1、12 1、設置PDE的定解問題即設置二維定解區域、邊界條件以及方程的形式；和系數 2、用有限元法（FEM）求解PDE即網格的生成、方程的離散以及求出數值解； 3、解的可視化主要講述如何用主要講述如何用MATLABMATLAB實現對偏微分方程的仿實現對偏微分方程的仿真求解真求解MATLABMATLAB的偏微分方程工具箱（的偏微分方程工具箱（PDE PDE ToolboxToolbox）的出現，為偏微分方程的求解以及定）的出現，為偏微分方程的求解以及定性研究提供了捷徑主要步驟為：性研究提供了捷徑主要步驟為：3只能解決二維模型，一維的擴成二維，三只能解決二維模型，一維的擴成二維，三維的縮成二維，時間

2、維不計算在內維的縮成二維，時間維不計算在內公式類型公式類型，只能解決部分偏微分方程，由，只能解決部分偏微分方程，由公式類型決定公式類型決定邊界條件兩種，邊界條件兩種，DirichletDirichlet和和NeumannNeumann初始條件初始條件45畫圖模式，先將處理的區域畫出來，畫圖模式，先將處理的區域畫出來，二二維維，方形，圓形，支持多邊形，可以手，方形，圓形，支持多邊形，可以手動更改坐標，旋轉動更改坐標，旋轉rotaterotate例如，對于細桿導熱，雖然是一維問題，例如，對于細桿導熱，雖然是一維問題，可以將寬度可以將寬度y y虛擬出來，對應于虛擬出來，對應于y y的邊界的邊界條件和

3、初始條件按照題意制定條件和初始條件按照題意制定67PDE Specification，確定偏微分方程類型共有四種：891011網格劃分，細化網格劃分，細化12如果有初始條件（與如果有初始條件（與t t有關），則在有關），則在SolveSolve的的ParametersParameters里有其設定，如果里有其設定，如果沒有初始條件（與沒有初始條件（與t t無關），則不必設無關），則不必設定定PlotPlot只是確定畫圖的參數，包括是否只是確定畫圖的參數，包括是否動畫，是否動畫，是否3D3D，是否畫出等溫線，是否，是否畫出等溫線，是否有箭頭。有箭頭。13保存成保存成M-fileM-file，自動

4、生成，自動生成14 例： 解熱傳導方程 邊界條件是齊次類型，定解區域自定。 【解解】第一步：啟動MATLAB，鍵入命令pdetool并回車，就進入GUI在Options菜單下選擇Gid命令，打開柵格，柵格使用戶容易確定所繪圖形的大小第二步：選定定解區域本題為自定區域：自擬定解區域如圖22 1所示：E1-E2+R1-E3具體用快捷工具分別畫橢圓E1、圓E2、矩形R1、圓E3然后在Set formula欄中進行編輯并用算術運算符將圖形對象名稱連接起來(或刪去默認的表達式，直接鍵入E1-E2+R1-E3)tuuf 1516第三步：選取邊界第三步：選取邊界 首先選擇Boundary菜單中Boundar

5、y Mode命令，進入邊界模式然后單擊Boundary菜單中Remove All Subdomain Borders選項。從而去掉子域邊界，如圖22 2單擊Boundary菜單中Specify Boundary Conditions選項，打開Boundary Conditions對話框，輸入邊界件本例取默認條件，即將全部邊界設為齊次Dirichlet條件，邊界顯示為紅色如果想將幾何與邊界信息存儲，可選Boundary菜單中的Export Decomposed GeometrvBoundary Conds命令，將它們分別存儲在g、b變量中，并通過MATLAB形成M文件1718第四步：設置方程類型

6、第四步：設置方程類型選擇PDE菜單中PDE Mode命令，進入PDE模式，再單擊PDE菜單中PDE Secification選項，打開PDE Secification對話框，設置方程類型本例取拋物型方程故參數c,a,f,d,分別是l，0，10，1第五步：第五步：選擇Mesh菜單中Initialize Mesh命令，進行網格剖分，選擇Mesh菜單中Refine Mesh命令，使網格密集化，如圖22.3(),udc uauft 1920第六步：第六步： 解偏微分方程并顯示圖形解解偏微分方程并顯示圖形解選擇Solve菜單中Solve PDE命令，解偏微分方程并顯示圖形解，如圖 2.4 所示2122

7、第七步：第七步：單擊Plot菜單中Parameter選項，打開Plot Selection對話框，選中Color,Height(3D plot)和Show mesh三項.再單擊Polt按鈕，顯示三維圖形解，如圖22.5所示.23第八步第八步：若要畫等值線圖和矢量場圖，單擊plot菜單中parameter 選項，在plot selection對話框中選中contour 和arrow兩選項。然后單擊plot按鈕，可顯示解的等值線圖和矢量場圖，如圖2.6所示。圖 2.6 解的等值線圖和矢量場圖 24求解橢圓型方程的例子2222poisson( , )1 ,0(1).4ux y xyuxy單位圓上的方程邊值問題： -=1 , = 問題的精確解為 u(x,y)=25求解拋物型方程的例子考慮一個帶有矩形孔的金屬板上的熱傳導問題。板的左邊保持在100 C，板的右邊熱量從板向環境空氣定常流動，其他邊及內孔邊界保持絕緣。初始 是板的溫度為0 C ，于是概括為如下定解問題;區域的邊界頂點坐標為(-0.5,-0.8), (0.5,-0.8), (-0.5,0.8), (0.5,