1、第 1 頁，共 8 頁毓英中學高二下數學周練2020.2.29一、選擇題1.在等差數列 ?中，若 ?5+ ?7= 16，則 ?6= ()a. 4b. 6c. 8d. 102.“-3 ? 0, ? 0)的離心率為52，點 (4,1) 在雙曲線上，則該雙曲線的方程為 ()a. ?24- ?2= 1b. ?220-?25= 1c. ?212-?23= 1d. ?28-?2= 17.過拋物線 ?2= 4? 的焦點作直線交拋物線于?(?1,?1)?(?2,?2) 兩點，如果 ?1+ ?2= 6，那么 |?| = ()a. 6b. 8c. 9d. 108.若過橢圓?216+?24= 1內一點 ?(3,1)

2、的弦被該點平分，則該弦所在的直線方程為()a. 3?+ 4?- 13 = 0b. 3?- 4?- 5 = 0c. 4?+ 3?- 15 = 0d. 4?- 3?- 9 = 09.已知函數 ?(?) 的導函數的圖象如圖所示，則關于?(?) 的結論正確的是()a. 在區間 (-2,2)上為減函數b. 在 ?= -2 處取得極小值c. 在區間 (- ,-2) ，(2, +)上為增函數d. 在 ?= 0處取得極大值10.已知雙曲線 ?：?2?2-?2?2= 1(? 0, ? 0)的焦點與橢圓?29+?25= 1的焦點重合，且雙曲線 c 的漸近線與圓 (?- 2)2+ ?2= 3相切，則雙曲線c 的離心

3、率為 ()a. 1b. 3c. 2d. 3二、填空題11.曲線 ?= ?(1 + ?)在點 (0,2) 處的切線方程為_第 2 頁，共 8 頁12.已知函數 ?(?) = ?+ ? -?(? 0)的定義域為 (1, +)，若 ?(?) 0在(1, +)上恒成立，則a 的取值范圍為 _三、解答題（本大題共5 小題，共58.0 分）13.求下列函數的導數()?= ?+ ?()?=?2+114.已知等差數列 ?的前 n 項和為 ?，且 ?3= 6，?4= 20(1) 求?；(2) 若?1，?，?+2成等比數列，求正整數k 的值15.如圖，在直角梯形?1?1? 中， ?1?1?= 90 ，? =?1=

4、 2?1?= 2，直角梯形 ?1?1? 通過直角梯形?1?1? 以直線 ?1為軸旋轉得到， 且使得平面?1?1?平面 ?1?1? ，m 為線段 bc 的中點， p 為線段 ?1上的動點(1) 求證： ?1?1?(2) 當點 p滿足 ? = 2 ?1? 時， 求證： 直線 ?1?/平面 amp (3) 當點 p 是線段 ?1中點時，求直線?1? 和平面 amp 所成角的正弦值16.已知拋物線 ?2= 2?(? 0) 的焦點為f，a 是拋物線上橫坐標為4 且位于 x 軸上方的點， a 到拋物線準線的距離等于5，過 a 作 ab 垂直于 y 軸，垂足為b，ob 的中點為 m(1) 求拋物線方程；(2

5、) 過 m 作? ，垂足為n，求點 n 的坐標17.已知函數 ?(?) = ?(?+ 1)(1) 求函數 ?(?) 的極值；(2) 若函數 ?(?) = ?(?) - 3?- ?有兩個零點，求實數m 的取值范圍第 3 頁，共 8 頁答案和解析1.【答案】 c 【解析】 解：依題意，數列?是等差數列，所以 ?5+ ?7= 2?6= 16，解得 ?6= 8故選： c根據等差中項的性質可得?5+ ?7= 2?6= 16，即可得到結論本題考查了等差中項的性質，屬于基礎題2.【答案】 b 【解析】 解：方程?24-?+?2?+3= 1表示橢圓 ?4 - ? 0?+ 3 04 - ?+ 3，即-3 ? 4

6、且 ?12 由-3 ? 4，不能得到方程?24-?+?2?+3= 1表示橢圓；反之成立則“ -3 ? 0,? 0)的離心率為 52得，?= 52，16?2-1?2= 1，?2=?2+ ?2，?= 2 3，?= 3， 雙曲線 c 的方程為：?212-?23= 1故選： c7.【答案】 b 【解析】 解：由題意，?= 2，故拋物線的準線方程是?= -1 ， 拋物線 ?2= 4?的焦點作直線交拋物線于?(?1,?1)?(?2,?2)兩點|?| = ?1+ ?2+ 2，又 ?1+ ?2= 6 |?| = ?1+ ?2+ 2 = 8故選： b拋物線 ?2= 4? 的焦點作直線交拋物線于?(?1,?1)?

