1、第五章第五章 能帶實際能帶實際5.1 一維周期場，電子的波函數(shù)一維周期場，電子的波函數(shù) ;axsinxk ，電子的波函數(shù)為，電子的波函數(shù)為該當(dāng)滿足布洛赫定理。該當(dāng)滿足布洛赫定理。 xk假設(shè)晶格常數(shù)為假設(shè)晶格常數(shù)為a ;axicosxk lklaxfx123f 為某一確定的函數(shù)為某一確定的函數(shù)試求電子在這些形狀的波矢。試求電子在這些形狀的波矢。解：解： 由式由式 reRrkRr inkn 可知，在一維周期勢場中運動的電子波函數(shù)滿足可知，在一維周期勢場中運動的電子波函數(shù)滿足 xeaxkiknak 由此得由此得1 xasinaxasin xasinexasin1iknan 于是于是 nikna1e

2、因此得因此得 n12skna 所以所以 0,1,2.s a12sk 2 axcosexaicosaxaicosikna 即即 niknaie 得得n232skna 所以所以 0,1,2.s a232sk 3 llka1lxflaaxfax令令1ll 得得 xexalxfaxkiknaklk 由上知由上知1eikna 可知可知2skna 所以所以 2.1,n 0,1,2.s na2sk 5.2 5.2 電子在周期場中得勢能電子在周期場中得勢能 0naxbm21xV222bnaxbna 當(dāng)當(dāng) bnaxba1-n 當(dāng)當(dāng)且且4b,a 是常數(shù)。是常數(shù)。 試畫出此勢能曲線，并求此勢能的平均值。試畫出此勢能

3、曲線，并求此勢能的平均值。解：解：Oa2a3axV(x)如下圖，由于勢能具有周期性，因此只在一個周期內(nèi)求平均如下圖，由于勢能具有周期性，因此只在一個周期內(nèi)求平均即可，即可，于是得于是得 dxxV4b1dxxVa1V2b2b2a2a dxxbm214b1222bb bb322x31xb8bm 22bm61 5.3 用近自在電子模型求解上題，確定晶體的第一及第二個禁帶用近自在電子模型求解上題，確定晶體的第一及第二個禁帶寬度。寬度。解：解： 在布里淵區(qū)邊境上，電子的能量出現(xiàn)禁帶，禁帶寬度的表示在布里淵區(qū)邊境上，電子的能量出現(xiàn)禁帶，禁帶寬度的表示式為式為ngV2E 其中其中nV是周期勢場是周期勢場V(

4、x)付里葉級數(shù)的系數(shù)，付里葉級數(shù)的系數(shù)， dxexVa1Vnxa2i2a2an 求得。求得。第一禁帶寬度為第一禁帶寬度為 dxexVa12V2Exa2i2a2a1g1 該系數(shù)可由式該系數(shù)可由式 dxexb2m4b12xa2ibb222 322bb222b8mdxx2bcosxb2m4b12 第二禁帶寬度為第二禁帶寬度為 dxexVa12V2Exa4i2a2a2g2 dxexb2m4b12xbibb222 222bb222bmdxxbcosxb2m4b12 5.4 用緊束縛方法導(dǎo)出體心立方晶體用緊束縛方法導(dǎo)出體心立方晶體s態(tài)電子的能帶態(tài)電子的能帶 2akcos2akcos2akcos8JAEkE

5、zyxats并求能帶寬度。并求能帶寬度。解：解： 用緊束縛方法處置晶格的用緊束縛方法處置晶格的s態(tài)電子，當(dāng)只計及最近鄰格點態(tài)電子，當(dāng)只計及最近鄰格點的相互作用時，的相互作用時， 是是最最近近鄰鄰格格矢矢nRk inatsR,eJAEkEn 對體心立方晶格，取參考格點的坐標(biāo)為對體心立方晶格，取參考格點的坐標(biāo)為0，0，0，那么那么8個個最近鄰格點的坐標(biāo)為最近鄰格點的坐標(biāo)為 2a,2a,2a其能帶的表示式為其能帶的表示式為將上述將上述8組坐標(biāo)代入能帶的表示式，得組坐標(biāo)代入能帶的表示式，得 nRk inatseJAEkE zyx2aizyx2aizyx2aizyx2aizyx2aizyx2aizyx2

