1、江西師范大學數學與信息科學學院學士學位論文三重積分的計算方法小結Methods of Calculation of Triple Integral姓 名： 蔣 曉 穎 學 號： 1007012048 學 院：數學與信息科學學院 專 業：數學與應用數學 指導老師： 蔣新榮副教授完成時間：2021年1月23日 三重積分的計算方法小結蔣曉穎【摘要】三重積分的計算是數學分析中的難點，本文結合教材以及相關資料較全面地給出了三重積分計算中的四種處理方法。第一，利用降低三重積分重數的思想，將其化為累次積分；第二，采用坐標變換的方法，將積分體表示成適當的形式；第三，充分運用被積函數的奇偶性和積分區域的對稱性，

2、簡化計算；第四，利用高斯公式將三重積分的計算轉化成曲面積分計算。希望這幾種方法能對學習者具有一定的指導意義。【關鍵詞】三重積分 累次積分 坐標變換 對稱性 高斯公式Methods of Calculation of Triple IntegralJiang Xiaoying【Abstract】The calculation of triple integral is the difficulty in Mathematics analysisIn this paper，unifying the teaching and related materials ，we give four instr

3、uctive methods of the calculation of triple integral for learnerThe four methods are as follows：the first，lower the multiplicity of triple integral and replace it with iterated integral；the second，with the method of coordinate alternate，we can transform the integral volume into appropriate form；the

4、third，fully use the parity of integrand and symmetry of integral area to simplify calculation；finally，we can calculate the triple integral with the Gauss formula that could transform triple integral into a surface integral【Key words】triple integral iterated integral coordinate alternate symmetry Gau

5、ss formula目錄1 引言12 三重積分的概念和性質12.1 三重積分的概念12.2三重積分的性質23 三重積分的計算方法33.1 化三重積分為累次積分3 投影法3 截面法4 三重積分化為累次積分的應用43.2 三重積分換元法7 一般坐標變換7 柱面坐標變換7 球面坐標變換7 三重積分坐標變換的應用83.3 利用奇偶性和對稱性計算三重積分10 積分區域關于某平面對稱的情形10 積分區域關于積分變換輪換對稱的情形14 三重積分對稱性的應用143.4 利用曲面積分計算三重積分154 小結19參考文獻201 引言三重積分的計算是初學者的一個難點計算三重積分即要將它化成累次積分，教材中給出了計算

6、公式、換元法和定限法，但要具體地實現這一點，既要有較強的幾何直觀能力，以便于將積分體表示成適當的形式，又需要靈活的選擇計算公式和方法，以便于計算其中的方法和技巧學生難以把握，為了更快更好地培養學習者在這方面的能力，本文總結出三重積分計算中的假設干處理方法2 三重積分的概念和性質2.1 三重積分的概念類似于第一型曲線積分，求一個空間立體V的質量M就可導出三重積分設密度函數為 ，為了求V的質量，我們把V分割成n個小塊V1，V2，, Vn，在每個小塊Vi上任取一點 ，那么其中 為小塊 的體積， 設是定義在三維空間可求體積的有界區域V上的有界函數現用假設干光滑曲面所組成的曲面網來分割，它把分成個小區域

7、V1，V2，, Vn，記Vi的體積為=1,2,，在每個Vi中任取一點，作積分和 定義：設為定義在三維空間可求體積的有界閉區域上的函數，是一個確定的數，假設對任給的正數，總存在某一個正數，使得對于的任何分割，只要，屬于分割的所有積分和都有，那么稱在上可積，數稱為函數在上的三重積分，記作其中稱為被積函數，稱為積分變量，稱為積分區域當1時，在幾何上表示的體積2.2 三重積分的性質三重積分具有與二重積分相應的有關性質類似于二重積分，有、 假設在區域上可積，為常數，那么在上也可積，且、 假設，在區域上可積，那么在上也可積，且、 假設在上都可積，且無公共內點，那么在上也可積，且、 假設，在區域上可積，且，

