1、目 錄1概述2研究的背景22模型的建立32.1 基礎數據的建立32.2 變量的設定52.3 目標函數的建立6案例中a題的約束條件6案例中c題的約束條件83 模型的求解及解的分析93.1 模型的求解91概述研究的背景斯普林菲爾德（Springfield ）學校董事會打算在年底關閉它的一所中學（包括6 , 7 , 8 年級）, 并在下一年將這些年級的學生分配到另外三所中學去。學校為離校距離超過1英里的所有學生提供上下課的接送服務，因此，為了節省公交費用，學校將對學生進行分配。從該城市的六個居住區到各所學校，每個學生的一年的公交費用如下表所示（表中還給出了下一年的其他一些基本數據）。其中，0表示不需

2、要公交服務，而“”表示這種分配不可能。地區學生數量6年級比例7年級比例8年級比例每學生的校車成本（美元）學校1學校2學校3145032383030007002600372835400500355030323860030020043502840322005005500393427040064503428385003000學校容量90011001000學校的董事會規定每個學校里，每一年級的學生人數必須在總人數的3036之間，上表顯示了第二年每個地區學校的各年級的學生比例。可以劃出學生上學的地區界限，以便于在多所學校之間分配學生。但是，不管如何分配，上表所要求的每所學校的各年級的比例必須得到滿足。假

3、設學校雇用你作為管理科學的顧問，幫助學校決定如何在各所學校之間分配學生。2模型的建立2.1 基礎數據的建立<1>目標函數系數的確定通過觀察分析，我們可以知道：目標函數=各個居住區分配到某個學校的人數*該居住區到這個學校的學生公交費用經過調查分析，總結出各個居住區到學校的公交花費，我們統計了一個學生每年從家里到學校所要花費的公交費用，為了更加清晰明了，我們以表格的形式進行整理：1.3.1各個居住區的學生到不同學校的每年公交的費用地區每位學生每年的公交成本學校1學校2學校3130007002400500360030020042005005040065003000注：“”表示費用無窮大，

4、不分配學生。<2> 居住區學生總人數以及各個年級學生的數量根據學校的調查結果 ，發現一共有6個居住區，每個居住區的學生數量、各個年級學生在這個居住區中所占的比例，都進行了統計，由于數字比較多，為了更加清晰的表達出來，我們進行了一系列的整理與分析，通過一定的計算，因而得到如下表格 1.3.2 A各個居住區學生總數量與各個年級的學生比例地區學生數量6年級比例%7年級比例%8年級比例%145032383026003728353550303238435028403255003934276450342838總計2900 1.3.2b各個年級學生的總體數量地區學生數量6年級比例%7年級比例%8

5、年級比例%每個年級學生數量總計6年級7年級8年級14503238301441711354502600372835222168210600355030323816517620955043502840329814011235055003934271951701355006450342838153126171450總計29009779519722900<3>各個學校的可容納量由于學校的規模不一樣，可容納的學生數量也就不一樣，因此通過學校的研究，這些學校還可以容量的學生數量為，我們同樣通過表格來表示：1.3.3 各個學校的可容納量（人）學校1學校2學校3總計學生容納量90011001000

6、2900<4>各個學校不同年級學生的可容納量由于校方規定，每個學校里，每一個年級的學生人數必須在總人數的30%36%之間，則根據這個要求我們又得到每個年級最大與最小接收量。經過計算，我們同樣通過表格體現：1.3.4各個學校不同年級學生的可容納量學校1學校2學校3學校容量90011001000各年級可容納量最小最大最小最大最小最大6年級2703243303963003607年級2703243303963003608年級270324330396300360總計171097299011889961080<5> 學校可容納量的總數一定學校可容納量的總數為3000 2.2 變量的

7、設定設各個居住區中各個年級分配到不同學校的數量分別是：由于變量相對比較多，寫起來比文字敘述過于復雜，我們就通過表格來表未清楚： 變量居住區各個居住區中不同年級的學生分配到各個學校的人數學校1(x1)學校2(x2)學校3(x3)6年級7年級8年級6年級7年級8年級6年級7年級8年級1x11x12x13x111x112x113x121x122x123x131x132x1332x22x23x221x222x223x231x232x2333x31x32x33x311x312x313x321x322x323x331x332x3334x41x42x411x412x413x421x422x4235x51x5

