1、2.1 等式性質與不等式性質等式性質與不等式性質探究探究:如右圖是在北京召開的如右圖是在北京召開的第第24屆國際數學家大會的會屆國際數學家大會的會標標,會會 標是根據中國古代數學標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的家趙爽的弦圖設計的,顏色的顏色的明暗使它看明暗使它看 上去像一個風車上去像一個風車,代表中國人民熱情好客代表中國人民熱情好客.你能你能在這個圖中找出一在這個圖中找出一 些相等關些相等關系和不等關系嗎系和不等關系嗎?問題問題1:這會標中含有怎這會標中含有怎樣哪些幾何圖形樣哪些幾何圖形?問題問題2:你能否在這個圖你能否在這個圖案中找出一些相等關系案中找出一些相等關系或不等關系或不等關系

2、?,直直角角三三角角形形 正正方方形形2.1 等式性質與不等式性質等式性質與不等式性質BACDHEFGab22ab 問題問題3:四個三角形的總的四個三角形的總的面積是多少面積是多少?外部的正方外部的正方形形ABCD的面積是多少的面積是多少?問題問題4:你能從左圖中從你能從左圖中從面積的角度比較這兩個面積的角度比較這兩個數的大小嗎數的大小嗎?222,ab ab 222abab2.1 等式性質與不等式性質等式性質與不等式性質BACDHEFGab22ab 問題問題5:當直角三角形變為當直角三角形變為等腰直角三角形等腰直角三角形,即即a=b 時時,正方形正方形 EFGH縮為一個點縮為一個點,這時有三角

3、形的面積和與這時有三角形的面積和與正方形的面積之間有何關正方形的面積之間有何關系系?222=abab 2.1 等式性質與不等式性質等式性質與不等式性質BACDHEFGab22ab 222abab2.1 等式性質與不等式性質等式性質與不等式性質問題問題6:上面的兩個數是否有可能相上面的兩個數是否有可能相等等?如果有如果有,請說明請說明a,b之間的關系之間的關系?問題問題7:通過前面圖形的變化觀察得到通過前面圖形的變化觀察得到a2+b22ab,請問對任意實數請問對任意實數a,b都成立嗎都成立嗎?你能證明嗎你能證明嗎?222=:+abab 證證明明222+abab2()ab 0 ab 當當且且僅僅當

4、當時時取取等等號號. .2.1 等式性質與不等式性質等式性質與不等式性質 一般地一般地,對于任意實數對于任意實數a、b,我們有我們有 當且僅當當且僅當a=b時時,等號成立等號成立.222aba b重要不等式重要不等式2.1 等式性質與不等式性質等式性質與不等式性質 一般地一般地,對于任意實數對于任意實數a、b,我們有我們有 當且僅當當且僅當a=b時時,等號成立等號成立.222aba b重要不等式重要不等式2.1 等式性質與不等式性質等式性質與不等式性質2.1 等式性質與不等式性質等式性質與不等式性質思考思考:請你先梳理等式的基本性質請你先梳理等式的基本性質,再觀察它們的共再觀察它們的共性性.你

5、能歸納一下發現等式基本性質的方法嗎你能歸納一下發現等式基本性質的方法嗎? 運算中的不變運算中的不變性就是性質性就是性質 等式有下面的基本性質：等式有下面的基本性質： 性質性質1 如果如果a=b,那么那么b=a; 性質性質2 如果如果a=b,b=c,那么那么a=c; 性質性質3 如果如果a=b,那么那么ac=bc； 性質性質4 如果如果a=b,那么那么ac=bc; 性質性質5 如果如果a=b,c0,那么那么 abcc 2.1 等式性質與不等式性質等式性質與不等式性質探究探究:類比等式的基本性質類比等式的基本性質,你能猜想不等式的基本你能猜想不等式的基本性質性質,并加以證明嗎？并加以證明嗎？性質性

6、質1(對稱性對稱性): 如果如果ab,那么那么ba;如果如果bb.即即abba性質性質2(傳遞性傳遞性): 如果如果ab,bc,那么那么ac.即即,ab bcac2.1 等式性質與不等式性質等式性質與不等式性質性質性質2(傳遞性傳遞性)的證明的證明00ababbcbc ()()0abbc 0ac ac 00ababbcbc 2.1 等式性質與不等式性質等式性質與不等式性質性質性質3(可加性可加性): 如果如果ab,那么那么a+cb+c.不等式的兩邊都加上同一個實不等式的兩邊都加上同一個實數數,所得不等式與原不等式同向所得不等式與原不等式同向.()()abcabbcbacb 不等式中任何一項可以

