1、第三章習題解答1.設隨機變量（X, Y）的聯合分布為10A.若X, Y相互獨立，則（B. aD. a解：根據離散型隨機變量獨立性的定義,（1/9+a）得：a=2/91顆和第2顆骰子出現px=1y=2=px=1py=2 即：1/9= （1/6+1/9+1/18）px=1y=3=px=1py=3得：b=1/91B.PX =Y=362 .同時擲兩顆質體均勻的骰子，以X, Y分別表示第 的點數，則（A ）.A. P X =i,Y = j =, i, j =1,2,6361C.P X =Y=一 21D. PX <Y=-2解：根據離散型隨機變量獨立性的定義,111P X =i,Y = j = pX

2、=i pY = j = = , i, j =1,2,66636因為所有的樣本點為(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 一直到(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)共 36 個15X=Y共6個，故B選項PX =Y=,則C選項P X #Y=- 6621X。的樣本點數為21個,PXY=3?3 .若 X N （9,。：）,丫 N （也,仃2）,且 X, Y相互獨立，貝 （ C ）.A. X Y N（1 2,（二1；，）2） B.X Y N

3、 （L -.；2,二12 一二：）C.X -2Y N （1 22,二 12 - 402） D.2X Y N （2二1 -2,2 二 12 0 22）參看課本69頁推論2 ：隨機變量X i N （匕，仃：）（i =1, 2n）,且X1, X2，Xn相互獨立，常數a1,a2,an不全為零,則有n'、aiXi Ni 1n nn22|Z ai，Z aei 44.已知 X - N (3, 1),Y N (2, 1)且 X Y相互獨立，記 Z = X 2丫十7, 則z ( A ).A. N (0,5) B. N (0,12) C. N (0,54) D. N ( -1,2)Ji0 _ x, y _

4、 4其它5.已知(X, Y)的密度函數為C sin( x y), f (x, y)=0,則C的值為(D).A. 1 B. C.2 -1 D. . 2 1解：根據二維隨機變量密度函數的性質：- f(x, y)d xdy =1J _jqQHRL即：j4 j4 csin( x 十 y)dxdy =1 解得：c= V2 +1-0 0Ae y)6 .為使f (x, y)=0,x,y 0 其他則A必為(B ).A. 0B. 6C. 10解：同上題類似為二維隨機向量(X, 丫)的聯合密度,D. 167 .設(X,Y)的密度函數為32xy f (x, y) = 20,0<x<2,0<y &l

5、t;1,則(x, 丫)在以其他(0,0), (0,2), (2,1)為頂點的三角形內取值的概率為(C ).A. 0.4B. 0.5C. 0.6 D. 0.8解：以(0,0), (0,2), (2,1)為頂點的三角形內，密度函數解析式不唯以(0,0), (0,1), (2,1)為頂點的三角形內,32f(x,y) 二 一 xy2以(0,1), (2,1), (0,2)為頂點的三角形內,f (x, y) = 0所以,21 32p = dx x xy dy =0.6 - 0- r2 28 .設(X , Y )的聯合密度函數為, 11,1 _ x ：二二，一：二 y ：二 xf (x, y) = 2x

6、yx、0, 其它判斷X與丫是否相互獨立.解：根據課本62頁定理1,先求fx(x), fy(y),然后看fx(x) fY(y) = f (x, y)是否成立。經判斷，不獨立9. 一個袋中有4個球，分別標有數字1、2、2、3,從袋中隨機取出2個球, 令X、Y分別表示第一個球和第二個球上的號碼，求： (X , Y)的聯合分布列.10.解：根據實際意義得：px=1y=1=0px=3y=3=0其它概率直接求即可。123101/61/1221/61/61/631/121/60設隨機變量X和丫的分布如下:X-101Y0111111P424p22又已知PXY =0 =1 ,試求(X, Y)的聯合分布，并判斷X

7、和丫是否獨立.解： 由 PXY =0 =1 得：px=-1y=1=0 , px=1y=1=0根據聯合分布和邊緣分布的關系，py=1=1/2 ,得px=0y=1=1/2px=0=1/2 ,得 px=0y=0=0,px=1=1/4 ,得 px=1y=0=1/4px=-1=1/4 ,得 px=-1y=0=1/4 聯合分布為：Y01-11/400:01/211/40因為 px=0y=1=1/2 ,而 px=0 py=1=1/4 ,所以 X, Y 不獨立11.設(X ,Y)的分布列如下，寫出X與丫的邊緣分布.(X,Y)(0, 0)(-1, D(-1, 3)(2, 0)P1/61/31/125/12解：根

