1、會計學1D124函數展開成冪級數函數展開成冪級數冪級數兩類問題:在收斂域內和函數)(xS求 和展 開第1頁/共23頁其中( 在 x 與 x0 之間)稱為拉格朗日型余項拉格朗日型余項 .則在復習復習:若函數的某鄰域內具有 n + 1 階導數, 該鄰域內有 :f (x) 的 n 階泰勒公式階泰勒公式第2頁/共23頁f (x)的的冪級數冪級數為f (x) 的泰勒級數泰勒級數 . 則稱當x0 = 0 時, (1) 對此級數, 它的收斂域是什么 ？(2) 在收斂域內 , 和函數是否為 f (x) ?若函數的某鄰域內具有任意階導數, 0)(xxf在泰勒級數又稱為麥克勞林級數麥克勞林級數 .第3頁/共23頁

2、)()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn)(00 xxxf200)(!2)(xxxf 泰勒公式可以表示為第4頁/共23頁各階導數, 則 f (x) 在該鄰域內能展開成泰勒級數證明證明:設函數 f (x) 在點 x0 的某一鄰域 內具有“ ”limn“ ”第5頁/共23頁若 f (x) 能展成 x 的冪級數,唯一的 , 證明證明:則顯然結論成立 .則這種展開式是設 f (x) 所展成的冪級數為且與它的麥克勞林級數相同.第6頁/共23頁1 直接展開法直接展開法第一步第二步第三步是否為直接展開成冪級數的步驟 :展開方法展開方法直接展

3、開法 利用泰勒公式間接展開法 利用已知函數的冪級數0. 展開式求函數及其各階導數在 x = 0 處的值 ;寫出麥克勞林級數 , 并求出其收斂半徑 R ;判定在收斂區間(R, R) 內第7頁/共23頁)(xRn(1)1( )(1)!nnfxn(0)f(0)fx2(0)2!fx( )(0)!nnfxn展開成 x 的冪級數. 解解: 其收斂半徑為 故得級數 其余項故( 在0與x 之間)第8頁/共23頁展開成 x 的冪級數.解解: 得級數:其收斂半徑為 其余項! ) 1( nn0(,),x ( 在0與x 之間)第9頁/共23頁對上式兩邊求導可推出:),(x),(x間接展開間接展開第10頁/共23頁展開

4、成 x 的冪級數, 其中m為任意常數 . 解解:于是得 級數由于級數在開區間 (1, 1) 內收斂. 因此對任意常數 m, 第11頁/共23頁2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(稱為二項展開式二項展開式 .注：注：(1) 在 x =1 處的收斂性與 m 有關 .(2) 當 m 為正整數時, 級數為 x 的 m 次多項式, 上式就是代數學中的二項式定理二項式定理.第12頁/共23頁利用已知函數的冪級數展開式,例例4 展開成 x 的冪級數.解解:)11(x將所給函數展開成 冪級數. 將函數)11(x類似地第13頁/共23頁展開成 x 的冪級數.解解: 從 0 到 x 積分, 定義且

5、連續, 域為上式右端的冪級數在 x =1 收斂 ,所以展開式對 x =1 也是成立的,于是收斂ln(1)x即得第14頁/共23頁展成解解: 的冪級數. 第15頁/共23頁展成 x1 的冪級數. 解解: 22第16頁/共23頁201( 1)(1)2nnnnx第17頁/共23頁1. 函數的冪級數展開法(1) 直接展開法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開法 利用已知函數的冪級數展開式.2. 常用函數的冪級數展開式1x( 1,1x x2!21x221x331x441x1( 1)nnxn第18頁/共23頁x11nxnnmmm!) 1() 1(當 m = 1 時),(x),(x) 1, 1(x第19頁/共23頁1. 函數處 “有泰勒級數” 與 “能展成泰勒級數” 有何不同 ?提示提示: 后者必需證明前者無此要求.2. 如何求的冪級數 ?提示提示:第20頁/共23頁將下列函數展開成 x 的冪級數解解:211x時, 因此 級數條件收