1、數(shù)學歸納法及其應(yīng)用舉例年級_ 班級_ 學號_ 姓名_ 分數(shù)_總分一二三得分閱卷人一、選擇題(共49題，題分合計245分)1.用數(shù)學歸納法證明:"1+<n(n>1)"時,由n=k(k>1)不等式成立,推證n=k+1時,左邊應(yīng)增加的項數(shù)是A.2k-1 B.2k-1 C.2k D.2k+12.球面上有n個大圓,其中任何三個都不相交于同一點,設(shè)球面被這n個大圓所分成的部分為f(n),則下列猜想:f(n)=n,f(n)=f(n-1)+2n,f(n)=n2-n+2中,正確的是A.與 B.與 C.與 D.只有3.某個命題與自然數(shù)m有關(guān),若m=k(kN)時該命題成立,那么

2、可以推得m=k+1時該命題成立,現(xiàn)已知當m=5時,該命題不成立,那么可推得A.當m=6時該命題不成立 B.當m=6時該命題成立C.當m=4時該命題不成立 D.當m=4時該命題成立4.設(shè)f(n)=(nN),那么f(n+1)-f(n)等于A. B. C.+ D.-5.用數(shù)學歸納法證明1+a+a2+=(nÎN,a1)中,在驗證n=1時,左式應(yīng)為A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a36.用數(shù)學歸納法證明"5n-2n能被3整除"的第二步中,n=k+1時,為了使用歸納假設(shè),應(yīng)把5 k+1 -2 k+1變形為A.(5k-2 k)+4×5 k -2

3、 k B.5(5 k -2 k)+3×2 k C.(5 k -2 k)(5-2) D.2(5 k -2 k)-3×5 k7.平面內(nèi)原有k條直線,它們把平面劃分成f(k)個區(qū)域,則增加第k+1條直線后,這k+1條直線把平面分成的區(qū)域至多增加A.k個 B.k+1個 C.f(k)個 D.f(k)+(k+1)個8.已知凸k邊形的對角線條數(shù)為f(k)(k3)條,則凸k+1邊形的對角線條數(shù)為A.f(k)+k B.f(k)+k+1 C.f(k)+k-1 D.f(k)+k-29.用數(shù)學歸納法證明(n+1)+(n+2)+(n+n)=的第二步中,n=k+1時等式左邊與n=k時的等式左邊的差等于

4、A.2k+2 B.4k+3 C.3k+2 D.k+110.下面四個判斷中,正確的是A.式子1+k+k2+kn(nN),當n=1時恒為1B.式子1+k+k2+kn-1(nN),當n=1時恒為1+kC.式子+(nN),當n=1時恒為D.設(shè)f(x)=(nN),則f(k+1)=f(k)+11.用數(shù)字歸納法證1+x+x2+xn+1=(x1),在驗證n=1成立時,左邊所得的代數(shù)式是A.1 B.1+x C.1+x+x2 D.1+x+x2+x312.用數(shù)字歸納法證明1+2+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時,在驗證n=1成立時,左邊所得的代數(shù)式是A.1 B.1+3 C.1+2+3 D.1+2+3+413.

5、用數(shù)學歸納法證明"當n是非負數(shù)時,34n+2+52n+1能被14整除"的第二步中,為了使用歸納假設(shè)應(yīng)將34k+6+52k+3變形為A.34k+2·81+52k+1·25 B.34k+1·243+52k·125 C.25(34k+2+52k+1)+56·34k+2 D.34k+4·9+52k+2·514.用數(shù)學歸納法證明+= (nÎN)時,從"n=k到n=k+1",等式左邊需增添的項是A. B. C. D. 15.利用數(shù)學歸納法證明不等式",(n2,nN)"

6、的過程中,由"n=k"變到"n=k+1"時,左邊增加了A.1項 B.k項 C.2k-1項 D.2k項16.用數(shù)學歸納法證明"5n-2n能被3整除"的第二步中，n=k1時，為了使用假設(shè)，應(yīng)將5k+1-2k+1變形為A.(5k-2k)4×5k-2k B.5(5k-2k)3×2k C.(5-2)(5k-2k) D.2(5k-2k)-3×5k17.平面內(nèi)原有k條直線,它們的交點個數(shù)記為f(k),則增加一條直線后,它們的交點個數(shù)最多為A.f(k)+1 B.f(k)+k C.f(k)+k+1 D.k·f(k

