1、導數的幾何意義【學習目標】1 理解導數的幾何意義。2.理解導數的全面涵義。3 掌握利用導數求函數圖象的切線的斜率。4.會求過點(或在點處)的切線方程。【要點梳理】(根據課標要求進行適當的深化與拓展。)要點一、導數幾何意義1.平均變化率的幾何意義一一曲線的割線函數y f(x)的平均變化率 一y 丄凹一丄切 的幾何意義是表示連接函數y f(x)圖像上兩點割xx2 X|線的斜率。如圖所示，函數f(x)的平均變化率x匚"一f(xi)的幾何意義是：直線 AB的斜率。 x2 捲事實上，kAB 3bf(x2)f(xJ A。xA xBx2 為x換一種表述：曲線上一點p(x°, yo)及其附

2、近一點Q(x°x, yoy),經過點P、Q作曲線的割線PQ ,則有 kpQ (y0y) y0 亠。(Xox) Xo x要點詮釋：根據平均變化率的幾何意義，可求解有關曲線割線的斜率。2.導數的幾何意義一一曲線的切線如圖1,當巳(Xn，f(Xn)( n 1,2,3, 4)沿著曲線f(x)趨近于點P(Xo,f(X。)時，割線PPn的變化趨勢是什么？我們發現，當點Pn沿著曲線無限接近點P即厶XT 0時，割線PPn趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為曲線在點P處的切線.定義：如右圖，當點 Q(XoX,yoy)沿曲線無限接近于點 P(x°,y°),即X 0時，割線PQ

3、的極限位置直線 PT叫做曲線在點P處的切線。也就是：當 X 0時，割線PQ斜率的極限，就是切線的斜率。即：k lim ylimx 0 xx 0MX。X)f(X)心)。要點詮釋：(1)曲線上一點切線的斜率值只與該點的位置有關。(2 )切線斜率的本質函數在 x x0處的導數。(3 )曲線的切線的斜率的符號可以刻畫函數的增減性。若曲線y f(X)在點P(Xo, f(Xo)處的導數不存在，但有切線，則切線與f'(x0) 0,切線與X軸正向夾角為銳角，f (X)瞬時遞增；f'(Xo) 0 ,f (X)瞬時遞減；f'(Xo) 0,切線與X軸零度角，瞬時無增減。XX軸垂直。切線與X軸

4、正向夾角為鈍角,(4)曲線的切線可能和曲線有多個公共點；為什么要用割線的極限位置來定義切線，而不說“與曲線只有一個公共點的直線叫做切線？”一個函數，我們叫它為f(x)的導函數.記作:f (X)或 y，過去我們定義圓的切線就是“與圓有且只有一個公共點的直線”，這個定義符合圓、橢圓等一類曲線，那么，能否對任何曲線C都用“與C有且只有一個公共點”來定義 C的切線呢？如圖1-1-2-1的曲線C是我們熟知的正弦曲線y=sin x的一部分，直線12顯然與曲線C有唯一公共點M,但我們不能說直線12與曲線C 相切；而直線li盡管與曲線C有不止一個公共點，但我們可以說直線1 1是曲線C在點N處的切線。要點二、曲

5、線的切線(1 )用導數的幾何意義求曲線的切線方程的方法步驟:求出切點 (Xo, f(Xo)的坐標； 求出函數y f (x)在點X)處的導數f (xo) 得切線方程y f (xo)f (x)(x Xo)(2)在點(x°,f(xo)處的切線與過點(xo, yo)的切線的區別。xo, yo)的切線，則強調切線在點(xo, f(xo)處的切線是說明點(xo, f (xo)為此切線的切點；而過點(xo，yo)的切線方程時，先應判斷點是過點(xo, yo)，此點可以是切點，也可以不是切點。因此在求過點(Xo, yo)是否為曲線f(X)上的點，若是則為第一類解法，若不同則必須先在曲線上取一切點(X

6、i, f(Xi)，求過此切點的切線方程yy_!f'(XJ(XX1)，再將點(Xo，yo)代入，求得切點(捲，f(xj)的坐標，進而求過點(Xo，yo)的切線方程。要點三、導數的概念導函數定義：由函數f(X)在X=Xo處求導數的過程可以看到，當時，f (Xo)是一個確定的數，那么，當X變化時，便是X的亦f (x x) f (x)即：f (x) y limx ox要點詮釋：函數f(x)在點Xo處的導數f (Xo)、導函數f (x)之間的區別與聯系。(1)函數在一點處的導數 f (xo)，就是在該點的函數的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數，不是變數。(2)函數的導數，是指某一區