7、改變不等式中任何一項可以改變符號后移到不等號的另一邊符號后移到不等號的另一邊.不等式的性質不等式的性質2.1 等式性質與不等式性質等式性質與不等式性質性質性質4(可乘性可乘性): 如果如果ab,c0,那么那么acbc.如果如果ab,c0,那么那么acb,cd,那么那么a+cb+d.性質性質6 (同向同正可乘性同向同正可乘性): 如果如果ab0,cd0,那么那么acbd.兩邊都是正數的同向不等式相乘，兩邊都是正數的同向不等式相乘，所得的不等式和原不等式同向所得的不等式和原不等式同向.兩個同向不等式相加兩個同向不等式相加,所所得不等式與原不等式同向得不等式與原不等式同向.不等式的性質不等式的性質2

8、.1 等式性質與不等式性質等式性質與不等式性質當不等式的兩邊都是正數時當不等式的兩邊都是正數時,不等式的兩不等式的兩邊同時乘方所得得不等式和原不等式同向邊同時乘方所得得不等式和原不等式同向.性質性質7(可乘方性可乘方性): 0,(,1)nnababnN n如如果果那那么么性質性質8 (可開方性可開方性): 0,(,2)nnababnN n如如果果那那么么當不等式的兩邊都是正數時當不等式的兩邊都是正數時,不等式的兩不等式的兩邊同時開方所得得不等式和原不等式同向邊同時開方所得得不等式和原不等式同向.不等式的性質不等式的性質2.1 等式性質與不等式性質等式性質與不等式性質020,.ccabcab 證

9、證明明：例例 已已知知,0,11,0113,.cccabababab 要要 證證 明明因因 為為所所 以以 可可以以 先先 證證 明明利利 用用 已已 知知和和性性 質質即即 可可 證證 明明分分 析析2.1 等式性質與不等式性質等式性質與不等式性質020,.ccabcab 證證明明：例例 已已知知1:0,0,0ababab 因因 為為所所 以以證證 明明11ababab 于于 是是11ba 即即0,.cccab 由由得得1、已知、已知ab,cd,且且c、d不為不為0,那么下列不等式那么下列不等式成立的是成立的是( )A、adbc B、acbc C、a- -cb- -d D、a+cb+d D2

10、.1 等式性質與不等式性質等式性質與不等式性質2、下列命題中正確的是、下列命題中正確的是( )A、若、若ab,則則ac2bc2B、若、若ab,cb+ +d110C,ababab則則、若若D,abab cdcd則則、若若C2.1 等式性質與不等式性質等式性質與不等式性質3、下列命題中正確的個數是、下列命題中正確的個數是( )A、1 B、2 C、3 D、42011011,| |;,;,;,.yzxyyzabab cd abcdcdabbabbbabaax 若若則則則則若若則則若若則則A2.1 等式性質與不等式性質等式性質與不等式性質4、下列不等式中正確的是、下列不等式中正確的是( )2110A,;

11、B,;C,;D,.nnb cdacbdabbaaabbabbdbcadac、若若則則、則則、若若那那么么、若若則則B2.1 等式性質與不等式性質等式性質與不等式性質5、下列不等式中正確的是、下列不等式中正確的是( )2222110A,;B,;C,;D,.bacbcabb cdcdacbcababababaa、若若則則、若若則則、若若那那么么、若若則則C2.1 等式性質與不等式性質等式性質與不等式性質6、如果、如果a0,則下列不等式中正確的是則下列不等式中正確的是( )2211A;B;C;D | |.abababab 、A2.1 等式性質與不等式性質等式性質與不等式性質7、若、若a、b是任意實數是任意實數,且且ab,則則 ( )22101122A;B;C lg();D ( )( ) .ababbaab 、D2.1 等式性質與不等式性質等式性質與不等式性質8、已知、已知a+b0,b0,那么那么a,b,-a,-b的大小關系是的大小關系是( )A;B;C;D.abbaabababbaabab 、C2.1 等式性質與不等式性質等式性質與不等式性質9、下列命題正確的是、下列命題正確的是( )B22223322,;|,