7、)18.已知一個命題P(k),k=2n(nN),若n=1,2,1000時,P(k)成立,且當n=1000+1時它也成立,下列判斷中,正確的是A.P(k)對k=2004成立 B.P(k)對每一個自然數(shù)k成立C.P(k)對每一個正偶數(shù)k成立 D.P(k)對某些偶數(shù)可能不成立19.用數(shù)學歸納法證明:,從k到k+1需在不等式兩邊加上A. B. C. D. 20.設(shè),則f(2k)變形到f(2k+1)需增添項數(shù)為A.2k+1項 B.2k項 C.2項 D.1項21.欲用數(shù)學歸納法證明：對于足夠大的自然數(shù)n，總有2nn3,n0為驗證的第一個值，則A.n0=1 B.n0為大于1小于10的某個整數(shù) C.n010

8、D.n0=222.某同學回答"用數(shù)字歸納法證明<n+1(nN)"的過程如下：證明：(1)當n=1時,顯然命題是正確的;(2)假設(shè)n=k時有<k+1那么當n=k+1時,=(k+1)+1,所以當n=k+1時命題是正確的,由(1)、(2)可知對于(nN),命題都是正確的.以上證法是錯誤的,錯誤在于A.當n=1時,驗證過程不具體 B.歸納假設(shè)的寫法不正確C.從k到k+1的推理不嚴密 D.從k到k+1的推理過程沒有使用歸納假設(shè)23.平面上有k(k>3)條直線,其中有k-1條直線互相平行,剩下一條與它們不平行,則這k條直線將平面分成區(qū)域的個數(shù)為A.k個 B.k+2個

9、C.2k個 D.2k+2個24.已知凸k邊形的對角線條數(shù)為f(k)(k>3)，則凸k1邊形的對角線條數(shù)為A.f(k)k B.f(k)k1 C.f(k)k-1 D.f(k)k-225.平面內(nèi)原有k條直線，它們將平面分成f(k)個區(qū)域，則增加第k1條直線后，這k1條直線將平面分成的區(qū)域最多會增加A.k個 B.k1個 C.f(k)個 D.f(k)1個26.同一平面內(nèi)有n個圓,其中每兩個圓都有兩個不同交點,并且三個圓不過同一點,則這n個圓把平面分成A.2n部分 B.n2部分 C.2n2部分 D.n2n2部分27.平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，這n個圓把平

10、面分成f(n)個部分，則滿足上述條件的n1個圓把平面分成的部分f(n1)與f(n)的關(guān)系是A.f(n1)=f(n)n B.f(n1)=f(n)2n C.f(n1)=f(n)n1 D.f(n1)=f(n)n228.用數(shù)學歸納法證明不等式成立時，應(yīng)取的第一個值為A.1 B.3 C.4 D.529.若，則等于A. B.C. D.30.設(shè)凸n邊形的內(nèi)角和為f (n)，則f (n+1) - f (n) 等于A. B. C. D.31.用數(shù)學歸納法證明不等式"成立",則n的第一個值應(yīng)取A.7 B.8 C.9 D.1032.等于A. B. C. D.33.已知ab是不相等的正數(shù),若,則b

11、的取值范圍是A.0<b2 B.0<b<2 C.b2 D.b>234.利用數(shù)學歸納法證明"對任意偶數(shù)n,an-bn能被a+b整除"時,其第二步論證,應(yīng)該是A.假設(shè)n=k時命題成立,再證n=k+1時命題也成立B.假設(shè)n=2k時命題成立,再證n=2k+1時命題也成立C.假設(shè)n=k時命題成立,再證n=k+2時命題也成立D.假設(shè)n=2k時命題成立,再證n=2(k+1)時命題也成立35.用數(shù)學歸納法證明"42n-1+3n+1(nÎN)能被13整除"的第二步中,當n=k+1時為了使用假設(shè),對42k+1+3k+2變形正確的是A.16(4

12、2k-1+3k+1)-13×3k+1 B.4×42k+9×3kC.(42k-1+3k+1)+15×42k-1+2×3k+1 D.3(42k-1+3k+1)-13×42k-136.用數(shù)學歸納法證明(n+1)(n+2)(n+n)=2n×1×3××(2n-1)(nN)時,從""兩邊同乘以一個代數(shù)式,它是A.2k+2 B.(2k+1)(2k+2) C. D. 37.用數(shù)學歸納法證明某命題時,左式為+cos+cos3+cos(2n-1)(k,kZ,nN),在驗證n=1時,左邊所得的代數(shù)

13、式為A. B. +cos C. +cos+cos 3 D. +cos+cos 3+cos 538.用數(shù)學歸納法證明"(n+1)(n+2)(n+n)=2n·1·3(2n-1)"時,第二步n=k+1時的左邊應(yīng)是n=k時的左邊乘以A.(k+1+k+1) B.(k+1+k)(k+1+k+1) C. D. 39.設(shè)Sk=+,則Sk+1為A. B. C. D. 40.用數(shù)字歸納法證明某命題時,左式為1-+,從"n=k到n=k+1",應(yīng)將左邊加上A. B. C. D.41.用數(shù)學歸納法證明"當n為正奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除&quo