7、間內任一點x而言的，也就是函數 f(x)的導函數。Xo處的函數值。導函數也簡稱導數，所以/I力在一點比處的導數導函數(3)函數f(x)在點X。處的導數f'(Xo)就是導函數f(X)在X所以求函數在一點處的導數，一般是先求出函數的導函數，再計算這點的導數函數值。導函數求法：由導數的定義可知，求函數 y f(x)的導數的一般方法是:(1)求函數的改變量yf(xx)f(x) o(2)求平均變化率-yf(xx)f(x)oxx(3)取極限，得導數/y 二limx oyox要點四、導數的定義的幾種形式：割線的極限即為切線，即為導數，從這個幾何意義上看導數式可以有多種表達形式，如：f (x x) f

8、 (x) 一f (x) f (x x)f (x x) f (x)、y' lim;(或：y' lim； y' lim;)x 0xx 0xx 0xy' f'(xo) lim f(x) f(xo)。X Xox x0要點詮釋：只要是 x0時，極限式所表示的是割線的斜率(或其若干倍)，就能表示為導數式。【典型例題】類型一、求曲線的切線方程【高清課堂：導數的幾何意義 385147例1】 例1 曲線的方程為 y x2 1，那么求此曲線在點 P (1, 2)處的切線的斜率，以及切線的方程【解析】利用導數的幾何意義，曲線在點P (1 , 2)處的切線的斜率等于函數 y x

9、2 1在x 1處的導數值，再利用直線的點斜式方程寫出切線方程由y x2 1得y (X2 1) 2x，所以曲線在點 P處的切線斜率為k y |x 1 2 ,過點P的切線方程為y 22(x 1)，即y 2x.【總結升華】求曲線上一點處切線的步驟： 求函數y=f(x)在點x xo處的導數，即曲線 y=f(x)在P(x。，f (xo)處切線的斜率。 由點斜式寫出直線方程：y yo f (xo)(x xo)；如果y=f(x)在P(x。，f(x。)的切線平行于y軸(此x xo .時導數不存在)時，由切線定義知：切線方程為：舉一反三:【變式】已知：曲線y x2 - 5上一點P(2,19)，求：點P處的切線方

10、程。x2【答案】對于函數y2 1 XX5 ,、212 12Xy(XX)X2xXXXXX(Xx)xy1y1 12xX，yIim -Iim (2xx) 2x 2 ，X(Xx)xx 0Xx 0'(xx)xXk y x 2則點P處的切線的斜率:切線方程：15x 4y 80。153例2.已知函數f (x) = x - 3x及y = f (x)上一點F(1 , - 2)，過點P作直線I.(1)求使直線I和y= f(x)相切且以F為切點的直線方程; 求使直線I和y= f (x)相切且切點異于點 F的直線方程y = g(x).【解析】 y = lim (xx)3 3(x x) 3x3 3xx 0(x

11、x)x則過點F且以F(1 , - 2)為切點的直線的斜率ki = f ' (1) = 0,所求直線方程為y = 2.(2)設切點坐標為(xo, x0 3xo),則直線I的斜率k2= f '( xo) = 3 x0 3,直線 I 的方程為 y ( x0 3x0) = (3x0 3)( x xo) 又直線I過點F(1 , 2),32 2 ( x0 3X0) = (3 X。 3)(1 X。),32- x° 3x0 + 2 = (3 x° 3)( X0 1),1解得X0= 1(舍去)或X0=.2故所求直線斜率k = 3X02 3 = 9 ,4991于是：y ( 2)

12、=工(x 1)，即 y =工 x +.444【總結升華】求曲線的切線時，要注意區分不同的說法：通常情況下，求曲線在某點處的切線時，該點即為切點；求曲線經過某點的切線時，該點不一定是切點。 同時本題也說明了曲線的切線與曲線可能有超過一個以上的公共點舉一反三：【高清課堂：導數的幾何意義 385147例2】【變式1】 求曲線y x3經過點P(1,1)的切線方程y 3x 2 ；【解析】本題要分點P(1,1)是切點和P(1,1)不是切點兩類進行求解若點P(1,1)是切點，由y x3得y3x2則k 3，于是切線方程為y 1 3(x 1)，即若點P(1,1)不是切點，設切點為(x0,X03):則切線率k y

