1、1 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD丄平面ABCD, 點(diǎn)M在線段PB上，PD/平面MAC, PA二PD二碇，AB二4.(1) 求證：M為PB的中點(diǎn)；(2) 求二面角B-PD-A的大??；(3) 求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.-可修編.【分析】(1)設(shè)ACCBD二O,則O為BD的中點(diǎn)，連接OM,利用線面平行的 性質(zhì)證明OM II PD,再由平行線截線段成比例可得M為PB的中點(diǎn)；取AD中點(diǎn)G,可得PG丄AD,再由面面垂直的性質(zhì)可得PG丄平面ABCD, 則PG丄AD,連接OG,則PG丄OG,再證明OG丄AD.以G為坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別以GD、GO、GP所在直線為x、y

2、、z軸距離空間直角坐標(biāo)系，求出平面 PBD與平面PAD的一個法向量，由兩法向量所成角的大小可得二面角B-PD- A的大小；(3)求岀的坐標(biāo)，由面與平面PBD的法向量所成角的余弦值的絕對值可得 直線MC與平面BDP所成角的正弦值.【解答】(1)證明：如圖，設(shè)ACCIBD二O,ABCD為正方形，二。為BD的中點(diǎn)，連接OM,tPD /平面 MAC, PDu 平面 PBD,平面 PBDA平面 AMC二OM,.-.PD/OM,則誅誥即M為PB的中點(diǎn);(2)解：取AD中點(diǎn)G,可修編.PA二PD, /.PG丄AD, .平面PAD丄平面ABCD,且平面PADC平面ABCD二AD,PG丄平面 ABCD,貝ij

3、PG丄AD,連接 OG,則 PG1OG,由G是AD的中點(diǎn)，。是AC的中點(diǎn)，可得OG/DC,則OG丄AD.以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角 坐標(biāo)系，由 PA二PD二后，AB=4,得 D （2, 0, 0）, A （-2, 0, 0）, P （0, 0,血），C （2, 4, 0）, B （-2, 4, 0）, M （-1, 2,乎）， 麗二（-2, Q,血），DB=（-4, 4, Q）- 設(shè)平面PBD的一個法向量為二（X, y, z）, 則由存吁0,得忙:代取zM,得上1,血）.mDB=0 一4計4尸0取平面PAD的一個法向量為n=（O, 1, Q）.CO

4、Sv mn > 二巳二L |m|n|2X12二面角B-PD-A的大小為60° ；（3）解：&二（£,吃，夢），平面BDP的一個法向量為匸（1, L,冋.直線 MC與平面BDP所成角的正弦值為|cos v歷，匚 I | m I I 廠 _2_I 二I CM | | in |J9+4+寺 乂 1°【點(diǎn)評】本題考查線面角與面面角的求法，訓(xùn)練了利用空間向量求空間角，屬中 檔題.2. 如圖，在三棱錐P-ABC中，PA丄底面ABC, ZBAC二90° 點(diǎn)D, E, N 分別為棱PA, PC, BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA二AC二4, AB二2.

5、(I )求證：MN/平面BDE;(II) 求二面角C-EM-N的正弦值；(III) 已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為乎，求線£丄段AH的長.【分析】(I )取AB中點(diǎn)F,連接MF、NF,由已知可證MF/平面BDE, NF /平面BDE.得到平面MFN II平面BDE,則MN/平面BDE;(II)由PA丄底面ABC, ZBAC二90° .可以A為原點(diǎn)，分別以AB、AC、AP所在直線為X、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.求出平面MEN與平面CME的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值得二面角C-EM-N的余弦值，進(jìn)一 步求得正弦值；(川)設(shè)AHM,則H (0

