1、2021/8/141曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 前一章我們已經(jīng)把積分概念從積分范圍的角前一章我們已經(jīng)把積分概念從積分范圍的角度從數(shù)軸上的一個區(qū)間推廣到平面或空間內(nèi)的一度從數(shù)軸上的一個區(qū)間推廣到平面或空間內(nèi)的一個區(qū)域，在應(yīng)用領(lǐng)域，有時常常會遇到計算密度個區(qū)域，在應(yīng)用領(lǐng)域，有時常常會遇到計算密度不均勻的曲線的質(zhì)量、變力對質(zhì)點所作的功、通不均勻的曲線的質(zhì)量、變力對質(zhì)點所作的功、通過某曲面的流體的流量等，為解決這些問題，需過某曲面的流體的流量等，為解決這些問題，需要對積分概念作進一步的推廣，引進曲線積分和要對積分概念作進一步的推廣，引進曲線積分和曲面積分的概念，給出計算方法，這就是本章的曲面

2、積分的概念，給出計算方法，這就是本章的中心內(nèi)容，此外還要介紹中心內(nèi)容，此外還要介紹 Green 公式、公式、Gauss公式公式 和和 Stokes 公式，這些公式揭示了存在于公式，這些公式揭示了存在于各種積分之間的某種聯(lián)系。各種積分之間的某種聯(lián)系。2021/8/142重點重點第二型曲線積分與曲面積分的概念和計算方法第二型曲線積分與曲面積分的概念和計算方法Green公式、公式、Gauss 公式公式曲線積分與路徑無關(guān)的條件曲線積分與路徑無關(guān)的條件難點難點第二型曲面積分的計算第二型曲面積分的計算基本要求基本要求 正確理解曲線積分和曲面積分概念正確理解曲線積分和曲面積分概念熟練掌握曲線積分與曲面積分的

3、計算方法熟練掌握曲線積分與曲面積分的計算方法2021/8/143掌握幾種積分間的聯(lián)系，明確它們在概念、掌握幾種積分間的聯(lián)系，明確它們在概念、性質(zhì)、計算方法上的異同性質(zhì)、計算方法上的異同掌握第二型曲線積分與路徑無關(guān)的條件掌握第二型曲線積分與路徑無關(guān)的條件牢固掌握牢固掌握Green公式及其成立條件公式及其成立條件牢固掌握牢固掌握 Gauss 公式及其成立條件公式及其成立條件2021/8/144對弧長的曲線積分及其計算對弧長的曲線積分及其計算一、問題的提出一、問題的提出實例實例: :曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量. sM oxyAB1M2M1 iMiM1 nML),(ii 分割

4、分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 近似值近似值取極限取極限.),(lim10 niiiisM 精確值精確值2021/8/145二、對弧長的曲線積分的概念二、對弧長的曲線積分的概念1.定義定義,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL并作和并作和作乘積作乘積點點個小段上任意取定的一個小段上任意取定的一為第為第又又個小段的長度為個小段的長度為設(shè)第設(shè)第個小段個小段分成分成把把上的點上的點用用上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)面內(nèi)一條光滑曲線弧面內(nèi)一條光滑曲線弧為為設(shè)

5、設(shè)oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L2021/8/146.),(lim),(,),(,),(,010 niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即即記作記作線積分線積分第一類曲第一類曲上對弧長的曲線積分或上對弧長的曲線積分或在曲線弧在曲線弧則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)這和的極限存在這和的極限存在時時長度的最大值長度的最大值如果當(dāng)各小弧段的如果當(dāng)各小弧段的積分弧段積分弧段被積函數(shù)被積函數(shù)積分和式積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量.),( LdsyxM 2021/8/1472.存在條件：存在條件：.),(,),(存在存在對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分上連續(xù)時上連續(xù)

6、時在光滑曲線弧在光滑曲線弧當(dāng)當(dāng) LdsyxfLyxf3.推廣推廣曲線積分為曲線積分為上對弧長的上對弧長的在空間曲線弧在空間曲線弧函數(shù)函數(shù) ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 2021/8/148注意：注意：)(,)(. 121LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 LdsyxfLyxf曲線積分記為曲線積分記為上對弧長的上對弧長的在閉曲線在閉曲線函數(shù)函數(shù)4.性質(zhì)性質(zhì) .),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf2021/8/149).(),(

7、),()2(為為常常數(shù)數(shù)kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL 三、對弧長曲線積分的計算三、對弧長曲線積分的計算)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在在其中其中的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為上有定義且連續(xù)上有定義且連續(xù)在曲線弧在曲線弧設(shè)設(shè)定理定理2021/8/1410注意注意: :;. 1 一一定定要要小小于于上上限限定定積積分分的的下下限限.,),(. 2而是相互有關(guān)的而是相互有關(guān)的不彼此獨立不彼此

8、獨立中中yxyxf特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL .)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL 2021/8/1411推廣推廣:)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf一代、二換、三定限一代、二換、三定限代代：將積分曲線的參數(shù)方程代入被積函數(shù)，：將積分曲線的參數(shù)方程代入被積函數(shù)，換換：換弧微元：換弧微元dtyxds22 定限定限：定積分限，下限：定積分限，下限小參數(shù)，上限小參數(shù)，上限大參數(shù)大參數(shù)2021/8/1412例例1