8、3x511x512x513x531x532x5336x61x62x63x611x612x613x621x622x623x631x632x6332.3 目標函數的建立根據上述基礎數據可以得出如下目標函數 Minf(x)=300x11+600x31+200x41+500x61+400x22+300x32+500x42+300x62+700x13+500x23+200x33+400x53目標函數=各個居住區分配到某個學校的人數*該居住區到這個學校的學生公交費用 要使總損益值最小，只需要該目標函數取得極小值即可，這與研究問題的目的是相一致的。限制條件案例中a題的約束條件<1> 居住區的學生

9、總數量的約束x11+x12+x13=450x22+x23=600x31+x32+x33=550x41+x42=350x51+x53=500x61+x62+x63=450<2> 各個學校可容納量的約束x11+x31+x41+x51+x61-x1=0x21+x22+x32+x42+x62-x2=0x13+x23+x33+x53+x63-x3=0<3>各個學校中各個年級人數的約束x111+x121+x131=144x112+x122+x132=171x113+x123+x133=135x221+x231=222x222+x232=168x223+x233=210x311+x3

10、21+x331=165x312+x322+x332=176x313+x323+x333=209x411+x421=98x412+x422=140x413+x423=112x511+x531=195x512+x532=170x513+x533=135x611+x621+x631=153x612+x622+x623=126x613+x623+x633=171<4>各個居住區總學生人數的限制x111+x112+x113-x11=0x311+x312+x313-x31=0x411+x412+x413-x41=0x511+x512+x513-x51=0x611+x612+x613-x61=0

11、x121+x122+x123-x21=0x221+x222+x223-x22=0x321+x322+x323-x32=0x421+x422+x423-x42=0x621+x622+x623-x62=0x131+x131+x133-x13=0x231+x232+x233-x23=0x331+x332+x333-x32=0x421+x422+x423-x42=0x621+x622+x623-x62=0x131+x132+x133-x13=0x231+x232+x233-x23=0x331+x332+x333-x33=0x531+x532+x533-x53=0x631+x632+x633-x63=0

12、<5>居住區各個年級人數的約束x111+x311+x411+x511+x611-0.3x1>0x111+x311+x411+x511+x611-0.36x1<0x112+x312+x412+x512+x612-0.3x1>0x112+x312+x412+x512+x612-0.36x1<0x113+x313+x413+x513+x613-0.3x1>0x113+x313+x413+x513+x613-0.36x1<0x121+x221+x321+x421+x621-0.3x2>0x121+x221+x321+x421+x621-0.36x2

13、<0x122+x222+x322+x422+x622-0.3x2>0x122+x222+x322+x422+x622-0.36x2<0x123+x223+x323+x423+x623-0.3x2>0x123+x223+x323+x423+x623-0.36x2<0x131+x231+x331+x531+x631-0.3x3>0x131+x231+x331+x531+x631-0.36x3<0x132+x232+x332+x532+x632-0.3x3>0x132+x232+x332+x532+x632-0.36x3<0x133+x233+x

14、333+x533+x633-0.3x3>0x133+x233+x333+x533+x633-0.36x3<0 案例中c題的約束條件同a題約束條件1-4，無條件5約束，但增加約束條件6<6>居住區學生分到同一學校的約束X(ijk）這些所有的變量均為整數3 模型的求解及解的分析3.1 模型的求解對該線性規劃進行求解，結果如下所示a 為該問題建立線性規劃模型。b 你給學校董事會的最終建議是什么？由以上的求解結果可知，當各個居住區的學生人數分配取得相對應的值時，即為最終成本達到426800美元。c 根據這一點調整你的建議，使同一個地區盡可能的分配在同一所學校里。（加人這一限制可能會使你不得不取消另外一些約束。）這樣做會增加多少公交成本？（在案例9.4 中將會對這一類的分析進一步探討。）最終成本是420000，成本較a題減少6800元。d將問題a 中的模型加人選項l重新考慮，并求解。將結果與b中的