6、, 0, t),求出麗、祝的坐標(biāo)，結(jié)合直線NH與直線BE所成角的余弦值為誓列式求得線段AH的長.厶丄【解答】(I )證明：取AB中點(diǎn)F,連接MF、NF,.M 為 AD 中點(diǎn)，.MF/BD,tBDu 平面 BDE, MFQ 平面 BDE, /.MF/ 平面 BDE.N 為 BC 中點(diǎn)，.NF/AC,又 D、E 分別為 AP、PC 的中點(diǎn)，.DE/AC,貝 IJNF/DE.tDEu 平面 BDE, NFQ 平面 BDE,二NF/平面 BDE.又 MFQNF=F.平面MFN II平面BDE,則MN II平面BDE;(II)解：tPA丄底面 ABC, ZBAC=90° .以A為原點(diǎn)，分別以A

7、B、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo) 系PA二AC二4, AB二2,A A (0, 0, 0), B (2, 0, 0), C (0, 4, 0), M (0, 0, 1), N (1, 2, 0),E (0, 2, 2), 則2, -1力 ME=(O, 2, 1)，設(shè)平面MEN的一個法向量為祜(x, * z),士 | m MN二0x+2y-z=0田_ ,，侍$宀 A 時肚二02z=0取 Z=2,得#(£ -1, 2)由圖可得平面CME的一個法向量為n=(l, 0, Q)/.COS< m二 _ ITTEL _ 4 _4伍亍21.二面角CS-N的余弦值為普I,則正

8、弦值為普;(III)解：設(shè)AH=t,則 H (0, 0, t), nh=(-i, -2, t)，BE=(-2, 2, 2)- 直線NH與直線BE所成角的余弦值為琴，21Icosv麗，祝|二|呼吧|二|二返.|NH|BE| V5+?X2V321解得：匸菩或匸52當(dāng)H與P重合時直線NH與直線BE所成角的余弦值為嘗，此時線段AH的【點(diǎn)評】本題考查直線與平面平行的判定，考查了利用空間向量求解空間角，考 查計算能力，是中檔題.3. 如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其內(nèi)部)以AB邊所 在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的，G是擊的中點(diǎn).(I )設(shè)P是五上的一點(diǎn)，且AP1BE,求Z

9、CBP的大小；(II)當(dāng)AB二3, AD二2時，求二面角E-AG-C的大小.【分析】(I)由已知利用線面垂直的判定可得BE丄平面ABP,得到BE丄BP, 結(jié)合ZEBC二 120° 求得ZCBP=30° ;(II)法一、取五的中點(diǎn)H,連接EH, GH, CH,可得四邊形BEGH為菱形， 取AG中點(diǎn)M,連接EM, CM, EC,得到EM丄AG, CM丄AG,說明/EMC 為所求二面角的平面角.求解三角形得二面角E-AG-C的大小.法二、以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE, BP, BA所在直線為x, y, z軸建立空間直 角坐標(biāo)系.求出A, E, G, C的坐標(biāo)，進(jìn)一步求岀平面AEG與

10、平面ACG的一 個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角E-AG-C的大小.【解答】解：(I ) TAP丄BE, AB丄BE,且 AB, APu 平面 ABP, ABDAP二A,BE丄平面ABP,又BPu平面ABP,.'.BE丄BP,又ZEBC=120° ,因此ZCBP=30° ;(II )解法一、取五的中點(diǎn)H,連接EH, GH, CH,ZEBC=120° , 四邊形 BECH 為菱形，AE二GE二AC二GC二寸3 ? + 2'二寸、3取AG中點(diǎn)M,連接EM, CM, EC,則 EM1AG, CM1AG, Z EMC為所求二面角的平面角.又 A

11、M二 1 ,.EM二CMf/13-1 二2翻.在ABEC 中，由于ZEBC=120° ,由余弦定理得：EC2=22+22-2X2X2xcos 120° =12,.-.EC=2V3,因此AEMC為等邊三角形，故所求的角為60° .解法二、以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE, BP, BA所在直線為x, y, z軸建立空間 直角坐標(biāo)系.由題意得：A (0, 0, 3), E (2, 0, 0), G (1, V3, 3), C (-1, V3, 0), 故AE=(2, 0, -3)，AG=(1,餡，0)- CG=(2, 0, 3)設(shè)呼yr引）為平面AEG的一個法向量,AE 二

