1、會計學1new傳遞函數(shù)矩陣的矩陣分式傳遞函數(shù)矩陣的矩陣分式(fnsh)描描述和結(jié)構(gòu)特性更新中述和結(jié)構(gòu)特性更新中第一頁，共35頁。 傳遞函數(shù)矩陣的矩陣分式描述（MFD, Matrix Fraction Description）是復(fù)頻域理論中表征線性時不變系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的一種基本模型。本章前半部分將對MFD做較為系統(tǒng)和全面的討論，主要內(nèi)容包括MFD的形式、構(gòu)成、真性、嚴真性和不可簡約性等。 本章后半部分討論傳遞函數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)特性，它是復(fù)頻域分析和綜合的基礎(chǔ)。傳遞函數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)特性由極點和零點的分布(fnb)屬性、極點和零點的不平衡屬性表示： 極點和零點的分布(fnb)屬性：決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性和運動

2、行為； 極點和零點的不平衡屬性：反映系統(tǒng)的奇異特性和奇異程度。其中，我們需要重點掌握的內(nèi)容包括Smith-McMillan型、結(jié)構(gòu)指數(shù)、極點和零點。本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容矩陣分式描述矩陣分式描述規(guī)范矩陣分式描述規(guī)范矩陣分式描述埃米特型、波波夫型、史密斯埃米特型、波波夫型、史密斯-麥可米倫型麥可米倫型MFD傳遞函數(shù)矩陣的極點、零點和結(jié)構(gòu)指數(shù)傳遞函數(shù)矩陣的極點、零點和結(jié)構(gòu)指數(shù)(zhsh)傳遞函數(shù)矩陣的評價值（略）傳遞函數(shù)矩陣的評價值（略）傳遞函數(shù)矩陣的零空間和最小多項式基（略）傳遞函數(shù)矩陣的零空間和最小多項式基（略）第1頁/共34頁第二頁，共35頁。1 右MFD和左MFD 考慮p維輸入和q維輸出

3、的連續(xù)線性時不變系統(tǒng)，其輸入輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)矩陣G(s)為qp有理分式矩陣，其表示(biosh)形式為)17()()()()()()()()()(11111111sdsnsdsnsdsnsdsnsGqpqpqqpp 嚴格真有理矩陣：有理矩陣嚴格真有理矩陣：有理矩陣 G(s) 滿足滿足 G() = 0。 真有理矩陣：有理矩陣真有理矩陣：有理矩陣 G(s) 滿足滿足 G() = G0 (非零常數(shù)非零常數(shù)(chngsh)。 考察考察G(s)是否為嚴格真有理矩陣或真有理矩陣，只要觀察是否為嚴格真有理矩陣或真有理矩陣，只要觀察G(s)中的元素中的元素 gij(s) = nij(s)/dij(s) 是是

4、否有否有 deg nij(s) deg dij(s)。第2頁/共34頁第三頁，共35頁。)()(00)()(000000123222113121112122322222111311211111321232221131211323222121313212111232322222121131312121111sNsDnnnnnndddndndndndndnsDsNdddnnnnnndndndndndndndndndndndndnllrrrrrrrrrrccccccccc其中(qzhng)dci是G(s)中第i列元素的最小公分母；dri是G(s)中第i行元素的最小公分母。 例如(lr)，第3頁/共3

5、4頁第四頁，共35頁。 解 首先構(gòu)造(guzo)G(s) 的右MFD。為此，定出G(s)各列的最小公分母如下： dc1(s) = (s+2)(s+3)2 ， dc2(s) = (s+3)(s+4) ，dc3(s) = (s+1)(s+2) 1433)1(231)3)(2(1)(2ssssssssssssssG 進而(jn r)，構(gòu)造G(s)的左MFD。為此，定出G(s)各行的最小公分母如下： dr1(s) = (s+2)(s+3)2 ， dr2(s) = (s+1)(s+3)(s+4) 由此可以導出G(s)的右MFD為1221)2)(1()4)(3()3)(2()2()3()3)(2)(1()