6、aizyx2aiatskkkekkkekkkekkkekkkekkkekkkekkkeJAE 2akcose2akcose2akcose2akcose2JAEzkk2aizkk2aizkk2aizkk2aiatsyxyxyxyx 2akcos2akcosee4JAEzyk2aik2aiatsxx2akcos2akcos2ak8JcosAEzyxats 由余弦函數(shù)的性質(zhì)，用察看法即可斷定，由余弦函數(shù)的性質(zhì)，用察看法即可斷定，當(dāng)當(dāng)0kkkzyx 時，時，能帶中的能量取最小值能帶中的能量取最小值8JAEE0min 當(dāng)當(dāng)a1k,a1k,a1kzyx 時，時，能量取最大值能量取最大值8JAEE0max

7、因此能帶的寬度為因此能帶的寬度為16JEEEminmax 5.5由由N格原子組成的三維晶體簡單晶格格原子組成的三維晶體簡單晶格),其孤立原子中的其孤立原子中的 ,e1xxat 為正的常數(shù)。為正的常數(shù)。1試寫出該晶體的緊束縛近似波函數(shù)；試寫出該晶體的緊束縛近似波函數(shù)；2證明上面寫出的緊束縛近似波函數(shù)具有布洛赫波函數(shù)證明上面寫出的緊束縛近似波函數(shù)具有布洛赫波函數(shù)3對比闡明孤立原子的電子和晶體中的電子的波函數(shù)及對比闡明孤立原子的電子和晶體中的電子的波函數(shù)及電子基態(tài)波函數(shù)為電子基態(tài)波函數(shù)為的性質(zhì)；的性質(zhì)；能量的特征。能量的特征。解：解： 1按緊束縛近似，三維晶體電子的波函數(shù)為按緊束縛近似，三維晶體電子

8、的波函數(shù)為 latRk iRatRkeN1r , kll 一維晶體情況下，晶格常數(shù)一維晶體情況下，晶格常數(shù)a，naRl 所以所以 naxeN1x, katnak in 又又 xate1x 得得 naxnak ineeN1x, k 2 按正交化平面波方法，三維晶體電子的波函數(shù)為按正交化平面波方法，三維晶體電子的波函數(shù)為 reN1xiikkj,ijM1jrkki deRr1liiRrkkilatjkk ,kij latjRk ilk jRreN1l 對于一維晶體情況下，晶格常數(shù)對于一維晶體情況下，晶格常數(shù)a，naRl ，a xeNa1xiikkj,ijM1jxkki dxenaxa1naxkkia

9、atjkk ,kijii 此處此處 xate1x dxeea1naxan2kianaxkk ,kiji naxiknanjkeeN1 假設(shè)只取一項，那假設(shè)只取一項，那么么 nnaxeiknaedxnaxikeanaxeNa1ikxeNa10 x5.6 一矩形晶格，原胞邊長一矩形晶格，原胞邊長 ma10102 ， mb10104 1畫出倒格子圖；畫出倒格子圖；2以廣延圖和簡約圖兩種方式，畫出第一布里淵區(qū)和以廣延圖和簡約圖兩種方式，畫出第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū)；第二布里淵區(qū)；3畫出自在電子的費密面。畫出自在電子的費密面。(設(shè)每個原胞有兩個電子。設(shè)每個原胞有兩個電子。解：解：jAjbbiAiaa0

10、042 倒格子基矢為倒格子基矢為jAbiAaoo4121* (1) 由于由于以以*,ba如圖如圖6-11所示所示,圖中圖中“。代表倒格點。由圖可見，代表倒格點。由圖可見，矩形晶格的倒格子也是矩形晶格的倒格子也是矩形格子。矩形格子。為基矢構(gòu)成的倒格子為基矢構(gòu)成的倒格子第一區(qū)第一區(qū)第二區(qū)第二區(qū)xkyk a bo1A2A3A4A1B2B3B4B2其結(jié)果如下圖。其結(jié)果如下圖。iA、次近鄰、次近鄰 iB的連線的中垂線可圍成第一、第二布里淵區(qū)的連線的中垂線可圍成第一、第二布里淵區(qū)(如上圖如上圖)，這，這是布里淵區(qū)的廣延圖。是布里淵區(qū)的廣延圖。取恣意倒格點取恣意倒格點o作為原點，由原點至其最近鄰作為原點，由