12、 0AG 二 02x-3z=0屮后“取心得匸也2）；可修編. AG 二 0 nCG=0設(shè)門二（辺，y2,匕）為平面ACG的一個法向量，Xn+V3y9-0.io*n2x2+3z2=o,取堺一2,得&（3, -転-2） COS < m . n > 二'H-<|n|2二面角E-AG-C的大小為60°【點(diǎn)評】本題考查空間角的求法，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了線面角 的求法及利用空間向量求二面角的大小，是中檔題.4如圖，在以A, B, C, D, E, F為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF二2FD, /AFD 二 90° ,且二面角 D

13、-AF-E 與二面角 C-BE-F 都是 60° .(I )證明平面ABEF1平面EFDC;(II)求二面角E-BC-A的余弦值.A.【分析】(I )證明AF丄平面EFDC,利用平面與平面垂直的判定定理證明平面 ABEF丄平面EFDC;(II )證明四邊形EFDC為等腰梯形，以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系， 求岀平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夾角公式可得二面角E-BC-A 的余弦值.【解答】(I)證明：tABE F為正方形，.AF丄EF.TZAFD二90° ,.AF丄DF,vDFnEF=F,AF丄平面 EFDC,tAFu 平面 ABEF,平面ABEF丄平面EFD

14、C;(ID 解：由 AF 丄 DF, AF1EF,可得ZDFE為二面角D-AF-E的平面角；由ABEF為正方形，AF丄平面EFDC,VBE1EF,BE丄平面EFDC即有CE1BE,可得ZCEF為二面角C-BE-F的平面角可得ZDFE=ZCEF=60° .AB/EF, ABC 平面 EFDC, EFu 平面 EFDC,.AB/平面 EFDC,.平面 EFDCn平面 ABCD二CD, ABu 平面 ABCD,.AB/CD,CD II EF,四邊形EFDC為等腰梯形.,A (2a, 2a, 0),以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)FD二O, 則 E (0, 0, 0), B (0, 2a

15、, 0), C (手,0,mVEB=O(0, 2a, 0), BC=(號，-2a, -a), AB= (-2a, 0, 0)設(shè)平面BEC的法向量為ir二（X）, yH zj,貝q匸nr BC 二 02劉二 0,取IT二(V3, o, -1).設(shè)平面ABC的法向量為；二(x2, y2, z2),貝ij AB 二 0 a73, x9-2ay 9nz 少二 0l 八則 2 22 22、取，(0,后 4).2ax2=0設(shè)二面角E-BC-A的大小為e,則cose二竺一 Imp |n I二 -4= _ 2伍V3+1*V3H619【點(diǎn)評】本題考查平面與平面垂直的證明，考查用空間向量求平面間的夾角，建立空間坐

16、標(biāo)系將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答的關(guān)鍵.5. 如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O, AB二5, AC二6,點(diǎn)E, F 分別在AD,CD上，AE二CF二* EF交于BD于點(diǎn)H,將ZXDEF沿EF折到EF 4的位置，ODZ(I )證明：D' H丄平面ABCD;(II)求二面角B D A-C的正弦值.【分析】(I )由底面ABCD為菱形，可得AD二CD,結(jié)合AE二CF可得EF II AC, 再由ABCD是菱形，得AC丄BD,進(jìn)一步得到EF丄BD,由EF丄DH,可得EF 丄D' H,然后求解直角三角形得D' H丄OH,再由線面垂直的判定得D H丄 平面ABCD

17、;(II)以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由已知求得所用點(diǎn)的 坐標(biāo)，得到忑、麗廠、瓦的坐標(biāo)，分別求出平面ABD'與平面AD' C的一個 法向量石、応，設(shè)二面角二面角B-D' A-C的平面角為6,求岀| cose | .則 二面角B-D' A-C的正弦值可求.【解答】(I )證明：TABCD是菱形, .AD二DC,又 AE二CF二旦,4晉器,則EF/AC, 又由ABCD是菱形，得AC丄BD,則EF丄BD, EF丄DH,貝IEF丄D H,T AC二 6,又 AB二5, AO丄OB, /.OB=4,.OHod=1,貝IJDH=D，H二3,AD/. |OD,