14、t;時,第二步應(yīng)是A.假設(shè)n=k(kÎN)時命題成立,推得n=k+1時命題成立B.假設(shè)n=2k+1(kÎN)時命題成立,推得n=2k+3時命題成立C.假設(shè)k=2k-1(kÎN)時命題成立,推得n=2k+1時命題成立D.假設(shè)n£k(k³1,kÎN)時命題成立,推得n=k+2時命題成立42.設(shè)p(k):1+ (kN),則p(k+1)為A. B. C. D.上述均不正確43.k棱柱有f(k)個對角面，則k1棱柱有對角面的個數(shù)為A.2f(k) B.k1f(k) C.f(k)k D.f(k)244.已知，則等于A. B.C. D.45.用數(shù)學歸

15、納法證明，在驗證n=1等式成立時，左邊計算所得的項是A. B. C. D.46.用數(shù)學歸納法證明某不等式，其中證時不等式成立的關(guān)鍵一步是：，括號中應(yīng)填的式子是A. B. C. D.47.對于不等式，某人的證明過程如下：當時，不等式成立。假設(shè)時不等式成立，即，則時，。當時，不等式成立。上述證法A.過程全都正確 B.驗得不正確 C.歸納假設(shè)不正確 D.從到的推理不正確48.某個命題與自然數(shù)n有關(guān),如果當n=k(kN)時該命題成立,那么可推得當n=k+1時該命題也成立,現(xiàn)已知當n=5時,該命題不成立,那么可推得A.當n=6時該命題不成立 B.當n=6時該命題成立C.當n=4時該命題不成立 D.n=4

16、時該命題成立49.利用數(shù)學歸納法證明不等式""時,由"假設(shè)n=k時命題成立"到"當n=k+1時",正確的步驟是A. B. C. D. 得分閱卷人二、填空題(共9題，題分合計36分)1.用數(shù)學歸納法證明:當nN,1+2+22+23+25n-1是31倍數(shù)時,當n=1時,原式為_.從n=k到n=k+1時需增添的項是_.2.用數(shù)學歸納法證明1 n(n1)，在驗證n2成立時，左式是_.3.不等式 中，當"nkÞnk1時"，不等式左邊增加的項是_，少掉的項是_. 4.平面上原有k個圓，它們的交點個數(shù)記為f(k)，則增

17、加第k1個圓后，交點個數(shù)最多增加_個. 5.用數(shù)學歸納法證明，從到一步時，等式兩邊應(yīng)增添的式子是_.6.用數(shù)學歸納法證明(a,b是非負實數(shù),nN+)時,假設(shè)n=k時不等式(*)成立,再推證n=k+1時不等式也成立的關(guān)鍵是將(*)式_.7.用數(shù)學歸納法證明能被14整除時，當時，對于應(yīng)變形為_.8.用數(shù)學歸納法證明時，第一步驗證為_.9.用數(shù)學歸納法證明時，當時，應(yīng)證明的等式為_.得分閱卷人三、解答題(共36題，題分合計362分)1.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，是否存在a,b,c使得an=an2+bn+c,且滿足a1=1，3Sn=(n+2)an對一切自然數(shù)n都成立?試證明你的結(jié)論.2.平面上有幾

18、個圓,任意兩個圓都相交于兩點,任意三個圓都不相交于同一點,求證這n個圓把平面分成f(n)=n2-n+2個部分.3.設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項和為Sn,并對一切自然數(shù)n有, (1)寫出數(shù)列前3項;(2)求數(shù)列an的通項公式(予以證明).4.已知數(shù)列計算S1 、S2、S3由此推測Sn 的公式，然后用數(shù)學歸納法證明.5.求最大的正整數(shù)m,使得f(n)=(2n+7)3n+9對任意的正整數(shù)n,都能被m整除,并證明你的結(jié)論.6.當nN時,Sn=1-+-+-,Tn=+.對于相同的n,試比較Sn與Tn的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.7.已知函數(shù)f(n)=-2+2(n4)(1)試求反函數(shù)f-1(n),并指出其

19、定義域;(2)如果數(shù)列an(an0)中a1=2,前n項和為Sn(nN)且Sn=f-1(Sn-1),求an的通項公式;(3)求的值.8.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，是否存在a,b,c使得an=an2+bn+c,且滿足a1=1，3Sn=(n+2)an對一切自然數(shù)n都成立?試證明你的結(jié)論.9.已知:x>-1且x0,nN,n2求證:(1+x)n>1+nx.10.求證:二項式x2n-y2n(nN)能被x+y整除.11.是否存在常數(shù)a，b使等式1·n+2(n-1)+3(n-2)+(n-2)·3+(n-1)·2+n·1=n(n+a)(n+b)對一切自然數(shù)