6、1()4)(1(1)()()(ssssssssssssssssssDsNsGrr第4頁/共34頁第五頁，共35頁。2 MFD的特性的特性 (1) MFD的實質(zhì)的實質(zhì) 類似類似(li s)于于SISO線性時不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的分式化表示，線性時不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的分式化表示，)4)(3()3)(1()4()1()3()3)(2)(1(1)4)(3)(1()3)(2()()()(222121sssssssssssssssssssNsDsGll)37()()()()()()()(11snsdsdsnsdsnsgMIMO線性時不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣的MFD G(s) = Nr(s)Dr-1(s) =

7、Dl-1(s)Nl(s)實質(zhì)上，上式也屬于G(s)的分式化表示。因此，稱Dr(s)、Dl(s)為G(s)的分母(fnm)矩陣，Nr(s)、Nl(s)為G(s)的分子矩陣。第5頁/共34頁第六頁，共35頁。 (3) MFD的不惟一(wiy)性 對傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其右MFD和左MFD 不惟一(wiy)，且不同的MFD可能具有不同的次數(shù)。 解 G(s)的兩個(lin )MFD為 【例例7-2】給定22傳遞函數(shù)矩陣G(s)為22222)2()2()2()2()1()(ssssssssssG1222122122221112)2()2()1(00)()()()2(00)2()1()1()()()(s

8、sssssssDsNsGsssssssssDsNsGrrrr并且可求出deg detD1r(s) = 6，deg detD2r(s) = 5。 兩右MFD的次數(shù)是不等的。第6頁/共34頁第七頁，共35頁。3 真性真性(zhnxng)(嚴真性嚴真性(zhnxng)有理矩陣定理有理矩陣定理 定理定理7-1 設(shè)設(shè)G(s) 是是 rm 階真性階真性(zhnxng)(嚴真性嚴真性(zhnxng)有理矩陣，有理矩陣， G(s) = Nr(s)Dr-1(s) = Dl-1(s)Nl(s)，則，則)117(, 2 , 1)()()()()107(, 2 , 1)()()()(risDsNsDsNmjsDsNs

9、DsNlrilrilrilrircjrcjrcjrcj和242120)(,1624737412)(223222sssssssDsssssssssNrr 【例【例7-3】真有理】真有理(yul)矩陣矩陣G(s) = Nr(s)Dr-1(s)，其多項式矩陣，其多項式矩陣Nr(s) 、Dr(s)如下如下 從兩個多項式矩陣可知， c1Nr(s) = 2 c1Dr(s) = 2 c2Nr(s) = 2 c2Dr(s) = 3 注意注意：上述定理的逆命題并不成立，下面是一個說明這個問題的實例。第7頁/共34頁第八頁，共35頁。111)(,21)(2ssssDsNrr 解解 由兩個多項式矩陣可知，由兩個多項

10、式矩陣可知， cjNr(s) cjDr(s) ， j =1, 2但是但是(dnsh)，G(s) = Nr(s)Dr-1(s) = -2s1 2s2-s+1 卻是多項式矩陣，既不是真有卻是多項式矩陣，既不是真有理矩陣，更不是嚴格真有理矩陣。理矩陣，更不是嚴格真有理矩陣。第8頁/共34頁第九頁，共35頁。)217(, 2 , 1)()()()(mjsDsNsDsNrcjrcjrcjrcj 定理7-3 每一個非奇異多項式方陣M(s)都可以通過單模矩陣(j zhn)Ur(s)或Ul(s)將其變換成列既約矩陣(j zhn)M(s)Ur(s)或行既約矩陣(j zhn)Ul(s)M(s)。（祥見上一章） 定