11、原點至其最近鄰如采用簡約方式，將第二區(qū)移入第一區(qū)，如采用簡約方式，將第二區(qū)移入第一區(qū)，xkyk3簡約布里淵區(qū)的面積簡約布里淵區(qū)的面積 便有便有2N個形狀。個形狀。2*)(81oAbaA 而形狀密度而形狀密度2*)(162)(oANANkg 當(dāng)每個原胞有兩個電子時，晶體電子的總數(shù)為當(dāng)每個原胞有兩個電子時，晶體電子的總數(shù)為 201622FkkNkdkkgNF 設(shè)晶體共有設(shè)晶體共有N個原胞，計入自旋后，在簡約布里淵區(qū)中個原胞，計入自旋后，在簡約布里淵區(qū)中所以所以11112/11022 . 081 mAkoF 這就是費米圓的這就是費米圓的半徑，據(jù)此做出半徑，據(jù)此做出費米圓如下圖。費米圓如下圖。xkyk

12、oFk5.7 有一平面正六角形晶格，六角形兩個平行對邊的間距為有一平面正六角形晶格，六角形兩個平行對邊的間距為a見圖，試畫出此晶體的第一、第二、第三布里淵區(qū)。假見圖，試畫出此晶體的第一、第二、第三布里淵區(qū)。假設(shè)設(shè)每個原胞有每個原胞有2個電子試畫出其費米圓周。個電子試畫出其費米圓周。解：解： 如下圖，平面六角晶格如下圖，平面六角晶格1a2aoxya取六角形的中心為坐標(biāo)原點，取六角形的中心為坐標(biāo)原點，原胞也如圖中畫出。原胞也如圖中畫出。每個原胞中包含有兩個原子。每個原胞中包含有兩個原子。是一個復(fù)式格子。是一個復(fù)式格子?；富缚捎上率浇o出可由下式給出21a,a j a23i a23aj a23i

13、a23a21，可得到倒格基矢，可得到倒格基矢 j a23i a232aa2bj a23i a232aa2b132321在二維晶格下，取在二維晶格下，取ka3 其中其中由由 2321a233aaa 給出。給出。所以所以 j31i33a2bj31i33a2b21根據(jù)倒格基矢就可以根據(jù)倒格基矢就可以畫出個倒格點，從而畫出個倒格點，從而畫出布里淵區(qū)如圖。畫出布里淵區(qū)如圖。當(dāng)每個原子有當(dāng)每個原子有2個電子個電子時，那么二維晶格的價時，那么二維晶格的價電子面密度為電子面密度為1b2b可算出費米圓的半徑可算出費米圓的半徑a3.1a3316n2k2F 由此可以畫出自在電子的由此可以畫出自在電子的費米圓，如圖中

14、的所示。費米圓，如圖中的所示。2Ca338A4n 思索周期勢場的微擾，對思索周期勢場的微擾，對自在電子的費米圓作兩點自在電子的費米圓作兩點修正：修正：1在布里淵區(qū)在布里淵區(qū)的邊境限處發(fā)生分裂。的邊境限處發(fā)生分裂。2費米圓與布里淵區(qū)費米圓與布里淵區(qū)邊境限間的交角進展鈍化。邊境限間的交角進展鈍化。1b2b5.8 平面正三角形晶格見圖，相鄰原子間距為平面正三角形晶格見圖，相鄰原子間距為a。試求。試求1正格矢和倒格矢；正格矢和倒格矢；2畫出第一布里淵區(qū)，并求此區(qū)域的內(nèi)接圓的半徑。畫出第一布里淵區(qū)，并求此區(qū)域的內(nèi)接圓的半徑。1a2aa解：解：1 正格原胞的基矢正格原胞的基矢如下圖取為如下圖取為j23i2

15、aa, i aa21 其中其中 和和 是相互垂直的是相互垂直的單位矢量。單位矢量。ij取單位矢量取單位矢量 垂直于垂直于 和和 ，那么，那么 和和 構(gòu)成的體積構(gòu)成的體積ijk21a,ak3a23 倒格原胞的基矢為倒格原胞的基矢為 ja34ak2bja32ia2ka2b1221 2 選定一倒格點為原點，原點的最近鄰倒格矢有選定一倒格點為原點，原點的最近鄰倒格矢有6個，它們個，它們是是 2121bb,b,b 這這6個倒格矢的中垂線圍個倒格矢的中垂線圍成的區(qū)間構(gòu)成了兩部分，成的區(qū)間構(gòu)成了兩部分，以原點為對稱心的正六邊以原點為對稱心的正六邊形是第一布里淵區(qū)。形是第一布里淵區(qū)。第一布里淵區(qū)內(nèi)切圓的半第一

