1、等差數列超難題作者:日期:2013年4月天哥的高中數學卷一 .選擇題（共30小題）1. （2012?市中區）已知a20io與a20ii是首項為正數的等差數列 an相鄰的兩項，且函數 y= （x-a20io） （x-a20ii）的圖象如圖所示，則使前 n項和Sn>0成立的最大自然數 門是（ ）A. 40i7B. 40i8C. 40i9D. 40202. （20i27t口）等差數列an的公差dvQ且已；二耳仁，則數列an的前n項和Sn取得最大值時的項數 門是（ ）A.5B.6C. 5或 6D.6或 73. （20i2?中區）在函數y=f （x）的圖象上有點列xn, yn,若數列xn是等差數列

2、，數列yn是等比數列，則 函數y=f （x）的解析式可能為（）A. f （x） =2x+1 B. f （x） =4x2C. f （x） =log3x D. f（制=衛工4. （2011?!西）設an為等差數列，公差 d=-2, sn為其前n項和，若si0=sii,則ai=（）A. 18B. 20C. 22D. 245. （2009?安徽）已知an為等差數列，ai+a3+a5=105, a2+a4+a6=99,則 a20 等于（）A. - 1B. 1C. 3D. 76. （2005?黑龍江）如果數列an是等差數列，則（）A.ai+a8>a4+a5B.ai+a8=a4+a5C.ai+a8&l

3、t; a4+a5D.aia8=a4a57. （2004?陜西）設數列an是等差數列，a2=-6, a8=6 , Sn是數列an的前n項和，則（）A.S4VS5B,S4=S5C,S6VS5D,S6=S58. （2004?國建）設Sn是等差數列an的前n項和，若 當昭則a（）9 S5A. 1B. - 1C. 2D. 19 .等差數列an中，Sn是前n項和，且S3=S8, S7=Sk,則k的值為（）A. 4B. 11C. 2D. 1210 .在等差數列an中,ai>0, ai0?ai0,若此數列的前 10項和S10=36,前18項和S18=12,則數列|an|的前18項和T18的值是（）A.

4、24B. 48C. 60D . 8411 .設Sn是等差數列an的前n項和，若a1>0, S8=S13, Sk=0 ,則k的值為()A. 18B. 19C. 20D. 2112 . an是等差數列，且 a1+a4+a7= - 12, a2+a5+a8=-6,如果前n項和sn取最小值，則 門為（）A. 5 或 6B. 6 或 7C. 7D. 513 .在4ABC中，角A、B、C的對邊分別為 a、b、c,如果a、b、c成等差數列，B=30° , AABC的面積為則b等于（）a. |1+71 b. |2+71 c l+Va d. 2+V32214.已知等差數列若七十%十以十%十和則d

5、7一4g的值為（）A. 1B. 2C. 3D. 415.若數列an是等差數列，且 a1+a8+a15= %,則 tan （a4+a12）=（）A.立B. 一皆C.3D. _V316.等差數列an的前n項和Sn=a1+a2+-+an,若 S10=31 , S20=122 ,貝U S40=()A.182B. 242C.273D. 48417.5在數歹U an中，an=4n - , a1+a2+an=an +bn , n N ,其中 a, b 為常數，則 ab 等丁（）A.1B. - 1C.2D. - 218.等差數列an中，Sn 其前n項和，a1=-2008 時,2湍一2擺心則S2。8的值為（）A

6、.-2006B. 2006C.-2008D. 200819.若Sn是等差數列an的前n項和，且S8- S3=20,則S11的值為（）A.44B. 22C.20UD. 88320.已知等差數列an中，Sn是前n項和，若S16>0且S17V0,則當Sn最大時，n的值為（）A.16B. 9C.8D. 1021 .等差數列an的前n項和為Sn,若a9<0, a1Q>0,則下列結論不止確的是（）A. S10>S9B . S17V0C.S18>S19D. S19>022.在等差數列an中，若a3+a8+ai3=c,則其前n項和Sn的值等于5c的是（）A. S15B. S

7、17C. S7D. S823 .已知等差數列an中，ai=11,前7項的和S7=35,則前n項和Sn中（）A.前6項和最小B.前7項和最小C.前6項和最大D.前7項和最大24 .設Sn是等差數列an的前n項和，公差d<0,且a3+aii=0,則下列關系式成立的是（）A.S6>S7B,S6VS7C,S6=S7D,S14>025 .等差數列an各項為正數，公差為 2,前n項和為Sn,若J3也是等差數列，則 ai=()A. 1B. 2C. 3D. J226 .已知等差數列an滿足a1+a2+a3+ - +a11=0,貝U有()A. a1+a11>0 B. a2+a10<