11、理7-4 (多項式矩陣除法定理)設(shè)Nr(s)和Dr(s)是兩個rm和mm階多項式矩陣，且Dr(s)非奇異，則存在唯一(wi y)的rm階多項式矩陣Qr(s)和R(s)使得 Nr(s) = Qr(s)Dr(s) + R(s) (7-31)且 R(s)Dr-1(s) 是嚴真性有理矩陣，或者說在Dr(s)為列既約條件下 cj R(s) cj Dr(s), j=1,2,m (7-32) 定理定理7-4的對偶定理的對偶定理 設(shè)Nl(s)和Dl(s)是兩個rm和rr階多項式矩陣，且Dl(s)非奇異，則存在唯一的 rm 階多項式矩陣Ql(s)和L(s)使得 Nl(s) = Dl(s)Ql(s) + L(s)

12、 (7-33)且 Dl-1(s)L(s) 是嚴真性有理矩陣，或者說在Dl(s)是行既約的條件下，有 ri L(s) deg dij(s)，j=1, 2, , i-1。 當dii(s) = 1，滿足關(guān)系式 dij(s) = 0，j=1, 2, , i-1 。則稱Nrh(s)Drh-1(s)為G(s)的列Hermite型MFD。)407()()()()()()()(21222111sdsdsdsdsdsdsDpppprh第11頁/共34頁第十二頁，共35頁。其中， 對角(du jio)元dii(s)為首1多項式，i = 1, 2, , q。 當dii(s)為含s多項式，滿足關(guān)系式deg dii(s

13、)deg dji(s)，j=1, 2, , i-1。 當dii(s) = 1，滿足關(guān)系式 dji(s) = 0，j=1, 2, , i-1 。則稱Nrh(s)Drh-1(s)為G(s)的列Hermite型MFD。)417()()()()()()()(22211211sdsdsdsdsdsdsDqqqqlh Hermite型MFD的惟一性 對qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其所有(suyu)不可簡約右MFD均具有相同列Hermite型MFD Nrh(s)Drh-1(s)，其所有(suyu)不可簡約左MFD均具有相同行Hermite型MFD Nlh(s)Dlh-1(s)。 證明證明 略。 第12頁/共3

14、4頁第十三頁，共35頁。 定義定義7-3 Popov型型MFD 對于對于qp傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣G(s)的的MFD，G(s) = NrE(s)DrE-1(s) = DlE-1(s)NlE(s) 。如果。如果(rgu)pp分母矩陣分母矩陣DrE(s)具有具有Popov型，則稱型，則稱NrE(s)DrE-1(s)為為G(s)的的Popov型右型右MFD；如果；如果(rgu)qq分母矩陣分母矩陣DlE(s)具有具有Popov型，則稱型，則稱NlE(s)DlE-1(s)為為G(s)的的Popov型左型左MFD 。 Popov型MFD的惟一(wiy)性 對qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其所有不可簡約右M

15、FD均具有相同Popov型右MFD NrE(s)DrE-1(s)，其所有不可簡約左MFD均具有相同Popov型左MFD NlE(s)DlE-1(s)。 證明證明 略。 第13頁/共34頁第十四頁，共35頁。1 Smith-McMillan型的定義 定義7-4 Smith-McMillan型的定義：當且僅當秩為r的qp有理分式矩陣(j zhn)M(s)具有如下形式：其中， i(s), i(s)為互質(zhì)(h zh)， i=1, 2, , r ； 滿足整除性i+1(s)| i(s)和i(s)|i+1(s)為，i=1, 2, , r-1。則稱該M(s)為Smith-McMillan型。)617(000)

16、()()()()()()(2211sssssssMrr第14頁/共34頁第十五頁，共35頁。 【例【例7-5】導出下列】導出下列22嚴格真有理分式嚴格真有理分式(yu l fn sh)矩陣矩陣G(s)的的Smith-McMillan型。型。 解 首先(shuxin)定出G(s)各元有理分式最小公分母d(s)和相應(yīng)分子多項式矩陣N(s)，有 22222)2()2()2()2()1()(ssssssssssG22222)1()1()1()(,)2()1()(ssssssssNsssd進而，取單模陣對U(s)、V(s)，10)1(1)(,1)1(01)(22ssVssU第15頁/共34頁第十六頁，共