9、。計算。計算 Lxyds其中其中L為為222ayx 在第二象限的部分在第二象限的部分解一解一將將L表示為表示為0,22 xaxaydxyds21 dxxaa22 dxxaaxaxxydsLa22022 23a 2021/8/1413解二解二將將L表示為表示為ayyax 0,22dyxds21 dyyaa22 dyyaayyaxydsLa22022)( 23a 解三解三將將L表示為參數(shù)方程表示為參數(shù)方程 taytaxsincos)2( t2021/8/1414adtdttatads 22)cos()sin( Ladttataxyds 2sincos23a 例例2).(,sin,cos:,象象限限

10、第第橢橢圓圓求求 tbytaxLxydsIL解解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin 2021/8/1415 abduubaab222)cossin(2222tbtau 令令.)( 3)(22bababaab 例例3.) 2, 1 () 2 , 1 (,4:,2一一段段到到從從其其中中求求 xyLydsILxy42 解解dyyyI222)2(1 . 0 2021/8/1416例例4)20(.,sin,cos:, 的一段的一段其中其中求求kzayaxxyzdsI解解 dkaka222sincos 20I.2122

11、2kaka 例例5 . 0,22222zyxazyxdsxI為圓周為圓周其中其中求求2021/8/1417解解由對稱性由對稱性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球球面面大大圓圓周周長長 dsa注注 關(guān)于對弧長的曲線積分的對稱性關(guān)于對弧長的曲線積分的對稱性若若 L 關(guān)于關(guān)于 y 軸對稱軸對稱 Ldsyxf),(對對 Ldsyxfyxfyxf0),(),(),() 1 (時時當(dāng)當(dāng) LLdsyxfdsyxfyxfyxf1),(2),(),(),()2(時時當(dāng)當(dāng)2021/8/1418其中其中L1 是是L 的關(guān)于的關(guān)于 y 軸對稱的部分弧

12、段軸對稱的部分弧段若若L關(guān)于關(guān)于 x 軸對稱軸對稱 Ldsyxfyxfyxf0),(),(),()1(時時當(dāng)當(dāng) LLdsyxfdsyxfyxfyxf2),(2),(),(),()2(時時當(dāng)當(dāng)其中其中L2 是是L 的關(guān)于的關(guān)于x 軸對稱的部分弧段軸對稱的部分弧段 0,),( | ),(1 xLyxyxL 0,),( | ),(2 yLyxyxL2021/8/1419若若 L 關(guān)于關(guān)于 原點原點 對稱對稱 Ldsyxfyxfyxf0),(),(),()1(時時當(dāng)當(dāng) LLdsyxfdsyxfyxfyxf3),(2),(),(),()2(時時當(dāng)當(dāng)其中其中 L3 是是 L 的對稱的部分弧段的對稱的部分弧

13、段 00,),( | ),(3 yxLyxyxL若若 L 關(guān)于直線關(guān)于直線 y = x 對稱對稱 LLdsxyfdsyxf),(),(與重積分的對稱性十分類似與重積分的對稱性十分類似2021/8/1420四、幾何與物理意義四、幾何與物理意義,),()1(的的線線密密度度時時表表示示當(dāng)當(dāng)Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()2( LdsLyxf弧弧長長時時當(dāng)當(dāng),),(),()3(處處的的高高時時柱柱面面在在點點上上的的表表示示立立于于當(dāng)當(dāng)yxLyxfsL),(yxfz .),( LdsyxfS柱柱面面面面積積2021/8/1421,)4(軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量軸軸及及曲曲線線弧弧對對y

14、x.,22 LyLxdsyIdsxI 曲線弧的重心坐標(biāo)曲線弧的重心坐標(biāo))5(., LLLLdsdsyydsdsxx 2021/8/14222021/8/1423五、小結(jié)五、小結(jié)1 1、對弧長曲線積分的概念、對弧長曲線積分的概念2 2、對弧長曲線積分的計算、對弧長曲線積分的計算3 3、對弧長曲線積分的應(yīng)用、對弧長曲線積分的應(yīng)用思考題思考題對弧長的曲線積分的定義中對弧長的曲線積分的定義中 的符號的符號可能為負(fù)嗎？可能為負(fù)嗎？iS 2021/8/1424思考題解答思考題解答iS 的符號永遠(yuǎn)為正，它表示弧段的長度的符號永遠(yuǎn)為正，它表示弧段的長度.2021/8/1425練習(xí)題練習(xí)題一、一、 填空題填空題

15、: :1 1、 已知曲線形構(gòu)件已知曲線形構(gòu)件L的線密度為的線密度為),(yx , ,則則L的質(zhì)量的質(zhì)量M= =_；2 2、 Lds= =_；3 3、 對對_的曲線積分與曲線的方向無關(guān)；的曲線積分與曲線的方向無關(guān)；4 4、 Ldsyxf),(= = dtttttf)()()(),(22中要中要求求 _ . .二、二、 計算下列求弧長的曲線積分計算下列求弧長的曲線積分: : 1 1、 Lyxdse22, ,其中其中L為圓周為圓周222ayx , ,直線直線xy 及及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界；軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界；2021/8/1426 2 2、 yzdsx2, ,其中

16、其中L為折線為折線ABCD, ,這里這里DCBA, 依次為點依次為點(0,0,0)(0,0,0), ,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3 3、 Ldsyx)(22, ,其中其中L為曲線為曲線 )cos(sin)sin(costttaytttax )20( t； 4 4、計算、計算 Ldsy, ,其中其中L為雙紐線為雙紐線 )0()()(222222 ayxayx . .三、設(shè)螺旋形彈簧一圈的方程為三、設(shè)螺旋形彈簧一圈的方程為taxcos , ,taysin , ,ktz , ,其中其中 20t, ,它的線密度它的線密度222),(zyxzyx , ,求求: : 1 1、它關(guān)于、它關(guān)于Z軸的轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動ZI慣量慣量； 2