18、 |2=|OH|2+|D/ H|2,貝IJ DJ H丄OH, 又 OHCiEF=H, /.D1 H丄平面 ABCD;(II)解：以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系, *. AB=5, AC=6,B (5, 0, 0), C (1, 3, 0), Df (0, 0, 3), A (1, -3, 0),AB=(4, 3, 0),3, 3)，AC=(0, 6, 0)>設(shè)平面ABD'的一個法向量為石二伉y, z),得4x+3y=0' I-x+3y+3z=0取 x=3,得 y=-4, z=5.可修編.J3X3+5X1| _7/5同理可求得平面AD' C的一個法向量応

19、二(3, 0, 1), 設(shè)二面角二面角B-D A-C的平面角為e,I Qi *n9 | 則 I cose | = ki I |n2 I【點(diǎn)評】本題考查線面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，訓(xùn)練了利用 平面的法向量求解二面角問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題.6. 在三棱柱ABC-A】BC中，CA二CB,側(cè)面ABBA是邊長為2的正方形, 點(diǎn)E, F分別在線段 Z A®上，且AE二寺，A,F=|, CE1EF.(I )證明：平面ABBA丄平面ABC;(II)若CA丄CB,求直線AC】與平面CEF所成角的正弦值.【分析】(I)取AB的中點(diǎn)D,連結(jié)CD, DF, DE.計算DE,

20、EF, DF,利用勾 股定理的逆定理得出DE丄EF,由三線合一得CD丄AB,故而CD丄平面ABB】A】， 從而平面ABBA丄平面ABC;(II)以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩和平面CEF的法向量7.,則直 線AC】與平面CEF所成角的正弦值等于|cos<n, AC；> I 【解答】證明： 取AB的中點(diǎn)D,連結(jié)CD, DF, DE.vAC=BC, D 是 AB 的中點(diǎn)，.CD丄AB.側(cè)面ABBA是邊長為2的正方形，AEl, A】F二g.A】E _1乎，DE二石葺謬DF=j22+(l|)紅/.EF2+DE2=DF .DE丄EF,XCE1EF, CECI DE二E, CEu 平面

21、CDE, DEu 平面 CDE,EF丄平面CDE,又CDu平面CDE,.'.CD 丄 EF,又CD丄AB, ABu平面ABB】A|, EFu平面ABB】A】，AB, EF為相交直線,.'.CD丄平面 ABBA又 CDu ABC, 平面ABBA丄平面ABC.(II) V平面ABBA丄平面ABC, 三棱柱ABC - A】BC是直三棱柱，二CC】丄平面ABC.T CA丄CB, AB二2, /.AC=BC=V2 以C為原點(diǎn)，以CA, CB, CG為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示： 則 A (V2, 0, 0), C (0, 0, 0), C, (0, 0, 2), E (血 0,寺

22、),F (學(xué), 電2).，爭 2）.亦二(-V2, 0, 2), CE= (V2, 0, 1), CF=設(shè)平面CEF的法向量為，（x, y, z）,則nCE=0nCF=0,令 Z=4,得 rF (-V2, -92, 4).2z=0 528.'Ac7»n=10» ln|=6Vs, IaCIVG-. 口 AC】 a/30Sinv n, ac. >=_二1 InllACj 18直線AC】與平面CEF所成角的正弦值為勢.JLo【點(diǎn)評】本題考查了面面垂直的判定，線面角的計算，空間向量的應(yīng)用，屬于中 檔題.7. 如圖，在四棱錐中P-ABCD, PA丄平面ABCD, AD

23、II BC, AD丄CD,且AD二CD二2血，BC二4血，PA二2.(1) 求證：AB1PC;(2) 在線段PD上，是否存在一點(diǎn)M,使得二面角M-AC-D的大小為45° , 如果存在，求BM與平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，請說明理由.【分析】(1)利用直角梯形的性質(zhì)求岀AB, AC的長，根據(jù)勾股定理的逆定理 得岀AB丄AC,由PA丄平面ABCD得岀AB丄PA,故AB丄平面PAC,于是 AB 丄 PC;(2)假設(shè)存在點(diǎn)M,做岀二面角的平面角，根據(jù)勾股定理求出M到平面ABCD 的距離從而確定M的位置，利用棱錐的體積求岀B到平面MAC的距離h,根 據(jù)勾股定理計算BM,則羔即為所求角