17、35頁。最后，將上式兩邊(lingbin)乘以1/d(s)，可以導出消去上式中各對角元有理分式(yu l fn sh)的公因子，就得到G(s)的Smith-McMillan型222222)2()1()2()1(00)2()1()()()()()(1)(sssssssssVsGsUssdsM并且可以看出，本例得到(d do)的Smith-McMillan型M(s)不再保持為嚴格真。)2()1(0010)1(1)1()1()1(1)1(01)()()()(2222222ssssssssssssssVsNsUs200)2()1()()()()(222ssssssVsGsUsM第16頁/共34頁第十七

18、頁，共35頁。 (1) Smith-McMillan型型M(s)的惟一的惟一(wiy)性：性： 有理分式矩陣有理分式矩陣G(s)的的Smith-McMillan型型M(s)為惟一為惟一(wiy)。 (4) 非奇異非奇異G(s)的屬性：的屬性： 對對qq非奇異有理分式矩陣非奇異有理分式矩陣(j zhn)G(s)，下列等式成立：，下列等式成立：其中，為非零常數(shù)。)627()()()(det1sssGiiqi (3) Smith-McMillan型型M(s)的非保真性：的非保真性： 嚴真性有理分式矩陣G(s)的Smith-McMillan型M(s)不保持嚴真性，M(s)甚至可能為非真性。 注：注：導

19、致M(s)非保真性的原因是，單模變換陣對U(s)，V(s)的引入，可能會在M(s)中附加引入乘子sk，k = 1, 2, 。如前例7-5。 (2) 將將G(s)化成化成M(s)的單模陣對的單模陣對U(s)，V(s)不惟一性：不惟一性： 化有理分式矩陣G(s)為Smith-McMillan型M(s)的單模陣對U(s)，V(s)不惟一。第17頁/共34頁第十八頁，共35頁。則可將M(s)表示(biosh)為右MFD， M(s) = Er(s)r-1(s) (7-65)如若(rru)引入)637(000)()()()()()()()()()(2211sssssssVsGsUsMrrrprrrprqr

20、rIssssssssE00)()()()(,000)()()()(21)()(21第18頁/共34頁第十九頁，共35頁。則可將M(s)表示(biosh)為左MFD， M(s) = l-1(s)El(s) (7-67)rqrlrprqrlIssssssssE00)()()()(,000)()()()(21)()(21 (6) G(s)基于基于(jy)Smith-McMillan型型M(s)的不可簡約的不可簡約MFD： 對對qp傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其，其Smith-McMillan型為型為M(s)，單模變換陣對為，單模變換陣對為U(s)，V(s)，M(s)的右的右MFD和左和左MFD

21、為為 M(s) = Er(s)r-1(s) 和和 M(s) = l-1(s)El(s)若取若取 Nr(s) = U-1(s)Er(s) ， Dr(s) = V(s)r(s) (7-68)則則Nr(s)Dr-1(s)為為G(s)的不可簡約右的不可簡約右MFD。若取。若取 Nl(s) = El(s)V-1(s) ， Dl(s) = l(s)U(s) (7-69)則則Dl-1(s)Nl(s)為為G(s)的不可簡約左的不可簡約左MFD。 證明證明 （略）（略）第19頁/共34頁第二十頁，共35頁。 基于(jy)以上描述，羅森布羅可（H. H. Rosenbrock）在20世紀70年代對傳遞函數(shù)矩陣的有