7、(?2,?2) 兩點，故 |?| = ?1+ ?2+ 2，由此易得弦長值本題考查拋物線的簡單性質，解題的關鍵是理解到焦點的距離與到準線的距離相等，由此關系將求弦長的問題轉化為求點到線的距離問題，大大降低了解題難度8.【答案】 a 【解析】 解：設弦的兩端點為?(?1,?1)，?(?2,?2)，p為 ab中點得 ?1+ ?2= 6?1+ ?2= 2，? ，b在橢圓上有 ?1216+?124= 1?2216+?224= 1，第 5 頁，共 8 頁兩式相減得?12-?2216+?12-?224= 0，可得3(?1-?2)8+?1-?22= 0，可得?2-?1?2-?1= -34，則 ?= -34，且

8、過點 ?(3,1)，有 ?- 1 = -34(?- 3)，整理得 3? + 4?-13 = 0故選： a設出 a，b 坐標，利用點在橢圓上，通過平方差公式，結合中點坐標， 求出直線的斜率，然后求解直線方程本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，直線方程的求法，設而不求思想方法的應用9.【答案】 b 【解析】 分析：結合圖象求出函數的單調區間和極值點即可本題考查了函數的單調性，極值問題，考查導數的應用以及數形結合思想，是一道常規題解：由圖象得：?(?) 在(- ,-2) 遞減，在 (-2,2)遞增，在 (2, +)遞減，故 ?(?) 在?= -2 取極小值，在 ?= 2取極大值，故選： b10.

9、【答案】 c 【解析】 解：橢圓?29+?25= 1的焦點為 ?( 2,0)，所以 ? = 2，所以 ?2+ ?2= 4雙曲線 ?：?2?2-?2?2= 1的漸近線方程為? ? = 0，由雙曲線c 的漸近線與圓 (?-2)2+ ?2= 3相切，得|2?|?2+?2= 3，可得 ?= 3? ，帶入 ?2+ ?2= 4得?= 1.離心率 ? =?= 2，故選： c利用橢圓方程求出焦點，推出 ?2+ ?2= 4，求出雙曲線的漸近線方程，利用圓的圓心到直線的距離與半徑的關系，轉化求解即可本題考查橢圓以及雙曲線的簡單性質的應用，圓的方程的應用，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題11.【答案】 ?= 2

10、?+ 2【解析】解： 由?= ?(1 + ?)， 得?= ?(1 + ?)- ?= (1 + ?- ?)?|?=0= 2，則曲線 ?= ?(1 + ?)在點 (0,2) 處的切線方程為?= 2?+ 2故答案為： ?= 2?+ 2求出原函數的導函數，得到函數在?= 0處的導數，再由直線方程的斜截式得答案本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，關鍵是熟記基本初等函數的導函數，是基礎題12.【答案】 (0, ?2)第 6 頁，共 8 頁【解析】 解：令?+ ?- ? 0，則 ? 1)恒成立，設 ?(?) =?-1(? 1)，則 ? (?)=?(?-1)-?(?-1)2=?(?-2)(?-1)2

11、，令 ?(?) 0，解得 ? 2；令 ?(?) 0，解得 1 ? 2，故函數 ?(?) 在?= 2處取得最小值，最小值為?(2)= ?2，故 0 ? ?2故答案為： (0, ?2).依題意， ? 1) 恒成立，構造函數，再求函數的最小值即可得到答案本題考查不等式恒成立求參數的取值范圍，考查利用導數研究函數的最值，考查分離參數法及邏輯推理能力，屬于基礎題13.【答案】 解： ( )函數的導數的?= (?)+ ?= ?+ 1( )函數的導數?=1?(?2+1)-?2?(?2+1)2=?2+1-2?2?(?2+1)2【解析】 根據導數的運算法則進行求導即可本題主要考查導數的計算，結合導數的公式以及運

12、算法則是解決本題的關鍵比較基礎14.【答案】 解： (1) 設公差為d，則 ?3= ?1+ 2?= 6，?4= 4?1+432?= 20，解得， ?1= 2，?= 2，所以： ?= 2 + (?- 1) 2 = 2? (2) 因為 ?= 2?, ?+2= (?+ 2) 2 +(?+2)(?+1)22 = (?+ 2)(?+ 3) 又 ?1，?，?+2成等比數列，所以2(?+ 2)(?+ 3) = (2?)2，化簡得： ?2- 5?- 6 = 0解得： ?= 6或?= -1 ，又 ?，?= 6【解析】 (1) 設出等差數列?的公差為d，根據等差數列通項公式和前n 項和公式列出方程，解得答案；(2