13、' 3x°2，所以3x02解之得X。2，所以k晉，所以切線方程是 y3(x 1)，即43y 4x【變式2】已知曲線y 1。x(1)求曲線過點A( 1，0)的切線方程;(2)求滿足斜率為1的曲線的切線方程。3【答案】(1)設過點A(1，0)的切線的切點坐標為1a, ，因為lim af (ax 0x) f (a)A，所以該a1切線的斜率為2,切線方程為ya-2(x a aa)將A( 1，0 )代入式，得a1-。所以所求的切線方程為2y=4x+4。(2)設切點坐標為P x0,丄Xo，由(1)知，切線的斜率為k 2，則X。12 X。么切點為p'.3,仝或 P' .3,

14、3所以所求的切線方程為1y 3x二或 ylx 2J。333【變式3】已知直線li為曲線y= x2+ x 2在點(1,0)處的切線，12為該曲線的另一條切線，且l1 丄 12.求直線12的方程;求由直線11、12和x軸所圍成的三角形的面積.【答案】2 2 lim (1 x) (1 x) 2(112)3(1) y'lx=1lim3x 0x即 y= 3x 3.2B(b, b + b 2),所以|1的方程為：y = 3( x 1), 設12過曲線y = x2 + x 2上的點y 'I“ |im (bx)2(bx 0X)2(b2 b 2)2b+1,x所以12的方程為:y (b2+ b 2

15、) = (2b+ 1).( x b)，即 y= (2 b+ 1)x b2 2.因為11丄I 2,所以3X (2b+ 1) = 1,所以2b=-，所以|2的方程為:31 22y 3x 63x 322得1652即I 1與I 2的交點坐標為(6,i)又I 1, 12與x軸交點坐標分別為(1,0)22亍0|)1所以所求三角形面積 S丄2類型二、利用定義求導函數22312512例 3.已知 f (x)、x 2 ,求 f '(x) , f '(2)2，所以【解析】因為(x x 2) (x 2) x(、x x 2. x 2)當 A xt 0 時，f '(x)，當 x=2 時，f &#

16、39;(2)2、x 2【總結升華】求導數的步驟和求導數值的步驟一樣，叫三步法求導。舉一反三:【變式1】求函數y1x 在(0,【答案】yXX . X X , X X v X x)XXXXX(：X、Xx)(、X.X x)X XX-X ( . X1；X x)）內的導函數。X）Xv X X XX X X X，Xm<X【變式2】求函數y4在x=2處的導數。X解析解法一:（導數定義法）4(x 2)242212)X)24(x 2)242 oX 2)limx 0 Xlimx 0( x 2)2解法二：（導函數的函數值法）4(x x)2x(2x x2(xX) x)24(2 xx2(xX)X)2 y'

17、lXm04(2 x x)x2 (x x)_8o3X- f'(2) y'|X2類型三、導數的幾種形式x例4.若f'(x0) 2，則迥=戶【解析根據導數定義：fg lim fx0 ( k) fg (這時 =_k), 、"k 0L所以嚴叫Hkx0x0xo- - fmoHk1 - 2/V f【總結升華(1)有一種錯誤的解法:根據導數的定義:f '(冷)lirfk)kf(xO(這時 x=k),moHkx0ff叫Hk1 - 2(2 )在導數的定義中，增量 x的形式是多種多樣的，但不論厶 x選擇哪種形式， y也必須選擇與之 相對應的形式。利用函數f(x)在x=xo處可導的條件，可以將已給定的極限式恒等變形為導數定義的形式。概念是解決問題的重要依據，只有熟練掌握概念的本質屬性，把握其內涵與外延， 才能靈活地應用概念進行解題。舉一反三:【變式1】函數f (x)滿足f'(1)2，則當x無限趨近于0時,f(1)(1) f(1 x)2x)f(12x)f(1)【答案】(1)(2)xlim f(1 x) f(1)x 0 2xlim f(1 2x)f(1)x 0hm f(1 x) f(1)丄 f'(1) 12x 0x22lim