22、限極點和有限零點給出如下定義。 1 傳遞函數(shù)矩陣的有限極點和有限零點傳遞函數(shù)矩陣的有限極點和有限零點 (1) 有限極點零點有限極點零點Rosenbrock 定義（基本定義（基本(jbn)定義）定義） 考慮考慮qp傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣G(s)， r = Rank G(s) minq, p，導出其，導出其Smith-McMillan型為型為M(s)為為)707(000)()()()()()()(2211sssssssMrr第20頁/共34頁第二十一頁，共35頁。 解 例7-5中已經(jīng)(y jing)定出G(s)的Smith-McMillan型M(s)為 【例7-6】定出下述22傳遞函數(shù)矩陣(j

23、zhn)G(s)的有限極點和有限零點，基于此，并根據(jù)Rosenbrock 定義，就可定出， G(s)有限極點：s = -1 (二重)， s = -2 (三重) G(s)有限零點： s = 0 (三重) 22222)2()2()2()2()1()(ssssssssssG200)2()1()(222ssssssM第21頁/共34頁第二十二頁，共35頁。 (2) 有限極點零點的推論性定義1 對qp傳遞函數(shù)矩陣(j zhn)G(s)，設(shè) r = Rank G(s) minq, p (7-73)表Nr(s)Dr-1(s)和Dl-1(s)Nl(s)為G(s)任一不可簡約右MFD和任一不可簡約左MFD，則

24、G(s)有限極點 = “detDr(s) = 0 根”或“detDl(s) = 0 根” (7-74) G(s)有限零點 = “Rank Nr(s) r 的s值”或“Rank Nl(s) r 的s值” (7-75) 第22頁/共34頁第二十三頁，共35頁。 解 首先，由右互質(zhì)性判據(jù)容易判斷，Dr(s), Nr(s)為右互質(zhì)，即Nr(s)Dr-1(s)為G(s)的一個不可簡約右MFD。 進而(jn r)，運用有限極點零點的推論性定義1，就可定出 G(s)有限極點 = “detDr(s) = s3(-s+1) = 0 根” = “s = 0 (三重(sn zhn)， s = 1” G(s)有限零點

25、 = “Rank Nr(s) 2 的s值” = “s = 0，s = -1” (3) 有限極點零點的推論性定義有限極點零點的推論性定義2 對qp嚴格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)，設(shè)其外部等價的任一狀態(tài)空間描述為A nn, B nn, C nn，A，B完全可控， A，C完全可觀測，則有 G(s)有限極點 = “det(sI - A) = 0 根” (7-76) G(s)有限零點 = 使 降秩的s值 (7-77) 證證 略1)12)(1(0)(,1120)1()(3sssssDssssNrr0CBAsI第23頁/共34頁第二十四頁，共35頁。 對qp嚴格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣(j zhn)G(s)，表其所屬線性

26、時不變系統(tǒng)的一個可控和可觀測狀態(tài)空間描述為A，B，C，z0為G(s)的任一零點，則對滿足關(guān)系式：的所有(suyu)非零初始狀態(tài)x0和所有(suyu)非零常向量u0，系統(tǒng)輸出對形如的一類輸入向量函數(shù)具有阻塞作用，即其所引起的系統(tǒng)強制輸出y(t) 0。)787()(00000BuxAIzCx)797()(00tzeutu第24頁/共34頁第二十五頁，共35頁。 (1) 結(jié)構(gòu)指數(shù)(zhsh)的定義 定義7-6 對qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)， r = Rank G(s) minq, p，表 Spz = G(s)的有限極點和有限零點的集合 (7-90)那么，若對任一k Spz導出對應(yīng)的rr對角陣：則稱1(

27、k), , r(k)為G(s)在 s = k 的一組結(jié)構(gòu)(jigu)指數(shù)。)917()()()()()(1krkkkksssM第25頁/共34頁第二十六頁，共35頁。 解 容易判斷(pndun)，r = Rank G(s) = 2，并且在例7-5中已經(jīng)定出G(s)的Smith-McMillan型為基于此，有 G(s)極點和零點集合(jh) Spz = -2， -1，0進而，直接由Smith-McMillan型M(s)，即可定出 G(s)在“s = -2” 結(jié)構(gòu)指數(shù) 1(-2) ，2(-2) = -2，-1 G(s)在“s = -1” 結(jié)構(gòu)指數(shù) 1(-1) ，2(-1) = -2， 0 G(s)