8、那么、 假設在區域上可積，那么在上也可積且、 假設在區域上可積，且 那么 這里是積分區域的的體積、 中值定理假設在有界區域上連續，那么存在，使得 ，這里 是積分區域的體積3 三重積分的計算方法3.1 化三重積分為累次積分 設想將積分區域縮為平面區域投影法定理1假設函數在長方體上的三重積分存在，且對任意，存在，那么積分 也存在，且 1證 用平行于坐標軸的直線做分割,它把分成有限多個小長方體 設分別是在上的上確界和下確界對任意 ， 現按下標相加，有 以及 2上述不等式兩邊是分割的下和與上和由在上可積，當時，下和與上和具有相同的極限，所以由2式得在上的連續函數，函數在上的三重積分存在，且對任意，亦存

9、在，那么積分存在，且 3證 定義 其中，對應用定理1，那么有 設想將積分區域收縮為一條直線段截平面法定理2、 假設函數在長方體上的三重積分存在，且對任何，二重積分也存在，其中，那么積分也存在，且推論，函數在上三重積分存在，且對任意固定的，積分存在，其中是截面，那么存在，且. 三重積分化為累次積分的應用例1 計算積分其中是點到軸的距離，即，為一棱臺，其六個頂點為 .圖解一：投影法積分區域在平面上的投影區域(梯形)對任意給定的點，點隨增大時，當時穿入，當時穿出，故所以解二：截面法將向軸上投影，得到的區間是，任意取定，在上截口為等腰直角三角形區域因此例2 設求積分分析作的旋轉變換那么變成，即可見是以

10、軸為對稱軸的直角錐如圖2注意，化為極坐標時變為由此故有解截面法利用對稱性圖23.2 三重積分換元法 一般坐標變換和二重積分一樣，某些類型的三重積分作適當的變量變換后能使計算方便設變換，把空間中的區域一對一地映成空間中的區域，并設函數及它們的一階偏導數在內連續且函數行列式 于是與二重積分換元法一樣，可以證明成立下面的三重積分換元公式： 柱面坐標變換由于變換的函數行列式按式，三重積分的柱面坐標變換元公式為 球坐標變換由于當在上取值時，所以在球坐標變換下，按公式，三重積分的球坐標換元公式為這里為在球坐標變換下的原象 三重積分坐標變換的應用例3計算，其中是有曲面與為界的區域如圖3解在平面上的投影區域為

11、按柱坐標變換，區域可表為所以由公式，有圖例4求，其中為由與所圍區域解作廣義球坐標變換于是在上述廣義球坐標變換下，的原象為那么有例5計算積分其中是由曲面所圍成之立體解令即：于是 從而有對稱性，我們可以直接看出3.3 利用奇偶性和對稱性計算三重積分在重積分計算中，充分運用被積函數的奇偶性和積分區域的對稱性，常可使計算更為簡捷本文將對三重積分中應用奇偶性和對稱性作一概述在給出假設干根本結論的根底上，對常見的幾類處理方法作一介紹 積分區域關于某平面對稱的情形.1 空間對稱區域上三元奇偶函數的定義設是定義在平面為對稱平面的三維區域上的三元函數， 與關于互為對稱點假設 .2 三元奇偶函數在對稱區域上的積分

12、公式及證明上述定義中，假設以為對稱平面將區域分為和兩局部，那么的體積=的體積，當時，且有事實上，設區域以平面： 為對稱平面，那么下面找出與的關系設過點與的直線為，由于直線與平面垂直，因此直線的方程為： 設直線與平面的交點為，解方程組得點的坐標為 其中 由于點又是與連線的重點，所以 ，從而進一步得：而 ，對作變換：雅克比式：當為上的奇函數時，因此：當為上的偶函數時，因此：故有.3 空間區域關于坐標平面對稱的情形作為上述問題的特例，當取坐標平面時，我們有：設關于坐標平面對稱，即假設，那么其對稱點假設那么 當取坐標平面時，我們有：設關于坐標平面對稱，即假設，那么其對稱點假設那么當取坐標平面時，我們有

13、：設關于坐標平面對稱，即假設，那么其對稱點假設那么 積分區域關于積分變量為輪換對稱的情形假設當時，有，就稱空間區域關于變量具有輪換對稱性假設三重積分的積分區域具有輪換對稱性同時被積函數 關于變量也具有輪換對稱性即 就有 那么： 三重積分對稱性的應用例6 計算，其中是由球面所圍成的閉區域解：積分區域關于平面對稱，而被積函數是關于的奇函數即故所求積分等于0例7 計算,其中是由平面以及拋物面所圍成的區域.解: 積分區域關于平面對稱,而被積函數是關于的奇函數(即),故所求積分為0.例8 計算,其中為三個坐標平面及平面所圍成的閉區域.解: 由于被積函數和積分區域都滿足對 的輪換性,因此, 得:例9 計算

