(yùn)動到終點(diǎn)B,(t),(t)在以 及 為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有 一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且2(t)2(t)0,則曲線積分l P(x, y)dx Q(x,y)dy存在，且 l P(x, y)dx Q(x, y)dyP (t), (t) (t) Q (t), (t) (

4、t)dt特殊情形(1)L:yy(x)x起點(diǎn)為a,終點(diǎn)為b.則 PdxLQdybPx,y(x)aQx, y(x)y (x)dx.L:xx(y)y起點(diǎn)為c,終點(diǎn)為d.則 PdxQdydPx(y),yx(y) Qx(y), ydyLc例5計(jì)算L(2a y)dx xdy,其中L為擺線xy a(1 cost)上對應(yīng)t從o至U 2 提示 :(2a y)dx xdy a(1 cost) a(1 cost)dta(t si nt),的一段弧.a(t sint) asintdt2a tsintdt原式2a22 na t si n t d t0t cost sint2 na2例6計(jì)算xyzdz其中由平面y =截球

5、面X2 y2 Z2 1所得,從z軸正向看沿逆時(shí)針方向提示：因在 上有x2 2y2 1， 故rx cost:斗 y 寺 si nt (0 t 2 兀)I z 于int原式=1- 2cos21sin2tdt2P2 0n1 o 42 cos21 (1 cos2 t)d t2 2 02 n16曲面積分的計(jì)算法1.基本方法曲面積分第一類(對面積)|第二類(對坐標(biāo))轉(zhuǎn)化(1) 選擇積分變量 一代入曲面方程第一類：始終非負(fù)(2) 積分元素投影第二類:有向投影(3) 確定二重積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面對面積的曲面積分的計(jì)算法定理：設(shè)有光滑曲面:z z(x, y), (x,y) Dxyf (x, y,

6、Z在 上連續(xù)，則曲面積分 f(xyz)ds存在,且有 f(x,y,z)dS Dxy f(x，y，z(x,y)221 Zx(x,y) Zy(x,y)dxdy例 7 計(jì)算(xy z ) ds ,其中 為2 2平面 yz5被柱面所截得的部分.解積分曲面：z 5 y ,牛 投影域：DXy( x, y) | x2 y225dS、1 zx2 z/dxdyJ 0( 1)2 dxdy2dxdy故 (x y z)dsx 2(5 x) dxdyDxy125、2 .、2 (x y 5 y)dxdyD xy2520 d 0(5 rcos )rdr對坐標(biāo)的曲面積分計(jì)算：一投、二代、三定號2 2例8.計(jì)算曲面積分1 xyzdxdy,其中 為球面 x2 y2 z2 1外側(cè)在第一和第五卦限部分. 解：把 分為上下兩部分(X, y) Dxy2 2x yx 0, yxyzdxd yxyzd xd y22 xy 1 x2 y2 dxd yDxyDxy2r sincos 1sin 2r2 d r例 9 計(jì)算(z2 x )dydz其中藝是旋轉(zhuǎn)拋物面z2(xzdxdyy 2)介于平面zz2之間的部分的下側(cè)2 2(z x)dydz (z x) cos ds上，有1.1x2y22COS八 r r.(z x) dxdy在曲面 cosxcos , cos2 21