20、N都成立，并證明你的結(jié)論.12.已知x1>0,x11,且xn+1=(n=1,2,3).試證:數(shù)列xn或者對任意的自然數(shù)n都滿足xn<xn+1,或者對任意的自然數(shù)n都滿足xn+1<x.13.是否存在常數(shù)abc,使得等式1·22+2·32+n(n+1)2=(an2+bn+c)對一切自然數(shù)n成立?并證明你的結(jié)論.14.證明不等式:1+(nN).15.平面上有n條直線,其中無兩條平行也無三條共點求證:這n條直線(1)彼此分成n2段;(2)把平面分成個部分.16.用數(shù)歸納法證明(3n+1)·7n-1是9的倍數(shù) (nÎN).17.用數(shù)學歸納法證明(

21、x+3)n-1能被（x+2）整除.18.用數(shù)學歸納法證明：1232 nn(2n1)( nÎN) .19.下列所給條件，寫出數(shù)列an的前四項，猜想數(shù)列的通項公式并用數(shù)學歸納法證明.已知a1=1，Sn= n2·an (n2).20.下列所給條件，寫出數(shù)列an的前四項，猜想數(shù)列的通項公式并用數(shù)學歸納法證明.已知a1=1，且an、an+1、2a1成等差數(shù)列.21.對于任意自然數(shù)n，n3+11n能被6整除.22.已知數(shù)列bn是等差數(shù)列,(1)求數(shù)列bn的通項.(2)設(shè)數(shù)列an的通項(其中)記Sn是數(shù)列an的前n項和,試比較Sn與的大小,并證明你的理論.23.用數(shù)學歸納法證明已知：24

22、.25.設(shè),是否存在關(guān)于n的整式g(n)使對大于1的一切正整數(shù)n都成立?并證明你的結(jié)論.26.平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不共點,(1)設(shè)這n條直線互相分割成f (n) 條線段或射線,猜想f (n) 的表達式并給以證明.(2)求證:這n條直線把平面分成個區(qū)域.27.數(shù)列an中,設(shè).(1)試求出的值;(2)猜想出,并用數(shù)學歸納法證明.28.是否存在常數(shù)a、b、c使等式對一切自然數(shù)n都成立，并證明結(jié)論29.在各項都為正數(shù)的數(shù)列an中，其前n項和為Sn，且( nN)，試由a1，a2，a3的值推測an的計算公式，并證明之.30.已知f(x)=2x+b，f1 (x)= f f(x)，f

23、n (x)= fn-1 f(x) (nN，n2)，試求ab，x表示的f1 (x)，f2 (x)，f3 (x)的式子，并推測fn (x)以b，x，n表示的式子，證明你的結(jié)論31.設(shè)函數(shù) , 若數(shù)列滿足,求證：當32.用數(shù)學歸納法證明(nÎN)33.用數(shù)學歸納法證明|sinn|n|sin|.34.試比較An與Bn的大小，并說明理由.35.已知等差數(shù)列an的第2項為8,前10項的和為185.(1)求數(shù)列an的通項公式.(2)若從數(shù)列an中依次取出第2項,第4項,第8項,.,第2n項,.按原來順序排成一個新的數(shù)列,求此數(shù)列的前n項和Sn.(3)設(shè)Tn= n(an +9),試比較Sn與Tn的大

24、小,并說明理由.36.數(shù)列an的通項公式an=,f(n)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)(1-an).(1)求f(1),f(2),f(3),f(4),并猜想f(n)的表達式;(2)用數(shù)字歸納法證明你的結(jié)論.數(shù)學歸納法及其應(yīng)用舉例答案一、選擇題(共49題，合計245分)1.952答案：C2.953答案：C3.1015答案：C4.1019答案：D5.1063答案：C6.1065答案：B7.1066答案：B8.1067答案：C9.1081答案：B10.1082答案：C11.1083答案：C12.1085答案：C13.1091答案：C14.1092答案：C15.1098答案：D16.1100答案

25、：B17.1101答案：B18.1102答案：D19.1103答案：C20.1104答案：B21.1107答案：C22.1108答案：D23.1109答案：C24.1110答案：C25.1111答案：B26.1113答案：D27.1114答案：B28.1120答案：D29.1121答案：D30.1123答案：C31.8059答案：B32.8060答案：B33.8061答案：B34.1084答案：D35.1088答案：A36.1089答案：D37.1090答案：B38.1093答案：D39.1094答案：C40.1095答案：D41.1096答案：C42.1105答案：C43.1106答案：B44.1122答案：C45.1124答案：B46.