24、的正弦值.DJII【解答】解：(1)證明：四邊形ABCD是直角梯形，AD二CD二2近，BC二4近，.AC二4,(bc-xW ) 2+CD,.ABC是等腰直角三角形，即AB丄AC,tPA丄平面 ABCD, ABu 平面 ABCD, .PA 丄 AB,/.AB丄平面PAC,又PCu平面PAC, /.AB 丄 PC.(2)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN丄AD于N,則MN/PA, MN丄平面ABCD, MN丄AC.過點(diǎn)M作MG丄AC于G,連接NG,則AC±平面MNG,.'AC丄NG,即ZMGN是二面角M-AC-D的平面角.若ZMGN二45° ,貝ij NG=MN, X

25、 AN=V2NG=V2MN,AMN=1,即M是線段PD的中點(diǎn).存在點(diǎn)M使得二面角M-AC-D的大小為45°在三棱錐M-ABC中，5_abc二掙4次1二尋, 設(shè)點(diǎn)B到平面MAC的距曷是h,則Vb-mac=£samc呱 MG二近MN二伍，.Samac二*QMG二寺 x 必爐2近， y X2V2Xh=|-，解得 h二2近.在 ABN 中,AB二4 , AN二 2Z BAN=135°BN 二16+2+2X4XV2X BM二麗百皆=3品【點(diǎn)評】本題考查了項目垂直的判定與性質(zhì)，空間角與空間距離的計算，屬于中 檔題.8如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC-A】B】C|中，側(cè)面A】

26、ACC】丄底面ABC,ZA】AC二60° .(1)求側(cè)棱AA】與平面AB)C所成角的正弦值的大小；已知點(diǎn)D滿足喬冠+衣,在直線AA】上是否存在點(diǎn)P,使DP/平面AB,C?若存在，請確定點(diǎn)P的位責(zé)，若不存在，請說明理由.【分析】(1)推導(dǎo)出A】O丄平面ABC, BO丄AC,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖 所示的空間直角坐標(biāo)系O-xy乙利用向量法能求出側(cè)棱AA|與平面ABQ所成 角的正弦值.(2)假設(shè)存在點(diǎn)P符合題意，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為P (0, y, z),則 麗二(餡，y, z).利用向量法能求出存在點(diǎn)p,使DP/平面AB,C,其坐標(biāo)為(0, 0, V3),即恰好為A】點(diǎn).【解答】解：(1

27、) 側(cè)面A1ACC1丄底面ABC,作AQ丄AC于點(diǎn)O, AQ丄平面ABC.又ZABC二ZA】AO60° ,且各棱長都相等，.AO二 1, OA)=OB=V3, BO1AC.(2 分)故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o-xyz,則 A (0, -1, 0), B (V3, 0, 0), A, (0, 0,島)，C (0, 1, 0),(0,】，V3) i AB山 V3), AC= (0, 2, 0).(4 分)設(shè)平面AB】C的法向量為1二(& y, Z),n. npABh =V3x+ 2y-V5z= 0 ”n zs-> zn 心 八則1，取 x=l,得 n-

28、 (1, 0, 1). AC 二 2y=0 設(shè)側(cè)棱AA】與平面AB.C所成角的為0,則 sine二 | cos v 甌,側(cè)棱AA與平面A£C所成角的正弦值為孚(6分)/ BETBA+BC,而麗 d，-1, 0), BC=(/3，1, 0)， .-.BD= (-23, 0, 0),又TB (齒，0, 0), /.點(diǎn) D (-V3, 0, 0).假設(shè)存在點(diǎn)P符合題意，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為P (0, y, z), 麗二(餡，y, z) VDP/T® AB, n= (-1, 0, 1)為平面 AB,C 的法向量，由ap=MA，得.'-y-0.(io分)又DPQ平面ABQ,故存