8、0C. a3+a9=0D . a6=627 .已知數列an是等差數列，若 a1+a5+a9=2兀，則cos （ a2+a8）的值為（）A. _llB. _ V3 C _1D.安1 228 .已知數列an為等差數列，且 a1+a7+a13=4兀，則tan （a2+a12）的值為（）A.-爪 B. V3C. ±V3 D.登s 11 忖|s 1 d29 .在等差數列an中，其前n項和是Sn,若S15>0, S16<0,則在一，一，中最大的是（a1七力57 / 1630. 一個三角形的三個內角A、B、C成等差數列，那么tan （A+C）的值是（C. _7| D.不確定一萬2013

9、年4月天哥的高中數學卷參考答案與試題解析一 .選擇題（共30小題）1. （2012?市中區）已知a2010與a2011是首項為正數的等差數列 an相鄰的兩項，且函數 y= （x-a2010）（x-a2011）的圖象如圖所示，則使前n項和Sn>0成立的最大自然數 門是（）考點： 專題： 分析：數列與函數的綜合；等差數列的前 計算題；綜合題.由題意利用等差數列的性質可得圖象得 a2010+a2011=a1+a4020V 0,n項和.a2010>0,且 a2011<0,推出 S4019>0, S4021V0,再根據可得S4020V0.從而可得答案.解答:解：由題意可得：a20

10、10> 0, 且 3201K 0,又 S4019=al + a4019)乂489 2cl0 X4019=4019 >a2oio>0,根據函數圖象的對稱軸為 故選C.2. （2012日口）等差數列an的公差dvQ且a；=a七,則數列a n的前n項和Sn取得最大值時的項數 n是（）A. 5B. 6C. 5 或 6D. 6或 7考點： 專題： 分析：等差數列的前n項和；等差數列的通項公式. 計算題.由 d<0,知ai+aii=0.由此能求出數列an的前n項和Sn取得最大值時的項解答:知 a1+a11=0.,"a6=0,故選C.3. （2012加中區）在函數y=f （

11、x）的圖象上有點列xn, yn,若數列xn是等差數列，數列yn是等比數列，則函數y=f （x）的解析式可能為（=2x+1 B. f (x) =4x)2C. f (x) =log3xD.考點： 專題： 分析：等差數列的性質；函數的表示方法；等比數列的性質. 計算題.把點列代入函數解析式，根據xn是等差數列，可知xn+1 - xn為常數進而可求得的結果為解答:對于函數f（X）= （3）上上的點列Xn, yn,4有yn= （ ） xn.由于Xn是等差數列，所以 xn+1-xn=d,4故選D4. (2011江西)設an為等差數列，公差 d=-2, sn為其前n項和，若si0=sii,則ai=()A.

12、18B. 20C. 22D. 24考點：等差數列的性質.專題：計算題.分析：由等差數列的前10項的和等于前11項的和可知，第11項的值為0,然后根據等差數列的通項公式，利用首項和公差 d表示出第11項，讓其等于0列出關于首項的方程，求出方程的解即可 得到首項的值.解答：解：由S10=S11,得至U a1+a2+ +a10=a1+a2+ +a10+a11即 an=0,所以 a1 - 2 （111） =0, 解得a1=20.故選B5. （ 2009汝徽）已知an為等差數列，a1+a3+a5=105, a2+a4+a6=99,則 a20等于（）A. - 1B. 1C. 3D. 7考點：等差數列的性質

13、.專題：計算題.分析：根據已知條件和等差中項的性質可分別求得a3和a4的值，進而求得數列的公差，最后利用等差數列的通項公式求得答案.解答：解：由已知得 a1+a3+a5=3a3=105,a2+a4+a6=3a4=99,1- a3=35, a4=33, . d=a4-a3= - 2.a20=a3+17d=35+ （-2） X17=1 .故選B6. （2005然龍江）如果數列an是等差數列，則（）A. a1+a8>a4+a5 B. a1+a8=a4+a5C. a+a8a4+a5 D . a1a8=a4a5考點：等差數列的性質.分析：用通項公式來尋求 a1+a8與a4+a5的關系.解答：解：a