16、布里淵區(qū)內(nèi)切圓的半徑為徑為a322bk2 21bb 21bb- 1b1b-2b2b-5.9 證明：體心立方晶格第一布里淵區(qū)的界面對應(yīng)于證明：體心立方晶格第一布里淵區(qū)的界面對應(yīng)于 110晶面的布拉格反射。晶面的布拉格反射。證明：證明： , 3 , 2 , 1sin2 nnd 對于一級反射，對于一級反射，n=1,那么有那么有 sin2d (1) 式中，式中，d為反射晶面族的面間距，為反射晶面族的面間距， 為布拉格角。為布拉格角。在第一布里淵區(qū)邊境面上，必有在第一布里淵區(qū)邊境面上，必有 2sinnKk 根據(jù)布拉格衍射公式根據(jù)布拉格衍射公式此處此處nK為被界面垂直平分的倒格矢，為被界面垂直平分的倒格矢

17、，nKk sin21 (2) 令令(1)(2)兩式右邊相等，便得兩式右邊相等，便得2221lkhaKdn (3) 式中式中a為立方晶系的晶格常數(shù)，為立方晶系的晶格常數(shù)，h,k,l為晶面指數(shù)。為晶面指數(shù)。 對于體心立方構(gòu)造，其倒格子原胞是邊長為對于體心立方構(gòu)造，其倒格子原胞是邊長為2/a的面心立方的面心立方格子，布里淵區(qū)那么是從坐標(biāo)原點到最近鄰的格子，布里淵區(qū)那么是從坐標(biāo)原點到最近鄰的12個面心的個面心的倒倒格矢的中垂面圍成的十二面體，這些倒格矢的長度格矢的中垂面圍成的十二面體，這些倒格矢的長度nK由此得由此得正好等于面對角線長度的一半，正好等于面對角線長度的一半， 即即 aaKn22221 于

18、是從于是從(3)式給出式給出21aKdn (4) 根據(jù)衍射實際，對于體心立方格子，只需晶面指數(shù)之和為偶數(shù)根據(jù)衍射實際，對于體心立方格子，只需晶面指數(shù)之和為偶數(shù)的晶面族才干產(chǎn)生的晶面族才干產(chǎn)生1級反射，因此從級反射，因此從(3)(4)兩式容易看出，與布兩式容易看出，與布里淵區(qū)邊境面相對應(yīng)的反射晶面族的面指數(shù)為里淵區(qū)邊境面相對應(yīng)的反射晶面族的面指數(shù)為 . 110解：解： snRRRki0JeAEkEnsn 最最近近臨臨(1) 式中式中sR和和nR分別為參考原子及其最近鄰的位矢。分別為參考原子及其最近鄰的位矢。 在面心立方格子中，有在面心立方格子中，有12個最近鄰。個最近鄰。=0,12個最近鄰的坐標(biāo)

19、分別是個最近鄰的坐標(biāo)分別是sR5.10 用緊束縛方法處置面心立方晶格的用緊束縛方法處置面心立方晶格的s態(tài)電子，假設(shè)只計態(tài)電子，假設(shè)只計最最近鄰的相互作用，試導(dǎo)出其能帶表達式。近鄰的相互作用，試導(dǎo)出其能帶表達式。原點時，原點時，晶體中晶體中s態(tài)電子的能量表示為態(tài)電子的能量表示為假設(shè)只計及最近鄰的相互作用，按照緊束縛近似所得的結(jié)果，假設(shè)只計及最近鄰的相互作用，按照緊束縛近似所得的結(jié)果，當(dāng)取參考原子為坐標(biāo)當(dāng)取參考原子為坐標(biāo)對于對于s態(tài)電子，原子與各個最近鄰的交迭積分皆相等，態(tài)電子，原子與各個最近鄰的交迭積分皆相等，JJsn ，那么從，那么從(1)式得式得 1, 0 , 12,1 , 0 , 12,1

20、, 0 , 12,1 , 0 , 12,1, 1, 02,1 , 1, 02,1, 1 , 02,1 , 1 , 02,0 , 1, 12,0 , 1 , 12,0 , 1, 12,0 , 1 , 12aaaaaaaaaaaa )kk(2ai)kk(2ai)k(k2ai)k(k2ai)kk(2ai)kk(2ai)k(k2ai)k(k2ai)kk(2ai)kk(2ai)k(k2ai)k(k2ai0zxzxzxzxzyzyzyzyyxyxyxyxeeeeeeeeeeeeJAEkE令令 zyzxyx0k2acosk2acosk2acosk2acosk2acosk2acos4JAE zzyyxxzzy