13、) 根據等比中項定義，列出方程，再結合k是正整數，解出k 的值本題考查了等差數列與等比數列的通項公式，考查了等差數列前n 項和，做題時注意k是正整數是中檔題15.【答案】 解：由已知可得，?1? ，ac，ab 兩兩垂直，以a 為原點， ac，ab，?1所在直線為x 軸， y 軸， z軸建立如圖空間直角坐標系，因為 ? = ?1= 2?1?= 2，可得 ?(0, 0， 0)， ?(0,2， 0) ， ?(2, 0， 0) ， ?1(0,0， 2)，?1(0,1，2) ，?1(1,0，2)，?(1,1，0)，(1) 證明： ?1?1? = (1,0,0) ，?1?1? = (0,1,0) ，?1?

14、 = (0,0,2) ，?1?1? ?1?1? = 0，?1?1? ?1? = 0，第 7 頁，共 8 頁?1?1?1?1， ?1?1?1?1?1 平面 ?1?1? ，又 ? ? 平面 ?1?1? ，?1?1? ；(2) 設 p 點坐標為 (?, y，?) ，則 ? = (?,?- 2, ?) ，?1? = (-?, 1 - ?, 2 -?) ，? = 2 ?1? ，?= -2?，?- 2 = 2 - 2? ，?= 4 - 2? ，解得 ?= 0， ?=43，? =43，即 ?(0,43,43)，設平面 amp 的一個法向量? = (?,?, ?) ，? = (1,1,0)，? ? ? = (

15、0,43,43)，? ? = ? + ?= 0? ? ? ? =43?+43?= 0，令 ? = 1，則 ?= -1 ，? = 1，得 ? = (1, -1,1) ，又?1? = (2,0, -2) ，?1? ? = 2 1 + 0 + (-2)1 = 0， 直線 ?1?/平面 amp；(3) 當 p 是線段 ?1中點時， ?(0,32,1) ，設平面 amp 的一個法向量? ? ? = (?,?, ?) ? = (1,1,0)，? ? ? =(0,32,1) ? ? ? ? = ? + ?= 0? ? ? ? ? ? =32?+ ? = 0，令 ? = 2，則 ?= -2 ，? = 3，得

16、? ? ? = (2, -2,3) ，設直線 ?1? 和平面 amp 所成角為 ? ，則 ?= |cos?1? ,? ? ? ?|=|?1? ? |?1? |?|? |=22 2? 17= 3434，故直線 ?1? 和平面 amp 所成角的正弦值為3434【解析】 (1) 求出?1?1? = (1,0,0) ，?1?1? = (0,1,0) ，?1? = (0,0,2) ，利用兩向量垂直的關系可得 ?1?1?1?1，?1?1?1，由此得證；(2) 求出直線 ?1? 的方向向量及平面amp 的法向量，計算可得這兩向量垂直，進而得證；(3) 求出直線 ?1? 的方向向量及平面amp 的法向量，利用

17、向量公式即可得解本題主要考查空間向量在解決立體幾何問題中的運用，考查運算求解及推理論證能力，屬于中檔題16.【答案】 解： (1) 拋物線 ?2= 2?的準線 ?= -?2，于是， 4 +?2= 5，?= 2 拋物線方程為?2= 4? (2) 點 a 的坐標是 (4,4) ，由題意得 ?(0,4)，?(0,2) 又 ?(1,0)，?=43又 ?，第 8 頁，共 8 頁?= -34，則 fa 的方程為 ?=43(?- 1) ，mn 的方程為 ?- 2 = -34? ，解方程組 ? -2 = -34?=43(?-1)得 ?=85?=45?(85,45)【解析】 (1) 由題意可得 4 +?2= 5

18、，可求 p，進而可求拋物線方程(2) 由題意可求點a，b，m， f， 進而可求直線fa 的斜率 ?， 結合?，可求?，然后寫出fa 的方程， mn 的方程，聯立兩直線方程可求n 本題主要考查了拋物線的性質在求解拋物線的方程中的應用，直線的位置關系的應用及兩條直線相交關系的應用17.【答案】 解： (1) 則 ? (?)= ?(?+ 2)，令 ? (?)= 0，得 ?= -2當 ? -2 時，0/，?(?) 為增函數；所以 ?(?) 的極小值為 ?(-2) = -?-2，無極大值；(2)?(?)= ?(?) - 3?-?= ?(?- 2) - ?，函數 ?(?) = ?(?- 2) - ?有兩個零點，相當于曲線?(?) = ?(?-2)與直線 ?= ?有兩個交點? (?)= ?(?- 2) + ?=