1、x 2 y 2y x221x 2 y 27.橢圓1、橢圓的第一定義：平面內一個動點 P 到兩個定點 F 、 F 的距離之和等于1 2常數 ( PF + PF =2 a > F F ) ,這個動點 P 的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的 1 2 1 2焦點 ，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距。.注意：若 ( PF + PF = F F )1 2 1 2則動點 P 的軌跡無圖形.，則動點P的軌跡為線段F F1 2；若( PF + PF < F F ) 1 2 1 2，2、橢圓的標準方程1）當焦點在x 軸上時，橢圓的標準方程： + =1 ( a >b >0) ，其中 c 2a 2 b

2、 2=a2-b2；2）當焦點在y 軸上時，橢圓的標準方程： + =a 2 b 21( a >b >0)，其中c2=a2-b2；注意：在兩種標準方程中，總有 ab0，并且橢圓的焦點總在長軸上；x 2 y 2兩種標準方程可用一般形式表示： 3、橢圓：的簡單幾何性質+ = ( a >b >0)a 2 b 2x 2 y 2+ =1m n或者 mx2 +ny 2 =1 。（1）對稱性：對于橢圓標準方程 + =1 ( a >b >0) ：是a 2 b 2以 x 軸、 y 軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點為對 稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。（2）范

3、圍：橢圓上所有的點都位于直線x =±a和 y =±b所圍成的矩形內，所以橢圓上點的坐標滿足 x £a ，y £b 。（3）頂點：橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。橢圓x 2 y 2+ =1a 2 b 2( a >b >0) 與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為 A ( -a,0) ，A ( a,0) ，1 2B (0,-b) ， B (0, b ) 。 線段 A A ， B B 分別叫做橢圓的長軸 和短軸 ， A A =2a , 1 2 1 2 1 2 1 2B B =2b 。 a 和 b 分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。

4、1 2（4）離心率： 橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用 e 表示，記作2c ce = =2a a。因為( a >c >0)，所以e的取值范圍是( 0 <e <1)。e越接近 1，則c就越接近 a ，從而b = a 2 -c 2越小，因此橢圓越扁；反之， e 越接近于 0， c 就越接近 0，從而 b 越接近于 a ，這時橢圓就越接近于圓。 當且僅當 a =b 時， c =0 ，這每一個人的成功之路或許都不盡相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奮斗，而每一條成功之路，都是 充滿坎坷的，只有那些堅信自己目標，不斷努力、不斷奮斗的人，才能取得最終的

5、成功。但有一點我始終堅信，那就是，當 你能把自己感動得哭了的時候，你就成功了！22xyyx2222時兩個焦點重合，圖形變為圓，方程為 x 2+y 2=a。x 2 y 2的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：注意：橢圓+ =1a 2 b 2假設已知橢圓方程 x + y =1（a >0,b >0 ），且已知橢圓的準線方程為a 2 b 2試推導出下列式子：（提示：用三角函數假x =±a 2c，設 P 點的坐標PFPM11=PFPM22= e4、橢圓的另一個定義：到焦點的距離與到準線的距離的比為離心率的點所構成的圖形。即上圖中有PF1PM1=PF2PM2=e5、橢圓+ =1 與 +

6、=1 (a >b >0) a 2 b 2 a 2 b 2的區別和聯系標準方程x 2 y 2+ =1 ( a >b >0) a 2 b 2y 2 x 2+ =1a 2 b 2( a >b >0)圖形焦點F ( -c,0) 1，F ( c,0) F (0, -c) ， F (0, c ) 2 1 2焦距F F1 2=2cF F1 2=2c性質范圍對稱性頂點x £a ， y £b x £b ， y £a關于 x 軸、 y 軸和原點對稱 (±a,0) ， (0,±b) (0,±a) ， (

7、7;b,0)軸長長軸長= 2a ，短軸長=2b離心率e=ca(0 <e <1)準線方程x =±a 2cy =±a 2c焦半徑PF =a +ex 1 0，PF =a -ex 2 0PF =a +ey 1 0，PF =a -ey 2 0每一個人的成功之路或許都不盡相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奮斗，而每一條成功之路，都是 充滿坎坷的，只有那些堅信自己目標，不斷努力、不斷奮斗的人，才能取得最終的成功。但有一點我始終堅信，那就是，當 你能把自己感動得哭了的時候，你就成功了！x y221 12 2 2a一般而言：橢圓有兩條對稱軸，它們分別是兩焦點的連

8、線及兩焦點連線段的中垂 線；橢圓都有四個頂點，頂點是曲線與它本身的對稱軸的交點；離心率確定了橢圓的形狀（扁圓形狀），當離心率越接近于 0，橢圓 越圓；當離心率越接近于 1 時，橢圓越扁。6.直線與橢圓的位置關系1. 將直線方程與橢圓方程聯立，消元后得到一元二次方程，然后通過 判別式 D 來判斷直線和橢圓是否相交、相切或相離。2. 消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢圓交點的橫坐標或縱坐 標，通常是寫成兩根之和與兩根之積的形式，這是進一步解題的基礎。 7.橢圓方程的求解方法1.要學會運用 待定系數法 來求橢圓方程，即設法建立 a, b或者e, c中的方程組，要善于抓住條件列方程。先定型，再定量