8、據聯合分布和邊緣分布的關系得:X-102Y013Pi 5/121/65/12p j7/121/31/1212.設二維隨機變量(X , Y)的密度函數為-x (y -1)Cxe , x 0, y 0f (x，y)=，一求常數C及邊緣分布密度函數解：考查二維隨機變量密度函數的性質及密度函數與邊緣密度函數的關系x(v 1)由 f f f (X, y)dxdy=1 得：/ Cxe，dxdy=1.-二一-二-.0.0所以C=1邊緣密度公式：fY(y)帶入彳導：fX (x) =«e ,7 ,13.設二維隨機變量(一乜， 、，= f (x, y)d xfX ( x)= f (,x-qqx 01,f

9、Y (y) = (y -I)?XMO%,)X , Y )的密度函數為y oy -oy) d yf (x, y)大21x xy300MxM1, 0其它(1)求X和丫的邊緣密度，并判斷X和丫是否獨立(2)求 px 十Y >1解：(1)與上題類似，判斷是否獨立，看fx(x) fY(y) = f (x,y)是否成立。(2)求區域上的概率。即高等數學上求二重積分。,1 21P'.X Y _1.'=(x2+ xy)dydx =65/72- 0 -1 _x314 .獨立投擲一枚均勻的骰子兩次，記B、C為兩次中各出現的點數，求一元二次方程x2 +Bx +C =0有實根的概率和有重根的概率

10、.解：方程有實根即B2 -4C20U B2之4c，參看選擇第二題，樣本點數為19,故 P=19/36.方程有重根即B2-4c =0U B2=4C ,樣本點為2個，P=2/36.15 .證明二維正態隨機變量(X ,Y)相互獨立的充要條件是P=0.證明：參見教材61頁例3.16 .設G是由直線y =0, x+y =8及x=。所圍成的三角形區域，二維隨機變量(X,Y)在G上服從均勻分布，求:(1) (X,Y)的聯合概率密度；(2) X,Y的邊緣分布密度函數(3)條件密度 fY|x(y |x)和 fxY(x| y).解：(1)由均勻分布的定義(64頁例6), D為平面上面積為A的有界區域.(x, y)

11、亡 D其它求區域的面積A=32,所以f (x, y )= 320其他(2)邊緣密度公式：fY(y) = "> (x, y)dxJ-oO度函數帶入得fX ( x)= f f(,x y) d,y將密J JQO8 - x 8 - y0 :二 x :二 8fX (x )= 32，fY (y )=320其他00 :二 y :二 8其他(3)條件密度公式:,f(x, yfY |X ( y x )fx (x)f(x,yf x Y ( x y )：fY”)17 .設隨機變量x與丫相互獨立，且分別服從參數為 兀和%的泊松分布，求Z =X +Y的概率分布.kk解：P(X =k) =e, P(Y =

12、k) =e , k=12 k!k!''P Z 二k二PX Y =k - '、： P X =i,Y = ji：nj +,i, j=" PX =iPY =j = "e_M e_'2口 !(k i)!, k !k'1,'2-2)ek!i H Ti T=k i !J !k ik _Lke-1 二一e-'23 i! (k -i)! jk八 ck ： ) e41 2)/k!i =0即Z服從參數為九十九的泊松分布.Y-112-15/202/206/2023/203/201/2018 .設(X , y)的概率分布為:求：Z1 =X +

13、Y和Z2 =X Y的分布列.解：考查離散型隨機變量函數的分布，參看課本67頁例1Z1 =X +丫-20134P5/202/209/203/201/20Z2 =XYP-1-21242/20 9/205/20 3/20 1/2019 .(系統管理)設某系統L由兩個相互獨立的子系統Li與L2連接而成，已知L1與L2的壽命(單位：年)分別為隨機變量 X與Y ,它們的分布密度為Ge 必，x>0(Pe 羋y,y0fx (x) =fY (y)：0, x < 00,y < 0式中的Li與L2的連接方式為(1)串聯；(2)并聯；(3)留L2備用.若系統L的壽命為Z ,試求Z的分布密度，若a =

14、0.1 , P =0.2 ,試求PZ >10.解：(1)串聯的情況。由于當L1和L2中有一個損壞時，系統L就停止工作，所以這時L的壽命為Z = min( X, Y)不難求得X與分布函數分別為1 -e, x >0'1 ey , y A 0FX(x)FY ( y)0, x < 00,y < 0于是Z = min( X, Y)的分布函數FZ (z) =PZ < z =Pmin( X ,Y) M z =1 - Pmin( X ,Y) _ z二1 一 P X _ z,Y _ z =1 - P X _ z PY _ z1 _16件=1 -(1 -Fx(z) )(1 Fy(z)=0,Z = min(X, Y)的密度函數- -)e4："-)zfZ (z)：0,(2)并聯的情況。L的壽命為由于當且僅當L1和L2都損壞時，系統L才停止工作，所以這時Z = max(X, Y)其分布函數FZ(z) =PZ _ z = Pmax( X , Y) _ z = P X - z PY _ z= Fx(z)Fy(z)=；(1)(1", 0,于是Z = max(X, Y)的密度函數ote與 + Pe乎 _(ot + P) e"*, z > 0fz(Z)=0,z<0備用的情況。由于