1、第十二講 平行線問題平行線是我們日常生活中非常常見的圖形練習本每一頁中的橫線、直尺的上下兩邊、人行橫道上的 “斑馬線 ”以及黑板框的對邊、 桌面的對邊、 教室墻壁的對邊等等均是互相平行的線段正因為平行線在生活中的廣泛應用，因此有關它的基本知識及性質成為中學幾何的基本知識正因為平行線在幾何理論中的基礎性，平行線成為古往今來很多數學家非常重視的研究對象 歷史上關于平行公理的三種假設， 產生了三種不同的幾何 (羅巴切夫斯基幾何、黎曼幾何及歐幾里得幾何 )，它們在使人們認識宇宙空間中起著非常重要的作用現行中學中所學的幾何是屬于歐幾里得幾何，它是建立在這樣一個公理基礎之上的：“在平面中，經過直線外一點，

2、有且只有一條直線與這條直線平行”在此基礎上，我們學習了兩條平行線的判定定理及性質定理下面我們舉例說明這些知識的應用例1如圖1 18，直線a b ，直線AB交a 與b 于A，B，CA平分 1，CB平分2，求證：C=90 °分析由于 a b， 1 ， 2 是兩個同側內角，因此1+ 2=過 C 點作直線l，使l a( 或 b) 即可通過平行線的性質實現等角轉移證 過 C 點作直線 l ，使 l a( 圖 1 19) 因為 a b ，所以 b l，所以 1+ 2=180 ° (同側內角互補 )因為 AC 平分 1 ，BC 平分 2，所以又 3= CAE ， 4= CBF( 內錯角相

3、等 )，所以 3+ 4= CAE+ CBF說明做完此題不妨想一想這個問題的“反問題”是否成立，即“兩條直線a ，b 被直線 AB 所截 (如圖 1 20 所示 ) ，CA ，CB 分別是 BAE 與 ABF 的平分線，若 C=90 °，問直線 a 與直線 b 是否一定平行？”由于這個問題與上述問題非常相似 (將條件與結論交換位置 )，因此，不妨模仿原問題的解決方法來試解例 2 如圖 121 所示， AA 1BA 2 求 A1-B1+A2分析本題對 A 1， A 2， B 1 的大小并沒有給出特定的數值，因此，答案顯然與所給的三個角的大小無關也就是說，不管A 1， A2 ， B1 的大

4、小如何，答案應是確定的我們從圖形直觀，有理由猜想答案大概是零，即 A1 + A2=B 1 猜想，常常受到直觀的啟發，但猜想必須經過嚴格的證明式給我們一種啟發，能不能將 B1 一分為二使其每一部分分別等于A 1 與 A 2這就引發我們過B1 點引AA 1 (從而也是BA 2)的平行線，它將B1 一分為二證 過 B1 引 B 1E AA 1，它將 A1B1A 2 分成兩個角：1， 2( 如圖 122 所示 )因為 AA 1 BA 2 ，所以 B1 E BA 2從而 1= A1， 2= A 2(內錯角相等 )，所以 B1=1+ 2= A 1+ A2，即 A1- B1+ A2=0說明 (1) 從證題的

5、過程可以發現，問題的實質在于AA 1 BA 2 ，它與連接A 1， A 2 兩點之間的折線段的數目無關，如圖 1 23 所示連接 A1 ，A2 之間的折線段增加到4 條：A1 B1 ，B 1A 2， A2B2， B 2A 3，仍然有 A 1+ A2 + A3 =B 1 +B 2(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即 A 1- B1 + A2 - B2 +A 3=0 進一步可以推廣為 A1 -B 1 +A 2- B2 - Bn -1 + A n=0 這時，連結A 1，A n 之間的折線段共有n 段 A1 B1 ，B 1A 2， ， Bn -1 An (當然，仍要保持AA 1 BA n)推廣

6、是一種發展自己思考能力的方法，有些簡單的問題，如果抓住了問題的本質，那么，在本質不變的情況下，可以將問題推廣到復雜的情況(2) 這個問題也可以將條件與結論對換一下，變成一個新問題問題 1 如圖 1 24 所示 A1+ A2 = B1 ，問 AA 1 與 BA 2 是否平行？問題 2 如圖 1 25 所示若 A1 + A2 + An= B 1+ B 2+ B n-1 ，問 AA 1 與 BA n 是否平行？這兩個問題請同學加以思考例 3 如圖 126 所示 AE BD ， 1=3 2， 2=25 °，求 C分析利用平行線的性質，可以將角 “轉移” 到新的位置， 如 1= DFC 或 A