14、1+a8- （a4+a5）=2a1+7d （ 2a1+7d） =0a1+a8=a4+a5，故選B7. （2004微西）設數列an是等差數列，a2=-6, a8=6 , Sn是數列an的前n項和，則（）A. S4S5B. S4=S5C. S6<S5D. S6=S5考點：等差數列的性質.分析：先由通項公式求 ai, d,再用前n項和公式驗證.解答：解：a2= -6, a8=6-ai+d= -6, ai+7d=6得 ai= - 8, d=2S4=S5故選B8. （2004淅建）設Sn是等差數列an的前n項和，若則=（）為9 S5A. 1B. - 1C. 2D. 12考點：等差數列的性質.專題：

15、計算題.分析：充分利用等差數列前n項和與某些特殊項之間的關系解題.解答：解：設等差數列an的首項為ai,由等差數列的性質可得ai+a9=2a5, ai+a5=2a3, =1=23 x-=i ,s55a3 59故選A.9.等差數列an中，Sn是前n項和，且S3=S8, S7=Sk,則k的值為（）A. 4B. 11C. 2D. 12解答：解： an為等差數列，S3=S8,a4+a6+a8=0,，a6=0；將 k=4,代入 S7=Sk,有 S7-S4=a5+a6+a7=3a6=0,滿足題意；若 k=2 , S7=S2,則 a3+a4+a5+a6+a7=0, . . a5=0,與題意不符；若 k=11

16、 , a8+a9+a1c+an=0 ,不能得出 a6=0,若 k=12 , a8+a9+a10+a11+a12=c , /. a1c=c,與題意不符；可以排除B、C、D.故選A.10.在等差數列an中,a1>c, a10?ai1< 0,若此數列的前10項和S10=36,前18項和S18=12,則數列|an|的 前18項和T18的值是（）A. 24B. 48C. 60D. 84考點：等差數列的性質.專題：計算題.分析：根據已知條件，求出其正負車t折項，然后再求數列|an|的前18項和.解答：解：: a1>0, a10?an< 0, d< 0, a10>0, a

17、11<0,10 / 16，Ti8=ai+ai0ailai8=sio- （ S18 S10） =60.故選C.11.設Sn是等差數列an的前n項和，若ai>0, S8=Si3, Sk=0,則k的值為（）A. 18B. 19C. 20D. 21考點：等差數列的性質.專題：計算題.分析：先利用等差數列的求和公式表示出Sn,判斷出Sn的圖象為開口向下的拋物線y=Ax2+Bx上橫坐標為正整數的點，推斷出函數圖象的稱軸，利用點的對稱性求得S21=0,推斷出k的值.解答：解：: Sn是等差數列an的前n項和，Sn=An2+Bn , Sn的圖象為開口向下的拋物線y=Ax 2+Bx上橫坐標為正整數的

18、點，拋物線的對稱軸為*0=口£=幻, 22點（0, 0）與（21, 0）關于直線x0丹對稱，1- S21=0,即 k=21 .故選D.12 . an是等差數列，且 a1+a4+a7= - 12, a2+a5+a8= - 6,如果前n項和sn取最小值，則 門為（）A.5 或 6B. 6 或 7C. 7D. 5考點：等差數列的性質.專題：計算題.分析：設等差數列的公差為 d,根據aI+a4+a7= - 12, a2+a5+a8=-6,求出a1和d,則得到等差數列的前n項和的公式，根據二次函數求最小值的方法求出Sn的最小值即可.解答：解：設等差數列的公差為 d,根據a1+a4+a7= -

19、12, a2+a5+a8= - 6,得到：3a1+9d=-12, 3a1+12d=-6;聯立解得 a1 = - 10, d=2.所以 an= - 10+2 （n-1） =2n - 12所以等差數列J an的前n項和為sn=n211n= （n £） 2 一或1,24因為n為正整數當n=5或n=6時，Sn達到最小值.故選A.13 .在4ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,如果a、b、c成等差數列，B=30° ,AABC的面積為總,2則b等于（）A. |l+VsB. |2+Vs考點：等差數列的性質；解專題：計算題.分析：由余弦定理得出b消去a, c,解關于解答：解：由余

20、弦定理得又 S/ABC=±acsinE. a、b、c成等差婁c. i+y3d.2W3221三角形.2=a2+c22accosB= (a+c) 2- 2ac- 2accosB,由已知 ac=6, a+c=2b 代入后 b的方程即可.b2=a2+c2- 2accosB= (a+c) 2- 2ac- 2accosB(D,3二-1ace,ac=6, 42攵列， a+c=2b,，將代入得b2=4b2-12-6月，化簡整理得9 / 16b =4+2V3,解得 b=1 + 故選A.14,已知等差數列%若%+叼十% + %十240,貝I/一日g的值為()A. 1B. 2C. 3D. 4考點：等差數列

