1、1/8送分專練5古典概型、幾何概型（建議用時：40 分鐘）、選擇題1. （2017 全國卷I）如圖 1-5-1,正方形 ABCD 內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，貝吐匕點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）i)B 不妨設(shè)正方形 ABCD 的邊長為 2,則正方形內(nèi)切圓的半徑為 1,可得 S正方形=4.由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，得S黑=S白故選 B.2. （2016 全國卷I）某公司的班車在 7: 30,8: 00,8: 30 發(fā)車，小明在 7: 50 至& 30 之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到

2、達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機(jī)的，則他等車時 間不超過10 分鐘的概率是（）A1 c 1 C 2 , 3A. 3B. 2 C. 3D. 4B 如圖，7: 50 至 8: 30 之間的時間長度為 40 分鐘，而小明等車時間不超過 10 分鐘是指小明在 7: 50 至& 00 之間或& 20 至 8: 30 之間到達(dá)發(fā)車站,1n=2S圓=2，所以由幾何概型知所求概率s黑八、P=-S正方形a圖 1-5-12/8此兩種情況下的時間長度之和為 20 分鐘，由幾何概型概率公式知所求概率為 P _20_1林一 40 一 2.故選 B -7:50 8:00 3:10 8:20 8:30,A BC DJ3

3、. （2018 全國卷U）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界 領(lǐng)先的成果哥德巴赫猜想是“每個大于2 的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如 30 7+ 23.在不超過 30 的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于 30 的概 率是（）1111A.徨B.和 C 后D.匕C 不超過 30 的素數(shù)有 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 共 10 個，從中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)有 C10種不同的取法，這 10 個數(shù)中兩個不同的數(shù)的和等于 30 的有313 對，所以所求概率 P-C0-15,故選 C.4. （2016 全國卷II）從區(qū)間0,1隨機(jī)抽取 2n 個數(shù) X1,沁,，X

4、n，y, y2,yn，構(gòu)成 n 個數(shù)對（X1, y1）, （x2, y2）,，（xn, yn），其中兩數(shù)的平方和小于 1的 數(shù)對共有 m 個，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率n的近似值為（）2mnC 因?yàn)?X1, X2,，Xn, y1, y2,，yn都在區(qū)間0,1內(nèi)隨機(jī)抽取，所以構(gòu)成的 n 個數(shù)對（X1, y1）, （X2, y2）,，（xn ,yn）都在正方形 OABC 內(nèi)（包括邊界）,如圖所示.若兩數(shù)的平方和小于 1,則對應(yīng)的數(shù)對在扇形 OAC 內(nèi)（不包括扇形圓弧上的點(diǎn)所對應(yīng)的S扇形mn數(shù)對），故在扇形 OAC 內(nèi)的數(shù)對有 m 個用隨機(jī)模擬的方法可得一m, 即4S正方形n 4m，所以n- 5

5、.（2017 山東高考）從分別標(biāo)有 1,2,，9 的 9 張卡片中不放回地隨機(jī)抽取Y1CB0144nm3/82 次，每次抽取 1 張，則抽到的 2 張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是（）4/8A 5 c 4 c 5 , 7A-18B - 9 C 9 D - 9C 9 張卡片中有 5 張奇數(shù)卡片，4 張偶數(shù)卡片，且為不放回地隨機(jī)抽取,5X45依題意，得 P（抽到的 2 張卡片上的數(shù)奇偶性不同）=石 =9故選 c.6.從 1 至 9 共 9 個自然數(shù)中任取 7 個不同的數(shù)，則這 7 個數(shù)的平均數(shù)是 5的概率為（）C. 9從 1 至 9 共 9 個自然數(shù)中任取 7 個不同的數(shù)的取法共有 C9= C236

6、 種，因?yàn)?1 + 9= 2 + 8 = 3+ 7 = 4 + 6,所以從(1,9), (2,8), (3,7), (4,6)中任選一3一 一41三組，則有 C3= 4,故這 7 個數(shù)的平均數(shù)是 5 的概率 P = 36=7.某食品廠為了促銷，制作了 3 種不同的精美卡片，每袋食品中隨機(jī)裝入一張卡片，集齊 3 種卡片可獲獎，現(xiàn)購買該食品 4 袋，能獲獎的概率為（）4848A. 27 B. 27c. 9 D . 9C 因?yàn)?3 種不同的精美卡片隨機(jī)放進(jìn) 4 袋食品袋中， 根據(jù)分步乘法計數(shù)原 理可知共有 34= 81 種不同放法， 4 袋食品袋中 3 種不同的卡片都有的放法共有 3XC4XA2=

7、36種，根據(jù)古典概型概率公式得能獲獎的概率為36=9,故選 C .8.學(xué)校為了獎勵數(shù)學(xué)競賽中獲獎的優(yōu)秀學(xué)生，將梅、蘭、竹、菊四幅名畫 送給獲獎的甲、乙、丙三位學(xué)生，每個學(xué)生至少獲得一幅，則在所有送法中甲得 到名畫“竹”的概率是（）C 由題意可知總方法數(shù)，先分 3 組，C4=6,再分配 A3= 6,由分步計數(shù)原理可知總方法數(shù) N=C2A3=36,滿足條件方法數(shù) N1=C3A2+A3=12,概率 P9X85/8=肚16=3 選 C -6/89.在三棱錐 S-ABC 內(nèi)任取一點(diǎn) P,使得三棱錐 P-ABC 的體積滿足 V三棱錐P-ABC1V2V三棱錐S-ABC的概率是（）A三棱錐S-ABC與三棱錐P