21、yxxk2aik2aik2aik2aik2aik2aik2aik2aik2aik2aik2aik2ai0eeeeeeeeeeeeJAE5.11 證明：在三維晶格中，電子的能量在證明：在三維晶格中，電子的能量在k空間中具有空間中具有 hKkEkE , ,式中式中hK為任一倒格矢。為任一倒格矢。周期性：周期性：證明：證明： ruerkrkik 2(1) 波函數(shù)波函數(shù) rk 具有如下性質(zhì)：具有如下性質(zhì)： reTrrTkTkikk 2(2) (2) 代表平移算符。代表平移算符。 T顯然，平面波顯然，平面波可寫成可寫成按照布洛赫定理，在周期性勢場中運動的電子的波函數(shù)按照布洛赫定理，在周期性勢場中運動的電

22、子的波函數(shù) riKkhKkhCer 2滿足滿足(2)式，式， hK為恣意倒格矢。為恣意倒格矢。 因此，電子波函數(shù)該當(dāng)是一切因此，電子波函數(shù)該當(dāng)是一切 rhKk 的線性疊加，即的線性疊加，即 rArhhhKkKKkk rKi2KKkrki2rKki2KKkhhhhhheBeeB (3) 其中其中 hhKkKkCAB 。 對比對比(1)(3)兩式可知兩式可知 rKiKKkkhhheBru 2(4) 容易看出，容易看出， ruk具有晶格的周期性。具有晶格的周期性。 由由(4)式還可得到式還可得到 rKiKKKkKkhhmhmeBru 2其中其中 mK也為任一倒格矢。也為任一倒格矢。 令令 hmlKK

23、K ， 那么上式可以寫成那么上式可以寫成 r)K(Ki2KKkKkmlllmeBru rKi2KKkrKi2lllmeBe ruekrKi2m (5) 由由(1)(5)式，有式，有 ruerhhhKkrKki2Kk rueekrKi2rKki2hh rruekkrki2 (6) 即電子波函數(shù)在即電子波函數(shù)在k空間具有平移對稱性?？臻g具有平移對稱性。由薛定諤方程由薛定諤方程 rkErHkk rKkErHhhKkhKk 結(jié)合結(jié)合(6)式，立刻得到式，立刻得到 hKkEkE 5.12 證明在任何能帶中，波矢為證明在任何能帶中，波矢為k和波矢為和波矢為k的形狀有一樣的形狀有一樣的能量，即的能量，即 k

24、EkEnn kEn這里這里 代表簡約布里淵區(qū)中第代表簡約布里淵區(qū)中第n個能帶的態(tài)能量。個能帶的態(tài)能量。 證明：證明： rV表示，電子波函數(shù)用表示，電子波函數(shù)用 rnk 表示，表示， 那么薛定諤方程為那么薛定諤方程為 rkErrVrmhnknnknk 222從布洛赫定理知道，波函數(shù)從布洛赫定理知道，波函數(shù) ruernkrkink 2假設(shè)周期性勢場用假設(shè)周期性勢場用代入薛定諤方程，并由代入薛定諤方程，并由 zkykxkrkzyxzyx2222222便可得到?jīng)Q議函數(shù)便可得到?jīng)Q議函數(shù) runk的方程：的方程： rukErurVrukk imhnknnknk 2222442 (1) 取取(1)式的共軛復(fù)

25、式，得式的共軛復(fù)式，得 rukErurVrukk imhnknnknk*2222442 (2) 假設(shè)在假設(shè)在(1)式中用式中用 k 替代替代 k，那么有，那么有 rukErurVrukk imhknnknkn ,2222442 (3) 比較比較(2)(3)式可知，除了滿足式可知，除了滿足 ruruknnk ,*之外，之外， 顯然有顯然有 kEkEnn 可見，在任一能帶可見，在任一能帶 nE中，波矢為中，波矢為 k k一樣的能量。一樣的能量。和和 的兩形狀具有的兩形狀具有5.13 證明：二維正方格子第一布里淵區(qū)的角隅處的一個自在證明：二維正方格子第一布里淵區(qū)的角隅處的一個自在電子的動能，比該區(qū)側(cè)

26、面中點處的電子動能大倍。電子的動能，比該區(qū)側(cè)面中點處的電子動能大倍。 對三維簡單立方晶格，其相應(yīng)的倍數(shù)是多少？對三維簡單立方晶格，其相應(yīng)的倍數(shù)是多少？證明：證明：角隅處角隅處C和側(cè)邊中點處和側(cè)邊中點處A的的波矢分別為波矢分別為ACoxkyka1akakCA22,21 k空間空間 中一個邊長為中一個邊長為1/a的正方形的正方形(如圖如圖 )。 對邊長為對邊長為a的二維正方格子的二維正方格子, 其第一布里淵區(qū)是其第一布里淵區(qū)是相應(yīng)的自在電子能量為相應(yīng)的自在電子能量為222222224282mahmkhEmahmkhECCAA 可見，可見， ACEE2 對于三維簡單立方對于三維簡單立方晶格，假設(shè)晶格