21、的性質；等差數列的通項公式.專題：整體思想.利用等差數列的性質和通項公式，將a2+a4+a6+a8+ai0用ai和d表示，再將a7-且a8用ai和d表示，從中尋找關系求解.解答：解：an為等差數列，設首項為 ai,公差為d,a2+a4+a6+a8+aio=5a6=5ai+25d=40 ;ai+5d=8,. 1,17. 1 ,. a7a8=ai+6d ( ai+d) = (ai+5d) =4;22 |2|2故選D.點評：本題考查了等差數列的性質和通項公式，用到了基本量ai與d,還用到了整體代入思想.i5.若數列an是等差數列，且 ai+a8+ai5= %,則 tan (a4+ai2)=()A.

22、V3B. -VS C.亞D. _V3T考點：等差數列的性質；任意角的三角函數的定義.專題：計算題.分析：根據數列是一個等差數列，根據等差數列的等差中項的性質，得到a4+ai2=ai+ai5,且第8項是它們的等差中項，得到要求正切的角的大小，根據特殊角的三角函數得到結果.解答：解：:數列an是等差數列，且 ai+a8+ai5=7t,力 .“ 2n-a4+ai2=ai+ai5=, 3.tan ( a4+ai2) =tan 二：二一 '痣故選B.i6.等差數列an的前 n 項和 Sn=ai+a2+an,若 Sio=3i, S20=i22,則 S40=()A. i82B. 242C. 273D

23、. 484考點： 專題： 分析：解答:等差數列的性質.計算題.根據等差數列前n項和Sn=an2+bn ,則有31S40= 一 訪X 150Q+百共 40484 解：設 Sn=an2+bn,放出 f100a-M0b=31則有,400a+20b=122C L00a-M0b=311400a20b=122,求出a、b的值，由此可知解得心言，- S40=-X 1600+X40-434故選D.n玳,其中a, b為吊數，則ab等于()D. 一2217.在數歹U an中，an=4n -ai+a2+an=an+bn ,A. 1B. - 1C. 2考點：等差數列的性質.專題：計算題.分析：解法一：根據所給的數列的

24、通項，代入n=1,得到數列的首項，代入 n=2,得到數列的第二項,用這兩項寫出關于 a, b的方程組，解方程組即可， 解法二：根據首項的值和數列的前n項之和，列出關于 a, b的方程組，得到結果.解答：解：法一：n=1時，a1J,2. ./a+b,2當 n=2 時，裂=卷，-+-=4a+2b,由得，a=2, b= - -,ab= - 1.2:. ii -：,2al, Sn=!_=2n222又 Sn=an2+bn, .1- a=2, b=-7j,ab= 1.故選B.18.等差數列an中，Sn是其前n項和，a1=- 2008時,A. - 2006B. 2006C. - 2008$叨5_ 32叩g2

25、0072005-D. 2008則S2008的值為(分析:解答:根據等差數列的前n項和的公式分別求出S2007和S2005的值，將其值代入到S理07 . 2005 2007 2005即可求出公差d,然后根據首項為-2008,公差為2算出S2008的值即可.解：因為 S2007=2007 X ( 2008) |2。7：,。吟,S2005=2005 X ( 2008) +2005X2004d,則 $20口, - 005=2007 X ( - 2008) +一口了' 2Q0E d - 2005 x ( - 2008) +Q'-'5X S004 d=22007200522|2qq

26、o x 9007化簡可得 d=2 .則 S2008=2008 X (- 2008) +X2=2008 X (- 2008+2007) = - 200819.若Sn是等差數列an的前n項和，且S8- S3=20,則S11的值為（）A. 44B. 22C.迎D. 88分析:"V由于S8 - S3=a4+a5+a6+a7+a8,結合等差數列的性質 a4+a8=a5+a7=2a6可求a6,由等差數列的求和公11 ( a 1 4- a 11 )S11=11a6 ,運算求得結果.2解答：解：S8 S3=a4+a5+a6+a7+a8=10由等差數列的性質可得，5a6=10a6=2 . 、，一211

