1、1 xyz（第18題圖）aoc1ba1b1o1c虹口區 2019 學年度第一學期期終學生學習能力診斷測試高三數學參考答案和評分標準2019 年 12 月一、填空題（本大題滿分54 分）本大題共12 題，第 1-6 題，每題填對得4 分; 第 7-12 題，每題填對得5分 . 10, 1 25 3. 221 44 523()nnn 6. 1 7. 36 8 1 9.若，則 （或： 若，則） 101 11433 12.274二、選擇題（本大題共 4 題，每題5 分，滿分20 分） 13. a 14. d 15.a 16. b 三、解答題（本大題共5 題，滿分76 分）17 （本題滿分14 分）本題

2、共2 小題，每小題7 分解： （1）在abc中，由122cos,sin.33aa得 2 分由正弦定理，得226sin23sin.82baba 5 分于是由角a為鈍角，知.4b 7 分242sincsin()(sinacosa),262ab（ ）因 10 分設abc的bc邊上的高為h,則由11sin,22abcsahabc得42sin642.6hbc即abc的bc邊上的高等于42. 14 分18( 本題滿分14 分)本題共 3 小題，第1 小題 4 分，第 2 小題 5 分 ,第 3 小題 5 分. 解： （1）以點o為原點，直線1,ob oo分別為, y z軸, 建立空間直角坐標系，如圖所示.

3、 則相關點的坐標為(0,0,0),(0,1,0),ob1(0,1,2),b(0,1,1),c111(0, 1,2),(0,0,2),(1,0,2).aoc于是11(0,1,1),(1,1,0).ocac 2 分2 從而111111(0,1,1) (1,1,0)1cos,222oca coca coca c因此，異面直線11ocac與所成角的大小為.3 4 分（ 2）由于1(0,0,2)oo是圓柱1oo底面的一個法向量, 又1(1,1,1)cc, 6 分設直線1cc與圓柱1oo底面所成角的大小為,則111111(1, 1,1) (0,0, 2)3sincos,=,33 2ccooccooccoo

4、于是，直線1cc與圓柱1oo底面所成角的大小為3arcsin.3 9 分（ 3）由于三棱錐11coac的頂點11111,coa cc o到面的距離為 11 分而111 111111322121 12 1.2222oa coaaobca b cabb asssss正方形故1111111311.3322coa coa cvso c 14 分19( 本題滿分14 分) 本題共 2 小題，第1 小題 6 分，第 2 小題 8 分. 解： （1）設完成甲、乙、丙3 種部件生產需要的時間（單位：天）分別為123( ),( ),( ),txtxtx則由題意，得123230001000230002000300

5、01500( ),( ),( ),63()2 200(1)200(1)t xtxtxxxk xkxk xk x即123100020001500( ),( ),( ),200(1)t xtxtxxkxk x 4 分其中,200(1)x kxkx均為 1 到 200 的正整數，且.kn 6 分（2）完成訂單所用的時間為123( )max( ),( ),( ) ,f xt x t x t x其定義域為2001,2 .1xxx knkk且由于1210002000( ),( )t xtxxkx均為減函數，31500( )200 (1)t xk x為增函數，并注意到212( )( ).txt xk 8 分

6、（i ）當2k時，12( )( ),t xt x此時12310001500( )max( ),( ),( )max,2003f xt xtxt xxx3 copf2f1xyab（第 20題圖）其中166,.xxxn且由13( ),( )t xt x 的單調性知，當100015002003xx時，( )f x取得最小值，解得400.9x由于134002503004445,(44)t (44),(45)t (45),(44)(45).91113ffff而故 當44x時，完成訂單任務所用的時間最短，最短時間為25011天. 11 分（ii ）當2k時，12( )( ),t xtx由于,3,knk故此

7、時3375( )( ),( )50t xt xt xx且為增函數 . 于是1311000375( )max( ),( )max( ),( ) = g( )max,.50f xt xtxt xt xxxx由1( ),( )t xt x 的單調性知，當100037550 xx時，( )g x取得最小值，解得400.11x由于134002502503752503637,(36)t (36),(37)t (37),119111311gg而此時完成訂單任務的最短時間大于25011天. 綜上所述，當2k時，完成訂單任務所用時間最短，最短時間為25011天；此時生產甲、乙、丙 3 種部件的人數分別為44，8

8、8，68 人. 14 分20 （本題滿分16 分）本題共3 小題，第1 小題 5 分，第 2 小題 5 分，第 3 小題 6 分. 解： （1）連結1,pf設2pf的中點為,c則12.pfco由圓c與圓o相內切，得22,cocf于是1222()4,pfpfcocf 3 分因此，動點p的軌跡是：以12,f f為焦點， 4 為長軸長的橢圓；其方程為221.4xy 5 分證： （2）設直線l的方程為3,xmy并設1122(,),(,),m xyn xy則由223,44,xmyxy22(m4)2310,ymy得故1212222 31,.44myyy ymm從而1212283()23,4xxm yym于

9、是22433(,).44mqmm 7 分4 所以23(4,),4oqmm于是直線40.oqmxy的方程為由40,43,3mxyx解得433(,),33rm從而2333(,)(1,).333f rmm由于直線l的法向量2(1,m)/,f r故2.f rl 10 分解： （3）由（ 2）知1212222 31,.44myyy ymm故111222112,2,22sabyysabyy 12 分而120,y y故12122124223.4ssyyymmy 14 分由于12ss最大時0,m故1243433,442mmmmss當且僅當2m時，等號成立. 因此12max3,ss此時直線l的方程為230,23

10、0.xyxy或 16 分21. (本題滿分18 分)本題共 3 小題，第1 小題 4 分，第 2 小題 6 分，第 3 小題 8 分. 證： （1）因為1212210 ,2mmmamnaaam且對任意的構成以為公差的等差數列. 所以，當121321,0,22,24;maaaaa時當343542,4,48,412;maaaaa時 2 分當565763,12,618,624.maaaaa時于是65543,2aaaa故456,aaa成等比數列 . 4 分解： （2）由題意，對2121,4,mmmnaam任意的有于是2121212123311()()()(1)44(1)41042(1),2mmmmma

11、aaaaaaam mmmm m結合10,a得212(1)().mam mmn令121,2nmnm則得21112().222nnnnan為奇數 7 分5 由題意，對2221,22(1)22,mmmnaamm mmm任意的有故對正偶數,n有222().22nnna因此，數列na的通項公式為2221,( 1)12().24,2nnnnnnaannnn為奇數 ,或為偶數 , 10 分解： （3）對于任意的,kn有22222221(2 )4(21)44111112,22().22 (1)2 (1)21kkkkkkkakak kk kkk 12 分下面分n為偶數與奇數兩種情況討論：（ i ）當n為偶數時，設2(),nk kn22222,sa則當2k時，222222242352124(2 )35(21)111111()()22(1)(1)()()22231113142(1)2.22nkkkkskkaaaaaakkknkn于是312.2nsnn 15 分（ii ）當n為