27、常數(shù)為晶格，假設(shè)晶格常數(shù)為a，第一布里淵區(qū)是一個邊第一布里淵區(qū)是一個邊長為長為1/a的立方體的立方體(如圖如圖)，akakCA23,21 。ACoxkykzka1此時此時相應(yīng)的自在電子能量為相應(yīng)的自在電子能量為2222222283282mahmkhEmahmkhECCAA 可見，可見， ACEE3 即對簡單立方晶格，第一布里淵區(qū)角隅即對簡單立方晶格，第一布里淵區(qū)角隅 處一個自在電子的能量等于側(cè)面中點處能量的處一個自在電子的能量等于側(cè)面中點處能量的3倍。倍。5.14 運用緊束縛近似證明，正交晶系的能帶可表示為運用緊束縛近似證明，正交晶系的能帶可表示為 3322110coscoscos2akJak

28、JakJAEkEzyx 式中，式中， 3210，、 iJAEi對知晶體可視為常數(shù)；對知晶體可視為常數(shù)； 321 ， iai是晶格常數(shù)。是晶格常數(shù)。證明：證明： snRRRkiJeAEkEnsn 最近臨 20 (1) 式中式中 nsRR,分別代表參考原子及其最近鄰原子的位矢，分別代表參考原子及其最近鄰原子的位矢， snJ是位矢為是位矢為 nsRR,兩原子兩原子s態(tài)電子波函數(shù)的交迭積分。態(tài)電子波函數(shù)的交迭積分。 在緊束縛近似條件下，在緊束縛近似條件下，s態(tài)布洛赫電子的能帶可表示為態(tài)布洛赫電子的能帶可表示為取取 0 sR，即以參考原子為坐標(biāo)原點，即以參考原子為坐標(biāo)原點，其六個最近鄰的坐標(biāo)分別為其六個

29、最近鄰的坐標(biāo)分別為 332211, 0 , 0, 0 , 0,0 , 0,0 , 0,0 , 0 ,0 , 0 ,aaaaaa 代入代入(1)式，得式，得 1120, 120, 10akiakixxeJeJAEkE 332220,320,320,220,2akiakiakiakizzyyeJeJeJeJ (2) 留意到留意到 0 , 0 ,1a和和 0 , 0 ,1a 兩原子與原點間隔相等，兩原子與原點間隔相等， 應(yīng)有應(yīng)有 那么對于簡單正交晶系，那么對于簡單正交晶系， 10, 10, 1JJJ 同理同理 20,20,2JJJ 30,30,3JJJ 代入代入(2)式，并運用尤拉公式進展化簡即得式

30、，并運用尤拉公式進展化簡即得 33221102cos2cos2cos2akJakJakJAEkEzyx 或一致表示為或一致表示為 iiiiakJAEkE 2cos2310 5.15 設(shè)電子能譜仍和自在電子一樣，試采用簡約能區(qū)圖方式，設(shè)電子能譜仍和自在電子一樣，試采用簡約能區(qū)圖方式，粗略畫出簡單立方晶格第一布里淵區(qū)及其六個近鄰倒格點區(qū)域粗略畫出簡單立方晶格第一布里淵區(qū)及其六個近鄰倒格點區(qū)域內(nèi)沿內(nèi)沿 100方向的電子的方向的電子的 kE圖。圖。 解：解：k空間中一個邊長為空間中一個邊長為1/a的的簡單立方格子，如下圖。簡單立方格子，如下圖。6個最近鄰的倒格點，分別位于各臨近區(qū)域內(nèi)，它們對應(yīng)的倒格個

31、最近鄰的倒格點，分別位于各臨近區(qū)域內(nèi)，它們對應(yīng)的倒格矢分別為矢分別為 0 , 0 ,1,1, 0 , 0,1, 0 , 0,0 ,1, 0,0 ,1, 0,0 , 0 ,1aaaaaa簡單立方晶格的第一布里淵區(qū)是簡單立方晶格的第一布里淵區(qū)是取立方體中心的倒格點為原點，它有取立方體中心的倒格點為原點，它有在簡約能區(qū)圖式表示法中，在簡約能區(qū)圖式表示法中，一切的電子波矢一切的電子波矢k都要變都要變 換到第一布里淵區(qū)內(nèi)。換到第一布里淵區(qū)內(nèi)。 為簡為簡 單計，此題的計算只取原點單計，此題的計算只取原點o和界面上的點和界面上的點A,B。 這樣，這樣， 設(shè)設(shè) k可取可取 100方向上一切方向上一切能夠的值，