9、，當焦點位置不確定時，應設橢圓的標準方程為x 2 y 2+ =a 2 b 21（a >b >0）或y 2 x 2+ =1a2 b2（a >b >0）；或者不必考慮焦點的位置，直接把橢圓的標準方程設為 + =1 或者 mx2+ny2 =1m n（ m >0,n >0,m ¹n），這樣可以避免討論及繁雜的計算，當已知橢圓上的兩點坐標時這種解題更方便。但是需要注意的是 m 和 n（或者 和 ）誰代表 am nc誰代表 b 2 要分清。不要忘記隱含條件和方程，例如： a =b +c ， e = 等。不同的圓錐曲線有不同的隱含條件和方程，切勿弄混。2，等2.

10、求解與橢圓幾何性質有關的問題時要結合圖形分析，即使畫不出圖形， 思考時也要聯想圖形，注意數形結合法的使用，切勿漏掉一種情況。課上例題： 方程 (x-2)2+y2 + (x+2)2+y2 =10化簡的結果是 已知點 A（4,0）和 B（2，2），M是橢圓x 2 y 2+ =125 9上的一動點，則|MA|+|MB|的最大值是每一個人的成功之路或許都不盡相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奮斗，而每一條成功之路，都是 充滿坎坷的，只有那些堅信自己目標，不斷努力、不斷奮斗的人，才能取得最終的成功。但有一點我始終堅信，那就是，當 你能把自己感動得哭了的時候，你就成功了！9 x +16

11、y =3. 求與橢圓4x2+9y2=36共焦點，且過點 (3,-2)的橢圓方程。4.已知橢圓2 2144，焦點為 F 、 F ， P 是橢圓 上一點 1 2若ÐF PF =60°，求 DPF F 1 2 1 2的面積5.已知橢圓x 2 y 2+ =125 16，M 為橢圓上一動點，F 為橢圓的左焦點，求線段 MF 的1 1中點 P 的軌跡方程。每一個人的成功之路或許都不盡相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奮斗，而每一條成功之路，都是 充滿坎坷的，只有那些堅信自己目標，不斷努力、不斷奮斗的人，才能取得最終的成功。但有一點我始終堅信，那就是，當 你能把自己感動

12、得哭了的時候，你就成功了！x y2 2橢圓課后練習1. 已知動圓 P 過定點 A(-3，0)，且在定圓B ：(x-3)2+y2=64 的內部與其相內切，求動圓圓心 P 的軌跡方程2. 已 知 橢 圓 方 程x 2 y 2+ =a 2 b 21(a>b>0)， 焦 點 為F1，F2，P是 橢 圓 上 一 點 ，ÐF PF =a求： DF PF1 2 1 2的面積（用 a 、 b 、 a 表示）3. 以橢圓 + =1 的焦點為焦點，過直線12 3l：x -y +9 =0 上一點 M 作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點M應在何處？并求出此時的橢圓方程每一個人的成功之路或許都不盡

13、相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奮斗，而每一條成功之路，都是 充滿坎坷的，只有那些堅信自己目標，不斷努力、不斷奮斗的人，才能取得最終的成功。但有一點我始終堅信，那就是，當 你能把自己感動得哭了的時候，你就成功了！(34. 求中心在原點，對稱軸為坐標軸，且經過 程A( 3 , -2) 和 B ( -2 3 , 1)兩點的橢圓方5. 已知 B 是橢圓 E：x 2 y 2+ =1 a >b > a 2 b 20)上的一點，F 是橢圓的右焦點，且 BF x軸，B（1， ）。2（1） 求橢圓 E 的方程；（2） 設 A 和 A 是長軸的兩個端點，直線 l 垂直于 A A

14、的延長線于點 D，|OD|=4， 1 2 1 2P 是 l 上異于點 D 的任意一點，直線 A P 交橢圓 E 于 M（不同于 A 、 A ）,設1 1 2l =A M ×A P ，求 l 的取值范圍。2 2每一個人的成功之路或許都不盡相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奮斗，而每一條成功之路，都是 充滿坎坷的，只有那些堅信自己目標，不斷努力、不斷奮斗的人，才能取得最終的成功。但有一點我始終堅信，那就是，當 你能把自己感動得哭了的時候，你就成功了！(x y2 2)26. 已知橢圓 C： + =1 a >b >a 2 b 2（1）求橢圓 C 的方程；0經過點 A（2,1），離心率為 。2（2）過點 B（3,0）的直線與橢圓 C 交于不同的兩點 M、N，求 圍。BM ×BN的取值范每一個人的成功之路或許都不盡相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的