28、在“s = 0” 結(jié)構(gòu)指數(shù) 1(0) ，2(0) = 1， 222222)2()2()2()2()1()(ssssssssssG200)2()1()(222ssssssM第26頁/共34頁第二十七頁，共35頁。 結(jié)構(gòu)指數(shù)的含義： 給定(i dn)G(s)在 s = k 的結(jié)構(gòu)指數(shù)組1(k), , r(k)，對i(k)，有 i(k) = 正整數(shù) G(s) 在 s = k 有i(k)個零點 (7-92) i(k) = 負整數(shù) G(s) 在 s = k 有| i(k)|個極點 (7-93) i(k) = 零 G(s) 在 s = k 無極點和零點 (7-94) 采用(ciyng)結(jié)構(gòu)指數(shù)確定G(s)

29、極點和零點的重數(shù)： 給定G(s)在 s = k 的結(jié)構(gòu)指數(shù)組1(k), , r(k)，則有 G(s) 在“s = k ”極點重數(shù) = 1(k), , r(k)中負指數(shù)之和的絕對值 (7-95) G(s) 在“s = k ”零點重數(shù) = 1(k), , r(k)中正指數(shù)之和 (7-96) 非極點零點處的結(jié)構(gòu)指數(shù)：非極點零點處的結(jié)構(gòu)指數(shù)： 傳遞函數(shù)矩陣G(s)在非極點零點處的結(jié)構(gòu)指數(shù)必恒為0。即，給定G(s) ，若 Spz為任意有限值，則有 i() = 0，i = 1, 2, , r (7-97)第27頁/共34頁第二十八頁，共35頁。則可表G(s)的Smith-McMillan型M(s)為 結(jié)論

30、結(jié)論(jiln)表明，一旦定出表明，一旦定出G(s)的各個極點零點及結(jié)構(gòu)指數(shù)組，就可由式的各個極點零點及結(jié)構(gòu)指數(shù)組，就可由式(7-101)定出定出G(s)的的Smith-McMillan型型M(s)。)1007()()()()()(1krkkkksssM)1017(000)(000)()()(1nkiisMssdiagsMk第28頁/共34頁第二十九頁，共35頁。 (1) 無窮遠處的極點和零點 對qp傳遞函數(shù)矩陣(j zhn)G(s)，r = Rank G(s) minq, p， 則直接基于G(s)的Smith-McMillan型M(s)不能定義G(s)在無窮遠處的極點和零點。這是因為， G(

31、s)導出M(s)的單模變換，可能使G(s)導致非真，或增加非真程度，即可能對G(s)引入附加無窮遠處極零點。 確定G(s)在“s = ”處極點零點的思路： 對qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，確定G(s)在無窮(wqing)遠處的極點和零點的思路是，對G(s)引入變換 s = -1使化為G(-1)，再進而化成以 為變量的有理分式矩陣H()，則有 G(s) 在“s = ”處極點 / 零點 = H()在“ = 0”處極點 / 零點 (7-102)第29頁/共34頁第三十頁，共35頁。 對qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，設(shè) r = Rank G(s) minq, p再基于變換s = -1，由G(s)導出H()，且有 r = Rank H() minq, p現(xiàn)引入qq 和 pp 單模陣 導出H()的Smith-McMillan型 ：)(V)(和U)(M)1037(000)()()()()()()()()()(2211rrVHUM則有，)1057(,.,2, 1,00)()()()1047(,.,2, 1,00)()()(riMssGriMssGii根重數(shù)的中處零點重數(shù)在根重數(shù)的中處極點重數(shù)在第30頁/共34頁第三十一頁，共3