32、其對應(yīng)的能量為能夠的值，其對應(yīng)的能量為 222KkmhE 1E2E6543EEEE,7E kE2a1 2a1ko02040608于是，第一區(qū)及其臨近區(qū)域內(nèi)沿于是，第一區(qū)及其臨近區(qū)域內(nèi)沿 100方向的方向的Ek圖可分別求出圖可分別求出 如下：如下： (1)第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)0 K2222008,0 , 0 ,218,0 , 0 ,210, 0mahEakmahEakEkBBAA 據(jù)此可作略圖，如圖中的據(jù)此可作略圖，如圖中的 1E曲線。曲線。 圖中圖中 2208/ mah 取作能量的單位。取作能量的單位。(2)各臨近區(qū)域各臨近區(qū)域當(dāng)當(dāng) 0 , 0 ,1aK時，那么時，那么 222222222

33、22002089,0 , 0 ,238,0 , 0 ,212,0 , 0 ,1mahEakKkmahEakKkmahEakKkBBBAAA 作略圖如曲線作略圖如曲線 2E。 當(dāng)當(dāng) 0 ,1, 0aK時，那么時，那么 22332233223003085,01,2185,0 ,1,212,0 ,1, 0mahEaakKkmahEaakKkmahEakKkBBBAAA 作略圖如曲線作略圖如曲線 3E。 當(dāng)當(dāng) 0 ,1, 0aK時，那么時，那么 22442244224004085,01,2185,0 ,1,212,0 ,1, 0mahEaakKkmahEaakKkmahEakKkBBBAAA 作略圖如

34、曲線作略圖如曲線 4E。 當(dāng)當(dāng) aK1, 0 , 0和和 aK1, 0 , 0時，時， 所得曲線所得曲線 65,EE與曲線與曲線 43,EE重合。重合。 當(dāng)當(dāng) 0 , 0 ,1aK時，有時，有 2277227722700708,0 , 0 ,2189,0 , 0 ,232,0 , 0 ,1mahEakKkmahEakKkmahEakKkBBBAAA 作略圖如曲線作略圖如曲線 7E。 5.16 設(shè)有晶格常數(shù)為設(shè)有晶格常數(shù)為a、2a、3a的簡單正交晶格，試求：的簡單正交晶格，試求：1簡約布里淵區(qū)的圖形及體積；簡約布里淵區(qū)的圖形及體積；2在自在電子近似下，費密面與簡約布里淵區(qū)的各邊在自在電子近似下，

35、費密面與簡約布里淵區(qū)的各邊境面相切時所對應(yīng)的價電子數(shù)與原子數(shù)之比；境面相切時所對應(yīng)的價電子數(shù)與原子數(shù)之比；3假設(shè)該晶體的費密面正好是與簡約布里淵區(qū)的各邊境假設(shè)該晶體的費密面正好是與簡約布里淵區(qū)的各邊境面相切的橢球面，求該晶體的價電子數(shù)與原子數(shù)之比。面相切的橢球面，求該晶體的價電子數(shù)與原子數(shù)之比。解：解：1令簡單正交晶格的三個晶軸分別為令簡單正交晶格的三個晶軸分別為X、Y、Z軸，那軸，那么么它的基矢可寫成它的基矢可寫成 k3aaj2aai aa321可求出它的倒格子基矢可求出它的倒格子基矢 k3a2bjabi2b321a由此倒格矢可寫成由此倒格矢可寫成 kh31jh21iha2bhbhbhK32

36、1332211h而布里淵區(qū)邊境面由式而布里淵區(qū)邊境面由式02KkKhh 給出給出0k3ahkj2ahkiahkkh31jh21iha23z2y1x321 即即03ahkh312ahkh21ahkh3z32y21x1 取最短的幾個倒格矢，得到的相應(yīng)邊境面可列表如下：取最短的幾個倒格矢，得到的相應(yīng)邊境面可列表如下：邊境面方程邊境面方程邊境面方程邊境面方程 321h,h,h 321h,h,h 1,0,0 1,00, 10,0, 1,01, 11,0, 11,0, akx 2aky 3akz 2a5k2kyx 3a10k3kzx 6a132k3kzy 從上面的平面方程中，可以看到離原點最近的幾個面是上