8、-ABC的底面相同，設(shè)三棱錐SABC的底面面 積為S,則三棱錐 P-ABC 的高 h 與三棱錐 S-ABC 的高 h滿足 gshKgxgsh,點(diǎn) P 位于棱臺 A B C -ABC 內(nèi)（如圖），其中 A , B , C分別為 SA,1SB, SC 的中點(diǎn)，易知棱臺的上底面的面積 S = 4S,所以棱臺的體積為 V三棱錐17S-ABC gV三棱錐 SABCgV三棱錐10. 有一底面半徑為 1,高為 2 的圓柱，點(diǎn) 0 為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn) P,則點(diǎn) P 到點(diǎn) 0 的距離大于 1 的概率為（）1231A. 3B. 3 c. 4 D. 4B 設(shè)點(diǎn) P 到點(diǎn) O 的距離小于等

9、于 1 的概率為 P1,1 2故點(diǎn)P到點(diǎn) o 的距離大于 1 的概率P=1 3=3.1一4D.1一2Q3一4B7 -00A-所以 hvh_亍S-ABC, 故所求概率為7&V三棱錐 S-ABC7=7V三棱錐 S-ABC8由幾何概型，則V半球P1=V圓柱2n32nx13nX12x213.sR7/811. （2018 全國卷I）如圖 1-5-2 來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何 圖形.此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形 ABC 的斜邊 BC, 直角邊AB, AC. ABC 的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為U,其余部8/8分記為川.在整個圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自I

10、，川的概率分別記為P2, P3，則（）圖 1-5-2B. pi= P3D . pi= P2+ P3A法一：設(shè)直角三角形 ABC 的內(nèi)角 A, B, C 所對的邊分別為 a, b, c,21 1 1 的面積即 ABC 的面積，為 S1= bc,區(qū)域U的面積S?2nX2 +空12 2 21 1=nC+ b - a )+ 2bc= bc,所以$=S,由幾何概型的知識知 P1= P2,故選 A .法二：不妨設(shè) ABC 為等腰直角三角形，AB= AC= 2,貝UBC= 2 2，所以 區(qū)域I的面積即ABC 的面積，為 S1=1X2X2= 2,區(qū)域川的面積 Sa=說2? 2=n2,區(qū)域II的面積 S2=nX

11、12-（ - 2） = 2.根據(jù)幾何概型的概率計算公式，2n2得 P1= P2=, P3=，所以 P1 P3, P2工 P3, P1P2+ P3,故選 A .n+2n+212. 小李從網(wǎng)上購買了一件商品，快遞員計劃在下午 5: 006: 00 之間送 貨上門，已知小李下班到家的時間為下午 5: 306: 00.快遞員到小李家時，如 果小李未到家，則快遞員會電話聯(lián)系小李.若小李能在 10 分鐘之內(nèi)到家，則快遞員等小李回來；否則，就將商品存放在快遞柜中.則小李需要去快遞柜收取商品的概率為（）P1,A . pi= P2C. p2= P3則區(qū)域I2a-2bcfi9/8D 設(shè)快遞員到小李家的時間為 x,

12、小李到家的時間為 y,C._51210/85 x 6區(qū)域?yàn)?x, y5.51- 4L了54目21/ii-212 3 4 is A在 yx=1 中，當(dāng) y=5.5 時，x= 16 ;當(dāng) y= 6 時，x=詈.c 1 A 5 17S陰影二 2X3+ 6X2 二 24,7_S陰影247由幾何概型概率公式可得 P(A) =1 = 12，小李需要去快遞柜收取商品S矩形-122的概率為右.選 D.二、填空題13. (2018 鄭州三模)已知小李每次打靶命中靶心的概率都為40%,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計小李三次打靶恰有兩次命中靶心的概率先由計算器產(chǎn)生0到 9 之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定 0,1,2,3 表示

13、命中靶心，4,5,6,7,8,9 表示未命中 靶心，再以每三個隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次打靶的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下 20 組隨機(jī)數(shù)：321 421 191 925 271 932 800 478 589 663531 297 396 021 546 388 230 113 507 965據(jù)此估計，小李三次打靶恰有兩次命中的概率為 _ .0.3 由題意知，在 20 組隨機(jī)數(shù)中表示三次打靶恰有兩次命中靶心的有由題意可得所有基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)?（X，y）|小李需要去快遞柜收取商品”為事件 A,則事件 A 包含的基本事件構(gòu)成的平面，如圖陰影部分所示的直角梯形.陰影部分的面積* x6-5.5Wy

14、6，設(shè)11/8421,191,271,932,800,531 共 6 組隨機(jī)數(shù)，所以所求概率為 元=0314某班班會，準(zhǔn)備從包括甲、乙兩人的 7 名學(xué)生中選取 4 名學(xué)生發(fā)言，要 求甲、乙兩人至少有1 人參加，則甲、乙都被選中且發(fā)言時不相鄰的概率為16若無限制條件則有 A4種情況；若甲、乙兩人都不被選中則有 A4種情況, 因此甲、乙兩人至少有 1 人被選中有 A# A4種情況甲、乙兩人都被選中且發(fā)2 2言時不相鄰共有A5A2種情況，故所求概率為 p=號5A3120=首.A7A5840 120615.記函數(shù) f(x)= 6+ x x2的定義域?yàn)?D 在區(qū)間4,5上隨機(jī)取一個數(shù) x, 則x D 的概率是_ .5 亠29由 6 + x x0，解得2x 3，-D= 2,3.如圖，區(qū)間4,5的長度為 9,定義域 D 的長度