1、一、有理函數的積分一、有理函數的積分有理函數的定義：有理函數的定義：兩個多項式的商表示的函數稱之兩個多項式的商表示的函數稱之. .mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非負負整整數數；naaa,10及及mbbb,10都都是是實實數數，并并且且00 a，00 b. 幾種特殊類型函數的積分幾種特殊類型函數的積分假定分子與分母之間沒有公因式假定分子與分母之間沒有公因式,)1(mn 這有理函數是這有理函數是真分式真分式；,)2(mn 這有理函數是這有理函數是假分式假分式； 利用多項式除法利用多項式除法, 假分式可以化成假分式可以化成一個多

2、項式和一個真分式之和一個多項式和一個真分式之和.例例1123 xxx.112 xx難點難點將有理函數化為部分分式之和將有理函數化為部分分式之和. 分母中若有因式分母中若有因式 ，則分解后為則分解后為(xa)(xb)12AA,(xb)(xa)有理函數化為部分分式之和的一般規律：有理函數化為部分分式之和的一般規律：真分式化為部分分式之和的真分式化為部分分式之和的待定系數法待定系數法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 1例例21dx1x解：解：2

3、1dx1x1dx(1x)(1x)111dx21x1x1ln | 1x |ln | 1x |C211xln |C21x注意：注意：分母拆項分母拆項是常用的技巧！是常用的技巧！.32d2 xxx解解: 原式xxd2) 1(122)2() 1( dx21arctan21xC(P203 公式 (20) )機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例. 求練習：練習：求積分求積分 1dx.x(x1)例例. 求.d3222xxxx解解: 原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxCx21arctan23機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束

4、 注意注意 以上介紹的雖是有理函數積分的普遍方以上介紹的雖是有理函數積分的普遍方法，但對一個具體問題而言，未必是最簡法，但對一個具體問題而言，未必是最簡捷的方法，應首先考慮用其它的簡便方法。捷的方法，應首先考慮用其它的簡便方法。.,132使用湊微分法比較簡單如dxxx基本思路基本思路盡量使分母簡單盡量使分母簡單降冪、拆項、同乘等降冪、拆項、同乘等化部分分式，寫成分項積分化部分分式，寫成分項積分可考慮引入變量代換可考慮引入變量代換討論類型討論類型nR(x, axb).解決方法解決方法 作代換作代換去掉根號去掉根號. .二、簡單無理函數的積分二、簡單無理函數的積分例例 求積分求積分.1113 dx

5、xx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163322t3t6t6 ln | t1 |C3662 x13 x16 x16ln( x11)C.回憶：回憶：無理函數去根號時無理函數去根號時, 取根指數的取根指數的最小最小公倍數公倍數.例例 求積分求積分.1213 dxxxx解解 先對分母進行有理化先對分母進行有理化原式原式 dxxxxxxxx)1213)(1213()1213( dxxx)1213()13(1331 xdx)12(1221 xdx.)12(31)13(922323Cxx 由三角函數和常數經過有限次四則運算由三角函數和常數經過有限次四則

6、運算構成的函數稱之一般記為構成的函數稱之一般記為)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22xxx 方法：采用萬能置換公式方法：采用萬能置換公式三、三角函數三、三角函數有理式有理式的積分的積分(以下自閱以下自閱)2sec2tan1cos22xxx ,2tan12tan122xx 令令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （萬能置換公式）（萬能置換公式）注意注意萬能置換不一定是最佳方法萬能置換不一定是最佳方法, 故三角有故三角有理式的計算中先考慮其它手段理式的計算中先考慮其它手段, 不得已不得已才用萬能置換才用萬能置換.如如 dxxxsin1cos若用萬能代換，則若用萬能代換，則 dxxxsin1cosdtttt )1()1(12222化部分分