37、表中從上面的平面方程中，可以看到離原點最近的幾個面是上表中列出的最前面三個方程所表示的六個平面。列出的最前面三個方程所表示的六個平面。 這六個平面圍成這六個平面圍成一個長方體如下圖，這就是該晶格的第一布里淵區(qū)，一個長方體如下圖，這就是該晶格的第一布里淵區(qū)， 它的它的體積是體積是 3321a34bbb xkzkyk2在自在電子近似下，費米面為球面。在自在電子近似下，費米面為球面。當(dāng)費米面與第一布里淵區(qū)的當(dāng)費米面與第一布里淵區(qū)的三對平面相切時的半徑分別為三對平面相切時的半徑分別為 3ak2akak321FFF1由由 312312Fn3VN3h 式可得各情況下的相應(yīng)電子密度式可得各情況下的相應(yīng)電子密

38、度 332F223332F322332F32181a3a31k31n24a2a31k31n3aa31k31n321每個原胞的體積每個原胞的體積 33216aaaa 根據(jù)以上幾式可求出各個原胞內(nèi)所含的自在電子數(shù)根據(jù)以上幾式可求出各個原胞內(nèi)所含的自在電子數(shù)20.2327281a6anN0.79424a6anN6.323a6anN333333223311 由于簡單正交格子是簡單格子，所以每個原胞中只包含一個由于簡單正交格子是簡單格子，所以每個原胞中只包含一個原子，因此上面算得的原子，因此上面算得的即分別是三種情況下的即分別是三種情況下的321N,N,N自在電子數(shù)與原子數(shù)之比。自在電子數(shù)與原子數(shù)之比。

39、3 假設(shè)費米面是與簡約布里淵區(qū)的各個邊境面相切的橢球假設(shè)費米面是與簡約布里淵區(qū)的各個邊境面相切的橢球面，那么它的費米面方程可寫成面，那么它的費米面方程可寫成1kkkkkk2F2z2F2y2F2x321 這里的這里的321FFFk,k,k分別是橢球的三個主軸長度，由分別是橢球的三個主軸長度，由2給出。給出。橢球橢球 V中可以有中可以有 V2V3 個軌道形狀。個軌道形狀。思索自旋，那么在橢球費米面內(nèi)可包容的電子數(shù)為思索自旋，那么在橢球費米面內(nèi)可包容的電子數(shù)為 V22VN3因此晶體的電子密度為因此晶體的電子密度為 V22VNn33每個原胞所含的電子數(shù)即為每個原胞所含的電子數(shù)即為 V22nN3C由于簡

40、單正交格子是簡單格子，每個原胞只含一個原子，所以由于簡單正交格子是簡單格子，每個原胞只含一個原子，所以CN也即是自在電子數(shù)與原子數(shù)之比。也即是自在電子數(shù)與原子數(shù)之比。為了得到為了得到CN值，必需值，必需知道橢球的體積知道橢球的體積 。 V為此。令為此。令 zrkkyrkkxrkk321FzFyFx5由由3、5兩式可知兩式可知42222rzyx 即變成一個半徑為即變成一個半徑為r的球面方程，它的體積為的球面方程，它的體積為3r34V 在作在作5式的變換時，相對應(yīng)的體積變換關(guān)系為式的變換時，相對應(yīng)的體積變換關(guān)系為3FFF3FFFzyxrkkkxyzrxyzkkkxyzkkkVV321321 所以所以321321FFF3FFFkkk34VrkkkV 把上式代入把上式代入4式，并利用式，并利用1、2式，即可得晶體中式，即可得晶體中自在電子數(shù)與原子數(shù)之比自在電子數(shù)與原子數(shù)之比 321FFF333Ckkk346a2222N 3a2aa2akkk2a23FFF23321 1.053 5.17 體心立方晶格，原子總數(shù)為體心立方晶格，原子總數(shù)為N 。假設(shè)電子等能面為球面，。假設(shè)電子等能面為球面，試求：當(dāng)費密面正好與第一布里淵區(qū)的界面相切時，第一布里試求：當(dāng)費密面正好與第一布里淵區(qū)的界面相切時，第一布里淵區(qū)實踐填充的電子數(shù)。淵區(qū)實踐填充的電子數(shù)。解：解：因此，在第一布里淵區(qū)內(nèi)實踐填充的電子數(shù)