29、在點(diǎn)P,使DP/平面AB】C,其坐標(biāo)為(0, 0,餡),【點(diǎn)評】本題考查線面角的正弦值的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與 求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用.9.在三棱柱ABC A】BC中，側(cè)面ABBA為矩形，AB二2, AA嚴(yán)2血，D是AA|的中點(diǎn)，BD與AB】交于點(diǎn)O,且CO丄平面ABB】A】.(I )證明：平面AB】C丄平面BCD;(II) 若OOOA, AAB,C的重心為G,求直線GD與平面ABC所成角的正 弦值.【分析】(I )通過證明ABBD, ABCO,推出AB平面BCD,然后證 明平面AB】C丄平面BCD.(II)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)D, OBh

30、OC所在直線為x, y, z軸，建立 如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-x”.求出平面ABC的法向量，設(shè)直線GD與 平面ABC所成角O,利用空間向量的數(shù)量積求解直線GD與平面ABC所成角 的正弦值即可.【解答】(本小題滿分12分)解：(I )tABB】A|為矩形，AB二2, aa產(chǎn)2應(yīng),D是AA】的中點(diǎn)，二Z BAD二90° ,BB二2逅，AD今AA二血-可修編.從而tanZABD-=-y-，tan/ABB二器 二警,' 0<ZABD, ZABtB<-».'./_ ABDZ ABB,（2 分）TTTT ZABiB+ZBABi二上ABD+ZBABik，二

31、/:/仍二丁，從而 ABBD- （4 分）TCO丄平面 ABBAj, AB】u 平面 ABB】A】，二 AB】丄CO, "/BDriCOO,AB平面BCD,TAB】u平面ABC,平面AB】C丄平面BCD- （6分）（ID如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別以O(shè)D, OBh OC所在宜線為x, y, z軸, 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.在矩形ABBA中，由于AD/BB,所以 AOD和ZiBiOB相似，從而獸二帶二獸二20A OD AD又 AB t =AA12+A1B12=2/3，BD=AD2+AB2=V6/- QB=> 0D=y-> 0A二，3C（0, 0,豈3）, B

32、t（0s 竽，0）, D（； 附晉,竽）,尿售，罟,OB】興$，A（0, 卷3, 0）, E（馬L 0, 0）,尊 0, 0）vG為AABiC的重心，.（8分）9設(shè)平面 ABC 的 法 喬普,字0）,閒,竽向 量 為 K y, z）竽）'/2x+y=0,y+z 二 0丁匹二。可得 AC 二 0令y二1,則z二1,玄=逗，所以1二（尊，1, -1）.（10分）£乙設(shè)直線 GD 與平面 ABC 所成角 Q可修編.65所以直線GD與平面ABC所成角的正弦值為型翌(12分)【點(diǎn)評】本題考查平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法, 考查空間想象能力以及計算能力10.在矩

33、形ABCD中，AB二砸，AD=2V5,將AABD沿BD折起，使得點(diǎn)A折起至A'，設(shè)二面角A' -BD-C的大小為0(1) 當(dāng)*90。時，求A' C的長；當(dāng)cose專時求BC與平面A' BD所成角的正弦值.【分析】(1)過A作BD的垂線交BD于巳交DC于F,連接CE,利用勾股定 理及余弦定理計算AE, CE,由A' E丄CE得岀A' C;(2)利用余弦定理可得A'從而得出A' F丄平面ABCD,以F為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，求岀西和平面A' BD的法向量二 則BC與平面A' BD所成角的 正弦值為Icosv；, c5>