27、（ fiii）由等差數列的求和公式可得S11=1=11a6=22 ,|2故選B.20.已知等差數列an中，Sn是前n項和，若S16>0且S17V0,則當Sn最大時，n的值為（）A. 16B. 9C. 8D. 10考點：等差數列的性質.專題： 分析：計算題.根據所給的等差數列的 S16>0且S17V 0,根據等差數列的前 n項和公式，看出第九項小于0,第八項和第九項的和大于 0,得到第八項大于 0,這樣前8項的和最大.解答：解：二.等差數列an中，S16>0且S17V01- a8+a9>0,a9V 0,a8>0,，數歹U的前8項和最大故選C.點評：本題考查等差數列的

28、性質和前n項和，本題解題的關鍵是看出所給的數列的項的正負，本題是一個基礎題.21.等差數列an的前n項和為Sn,若a9<0, a10>0,則下列結論不正確的是（）A. S10>S9B. S17<0C. S18>S19D. S19>0分析：先根據題意可知前 9項的和最小，判斷出S18=S19-a19,進而可知 S15>S16,判斷出A正確；根據題意可知數列為遞減數列則a19>0,又C不正確；利用等差中項的性質和求和公式可知(丹a 2 7)乂 17 2%為17Z2S17=17a9<0,（力+3相）X192a10X19=22=19a10>考

29、點：等差數列的性質.專題：計算題.0,故BD正確.解答：解：根據題意可知數列為遞減數列，a9<0, a10>0,前9項的和最小，故 A正確，'1 ai9> 0S18=S19 a191S18<S19,故 C 不正確.故選C.點評：本題主要考查了等差數列的性質.考查了學生分析問題和演繹推理的能力.綜合運用基礎知識的能力.22.在等差數列an中，若a3+a8+ai3=C,則其前n項和Sn的值等于5c的是()A. S15B. S17C. S7D. S8考點：等差數列的性質.專題：計算題.分析：先利用等差數列的性質：若 m+n=p+q則有am+an=ap+aq求出a8,在

30、再利用等差數列的前 n項和公式表示出S15,將a8的值代入求出值得到選項.解答：解：,一等差數列an中，若a3+a8+ai3=c3a8=C-(Si + a1Fr) 乂15-S15=q=5C故選A點評：解決等差數列的一些項的和的問題，一般利用等差數列的性質：若 m+n=p+q則有am+an=ap+aq；解決等比數列的一些項的積的問題，一般利用等比數列的性質：若 m+n=p+q則有am?3n=ap?aq23 .已知等差數列an中，ai=11,前7項的和 卜=35,則前n項和Sn中()A.前6項和最小 B.前7項和最小 C.前6項和最大 D.前7項和最大考點：等差數列的性質.專題：計算題.分析：先根

31、據等差數列白求和公式和S7的值，求得公差d,進而求得數列的通項公式，要使前 n項和最大，只需an>0,進而求得n的范圍.解：由等差數列求和公式S7=7X11+, d=35可得d=-2,則 an=11+ (n-1) x( 2) =13 - 2n, 要使前n項和最大，只需sn>o即可， 故13-2n>Q解之得nW6.5 故前6項的和最大.故選C.點評：本題主要考查了等差數列的性質和數列與不等式的綜合運用.考查了學生對等差數列基礎知識如通項公式，求和公式等的理解和運用.15 / 1624 .設Sn是等差數列an的前n項和，公差d<0,且a3+aii=0,則下列關系式成立的是(

32、A . S6>S7B. S6VS7C. S6=S7D. S14>0考點： 專題： 分析： 解答:點評:本題主要考查等差數列的定義和性質，求出a7=0是解題的關鍵，屬于基礎題.25.等差數列an各項為正數，公差為2,前n項和為Sn,若也是等差數列，則 ai=(A. 1B. 2C. 3考點： 分析：等差數列的性質.先由等差數列求得Sn,再求得十二，再采用驗證法即可.等差數列的性質；等差數列的前n項和.計算題；等差數列與等比數列.由題意可得 a3+aii=0=2 a7,故a7=0 ,從而可得 S6=S7.解：由題意可得 a3+aii=0=2 a7,a7=0.再由公差d<0可得 S6=S7 ,故選C.解答:解：.等差數列an各項為正數，公差為 2Sn=nai+n (n T )5 (0-1)采用驗證法: 當ai=1時，購二n是等差數列.故選A點評:本題主要考查等差數列的概念及選擇題的解法.26.已知等差數列an滿足ai+a