7、FB 若能將 1 ， 2 ， C“集中”到一個頂點處，這是最理想不過的了，過F 點作 BC 的平行線恰能實現這個目標解 過 F 到 FGCB，交AB 于 G，則 C= AFG( 同位角相等 )， 2= BFG( 內錯角相等 )因為AE BD，所以 1= BFA( 內錯角相等 )，所以 C= AFG= BFA- BFG=1-2=3 2-2=2 2=50 °說明 (1) 運用平行線的性質，將角集中到適當位置，是添加輔助線(平行線 )的常用技巧(2) 在學過“三角形內角和”知識后，可有以下較為簡便的解法：1= DFC= C+2，即 C= 1- 2=2 2=50 °例 4 求證：三

8、角形內角之和等于180 °分析平角為 180 °若能運用平行線的性質，將三角形三個內角集中到同一頂點，并得到一個平角，問題即可解決，下面方法是最簡單的一種證 如圖 1 27 所示，在 ABC 中，過 A 引 lBC ，則 B= 1， C= 2(內錯角相等 )顯然 1+ BAC+ 2= 平角，所以 A+ B+ C=180 °說明 事實上，我們可以運用平行線的性質，通過添加與三角形三條邊平行的直線，將三角形的三個內角“轉移”到任意一點得到平角的結論如將平角的頂點設在某一邊內，或干脆不在三角形的邊上的其他任何一點處，不過，解法將較為麻煩同學們不妨試一試這種較為麻煩的證法

9、例 5 求證：四邊形內角和等于360 °分析 應用例 3 類似的方法，添加適當的平行線，將這四個角“聚合”在一起使它們之和恰為一個周角在添加平行線中，盡可能利用原來的內角及邊，應能減少推理過程證 如圖 1 28 所示，四邊形 ABCD 中，過頂點 B 引 BE AD ，BF CD ，并延長 AB ， CB 到 H，G則有 A= 2( 同位角相等 )，D= 1( 內錯角相等 )， 1= 3(同位角相等 ) C= 4( 同位角相等 )，又 ABC( 即 B)= GBH( 對頂角相等 )由于 2+ 3+ 4+ GBH=360 °，所以 A+ B+ C+ D=360 °說

10、明 (1) 同例 3，周角的頂點可以取在平面內的任意位置，證明的本質不變(2) 總結例 3 、例 4，并將結論的敘述形式變化，可將結論加以推廣：三角形內角和 =180 ° =(3-2) × 180 °，四邊形內角和=360 ° =2 × 180 ° =(4-2) × 180 °人們不禁會猜想：五邊形內角和=(5-2) × 180 ° =540 °，n 邊形內角和 =(n-2) × 180 °這個猜想是正確的，它們的證明在學過三角形內角和之后，證明將非常簡單(3) 在

11、解題過程中，將一些表面并不相同的問題，從形式上加以適當變形，找到它們本質上的共同之處，將問題加以推廣或一般化，這是發展人的思維能力的一種重要方法例 6 如圖 1 29 所示直線 l 的同側有三點 A ，B，C ，且 AB l，BC l求證： A，B ，C 三點在同一條直線上分析 A ，B， C 三點在同一條直線上可以理解為ABC 為平角，即只要證明射線BA與 BC 所夾的角為180 °即可，考慮到以直線l 上任意一點為頂點，該點分直線所成的兩條射線為邊所成的角均為平角，結合所給平行條件，過B 作與 l 相交的直線，就可將l上的平角轉換到頂點B 處證 過 B 作直線BD ，交 l 于

12、D因為 AB l， CB l，所以 1= ABD ， 2= CBD( 內錯角相等 )又 1+ 2=180 °，所以 ABD+ CBD=180 °，即 ABC=180 ° =平角A ， B， C 三點共線思考若將問題加以推廣：在 l 的同側有n 個點 A1 ，A2 ， ，An-1 ，An ，且有 AiAi+1 l(i=1 ， 2， ， n-1) 是否還有同樣的結論？例 7 如圖 130 所示 1=2， D=90 °， EF CD 求證： 3= B分析 如果 3= B，則應需 EF BC 又知 1= 2 ，則有 BC AD 從而，應有 EF AD 這一點從條件 EF CD 及 D=90 °不難獲得證 因為 1= 2，所以AD BC( 內錯角相等，兩直線平行)因為 D=90 °及 EF CD ，所以AD EF( 同位角相等，兩直線平行)所以BC EF( 平行公理 )，所以 3= B( 兩直線平行，同位角相等)練習十二1如圖 1 31 所示已知AB CD ， B=100 °， EF 平分 BEC ， EG EF 求 BEG 和 DEG 2如圖 1 32 所示CD 是 ACB 的平分線， ACB=40 °，