14、,其中為三個坐標平面及平面所圍成的立方體.解:利用被積函數和積分區域關于積分變量的對稱性,可知.因此:.利用三重積分的對稱性可以有效地簡化計算,但在使用時必須兼顧積分區域和被積函數兩個方面,否那么可能導致錯誤的結果.另外,三重積分計算是曲面積分計算的根底,對三重積分對稱性的研究可為進一步研究簡化曲面積分計算做準備.3.4 利用曲面積分計算三重積分在曲面積分的計算中，高斯公式建立了空間封閉曲面上的曲面積分與三重積分的聯系但是，由于高斯公式在結構上的特殊性，在應用高斯公式是往往事蔣曲面積分的計算轉化為三重積分的計算，卻很少利用高斯公式將三重積分的計算轉化成曲面積分的計算，無視了曲面積分在三重積分計

15、算中的作用本文給出把一類三重積分在三重積分轉化成曲面積分的一個定理，并舉例說明這個定理的一些應用本文中列舉的例子其目的只是說明應用這個定理如何計算三重積分，也許這個例子利用三重積分的計算公式直接計算更為簡單一些 高斯公式的另一種表示方式定理3設空間區域由分片光滑的雙側封閉曲面圍成，函數在上連續，且具有一階連續的偏導數，假設 而，那么 其中取外側證明取，那么，從而由于函數在上連續，且具有一階連續的偏導數，所以，在上連續，且具有一階連續的偏導數，由高斯公式：得從而推論 三重積分高斯公式的應用例10 計算解 ,由定理得 其中是立方體的六個面,取外側.取 那么 例11 計算.解: 考慮積分那么 由定理

16、得,其中是球面與,并取外側.取那么 同理由于,所以4 小結綜上所述,化成低重積分的不同方式,采用不同坐標系化成三次積分以及采取不同的積分次序這三者是計算三重積分的根本思路和方法.把三重積分化成低重積分而完成計算的技能技巧,還應該注意下面幾個問題:1、坐標系的選擇.包括了解各種坐標系下的積分公式主要特點,給定積分區域與被積函數時選用何種坐標系更為簡便,對于平面圍成的積分區域,不宜使用柱面或球面坐標系.在柱面坐標系下,當積分區域與繞軸旋轉形成的旋轉體有關時,關于變量的積分可能有較為簡單的積分限;當積分區域有平行于面的邊界面時,關于變量的積分可能的較簡單的積分限.而在球坐標系下,當積分區域與球有關時

17、,關于三個變量的積分都可能有較簡單的積分限,選擇積分區域還要注意被積函數的特點.2、積分方式的選擇,應了解化成三次積分與化成一次積分及一個二重積分的公式的主要特點,以及給定積分區域與被積函數下使用何種公式適宜.3、積分次序的選擇.了解改換積分次序的方法,明確由于積分次序的不同,影響積分計算與繁簡程度的可能性.4、積分區域.對于用方程或不等式的積分區域,可畫出示意圖;對于用圖形給出的積分區域,能求出其邊界方程.還可求出積分區域在某一坐標平面的投影區域及這個投影區域的邊界線方程;能求出積分區域平行于某個坐標面的截面;能求出積分區域經坐標變換后的新區域的邊界曲面的方程.參考文獻：1裴禮文數學分析中的典型問題與方法 M北京：高等教育出版社，20032蘇霞三重積分先二后一的計算方法J江蘇：淮安淮陰工學院19973王子子.三重積分的對稱性及其應用J山東：山東英才學院根底部，20214蘇文珣三重積分計算法的一種直觀理解J重慶：重慶電力高等專科學校，20215宋勇三重積分計算中變量變換的應用J內蒙古：鄂爾多斯教育學院，20076潘鵡屏三重積分計算中奇偶性、對稱性的應用 J南京：南京航務工程專科學