34、 | .【解答】解：（1）在圖1中，過A作BD的垂線交BD于E,交DC于F,連接 CE./AB=4a/5, AD=2Vb, .， BD二寸朋彳+小.麗尊器咎譽(yù)=4, BE=Qab2_ae2=8, cos/CBE嚅輩.在ABCE 中，由余弦定理得 CE=aJbc2+be2_2BCwBE,cos2/cbe=2a/13.-.e=90° , .-.A, E丄平面 ABCD, /.A/ E丄CE.- I A，c I 二屆 /+CEA2VT?. de=a/ad2-ae2=2-.ton/FDE二器二黑令,.EF二 1, DF二&頁五忌屈當(dāng)cZ 二寺即 cosZA' EF二書時，f=

35、42 + 1 2-2-4-l-cos0 = V15-:4 EA' F2+EF2, /.ZA'FEO0又 BD丄AE, BD丄EF,.BD丄平面 A'EF, /.BD±A'F A'F丄平面 ABCD.以F為原點(diǎn)，以FC為x軸，以過F的AD的平行線為y軸，以FA'為z軸建 立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：A'（0, 0, V15）, D （-V5, 0, 0）, B （35, 2亦，0）, C （3需，0, 0）.民（0, 25, 0）,屁（4妬，2晶,0）,站二（V5, 0,屆）.設(shè)平面A' BD的法向量為& （x, y

36、, z）,則丁怛 ， =0.（弊普逅E令zj得&（_負(fù)2荷，）.W5X+715Z 二 0COS v n> -n>CB _4Vl5_V3| n | | CB | 2g 2BC與平面A，BD所成角的正弦值為享3個【點(diǎn)評】本題考查了空間角與空間距離的計算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題.11如圖，由直三棱柱ABC-A】BC和四棱錐D-BBQC構(gòu)成的幾何體中，Z BAC=90° , AB=1, BC二BB】=2, C】D二CD二折，平面CC】D丄平面ACC】A】(I )求證：AC丄DC】;(II) 若M為DC】的中點(diǎn)，求證：AM/平面DBB】;(III) 在線段BC±

37、;是否存在點(diǎn)P,使直線DP與平面BB.D所成的角為善？若J1【分析】(I)證明AC丄CCH得到AC丄平面CC.D,即可證明AC丄DC】.(II)易得ZBAC二90° ,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,依據(jù)已知條件可得 A (0, 0, 0), C(0, 晶 °), C (2,逅，0)，B (0, 0, 1),B (2, 0, 1), D(l,屆 2),利用向量求得AM與平面DBB所成角為0,即AM II平面DBB】.(Ill)利用向量求解【解答】解：(I)證明：在直三棱柱ABC-A|BC中，CC】丄平面ABC,故AC丄CC】，由平面CCQ丄平面ACCjA,且平面CC)Dn平面

38、ACC】A產(chǎn)CC】，所以AC丄平面CCQ,又C】Du平面CCQ,所以AC丄DC,.(II)證明：在直三棱柱ABC-AC中，AA|丄平面ABC,所以AA|丄AB, AA|丄AC,又ZBAC二90° ,所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,依據(jù)已知條件可得 A (0, 0, 0), C(0,餡，°), C(2,逅，0)，B (0, 0, 1), B】(2, 0, 1), D(l, V3, 2),所以兩二(2, 0,0), BD=(1,島，1)，設(shè)平面DBB】的法向量為二(X, y, z), 由上嘗二0即嚴(yán)；b+73y+z=0令y二 1,則X二0,于是；二(0, 1, D， 因

39、為M為DC沖點(diǎn)，所以転 1),所以融二號，得 1), 由二借，V55 1)(0，1，飛代)二0可得AM丄m 所以AM與平面DBB所成角為0, 即AM II平面DBB|.4 -75)(Ill)解：由(II)可知平面BBQ的法向量為；二©®BP=K BC,入 0,1,則P(0,品,1一人)，麗二(一1,Vs x_i_ 丸)若直線 DP 與平面 DBB角為弓可修編.123 k |故不存在這樣的點(diǎn).【點(diǎn)評】本題考查了空間線線垂直、線面平行的判定,向量法求二面角.屬于中"<二茁二lnrDPIr _ _ 亜|n|<DP |24 入 J 入+52解得 X=-40,

40、1,檔題12如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD為正方形，平面AED丄平面ABCD, AB=V2EA=V2ED, EF II BD(I)證明：AE丄CD(ID在棱ED上是否存在點(diǎn)M,使得直線AM與平面EFBD所成角的正弦值為 尊？若存在，確定點(diǎn)M的位責(zé)；若不存在，請說明理由.c【分析】 利用面面垂直的性質(zhì)得出CD丄平面AED,故而AE丄CD;(II)取AD的中點(diǎn)O,連接EO,以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)黑二入，求出平 ED面BDEF的法向量;.，令|cos<m, 丁>1羋，根據(jù)方程的解得岀結(jié)論.【解答】 證明：四邊形ABCD是正方形，.CD丄AD,又平面AED丄平面ABCD,平面

41、AEDCI平面ABCD二AD, CDu平面ABCD,CD丄平面 AED, -AEc 平面 AED,AE 丄 CD.(II)解：取AD的中點(diǎn)O,過O作ON/AB交BC于N,連接EO,EA二ED, OE丄AD,又平面 AED丄平面 ABCD,平面 AED D平面 ABCD二AD, OEc 平面 AED, OE丄平面 ABCD,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,如圖所示：設(shè)正方形ACD的邊長為2,黑二入，ED則 A (1, 0, 0), B (1, 2, 0), D (-1, 0, 0), E (0, 0, 1), M (-A, 0, 1 一入) 藥二(一入一1, 0, 1 -A), DE=

42、(1, 0, 1), DB= (2, 2, 0), 設(shè)平面BDEF的法向量為于(x, y, z),則(丁吁°,即嚴(yán)尸0,令x=l得& (1, -1, -1),nDE=0H+z 二 08SV両，孑凰5而丨向732 X2+2令丨廠2V3PV2 Xz+2I二萼，解得入二0,當(dāng)M與點(diǎn)E重合時，直線AM與平面EFBD所成角的正弦值為迄.【點(diǎn)評】本題考查了線面垂直的判定，空間向量與線面角的計算，屬于中檔題.13. 如圖，在四棱錐 P - ABCD 中，Z ABC= Z ACD=90° , Z BAC= ZCAD二60° , PA丄平面 ABCD, PA二2, AB二

43、1.(1) 設(shè)點(diǎn)E為PD的中點(diǎn)，求證：CE/平面PAB;(2) 線段PD上是否存在一點(diǎn)N,使得直線與平面PAC所成的角0的正弦值【分析】(1)取AD中點(diǎn)M,利用三角形的中位線證明EM/平面PAB,利用同 位角相等證明MC/AB,得到平面EMC/平面PAB,證得EC/平面PAB;(2)建立坐標(biāo)系，求出平面PAC的法向量，利用直線與平面PAC所成的角e 的正弦值為羊，可得結(jié)論.5【解答】（1）證明：取AD中點(diǎn)連EM, CM,則EM/PA.VEMC 平面 PAB, PAu 平面 PAB,.EM/平面 PAB.在 RtAACD 中，ZCAD=60° , AC二AM二2, .ZACM=60o

44、.而ZBAC二60° , /.MC/AB.MCQ 平面 PAB, ABu 平面 PAB, /.MC/ 平面 PAB.面 EMC/平面 PAB.TECu 平面 EMC, :.EC II 平面 PAB.解：過A作AF丄AD,交BC于F,建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A （0, 0,0), B (零,-±, 0), C1, 0), D (0, 4, 0), P (0, 0, 2),設(shè)平面PAC的法向量為&(x, y, z),則f2z=07 0),設(shè)麗入？5 （0W入<1）,則乘（0, 4入，-2A）, cir （一入一1, 2-2入）,|cos< n, CN> | 二 二f“3+（4 幾一1 ）?+（22X ）52N為PD的中點(diǎn)，使得直線與平面PAC所成的角0的正弦值為半.5【點(diǎn)評】本題考查線面平行的判定，考查線面角，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.14. 如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，平面PAB丄平面 ABCD, PB二PC, Z ABC二45°，點(diǎn)E是線段PA上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn).(I )求證：AB1PC;(II)若APA