1、數列求和的方法訓練題一、選擇題1.已知數列an,bn滿足anbn=1,an=n2+3n+2,則bn的前10項之和為().A.13B.512C.12D.712解析bn=1an=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,S10=b1+b2+b3+b10=12-13+13-14+14-15+111-112=12-112=512,故選B.答案B2.若數列an的通項公式為an=(-1)n-1·(4n-3),則它的前100項之和S100等于().A.200B.-200C.400D.-400解析S100=(4×1-3)-(4×2-3)+(4×3-3)-(4×

2、;100-3)=4×(1-2)+(3-4)+(99-100)=4×(-50)=-200,故選B.答案B3.已知等差數列an的公差為d,且an0,d0,則1a1a2+1a2a3+1anan+1可化簡為().A.nda1(a1+nd)B.na1(a1+nd)C.da1(a1+nd)D.n+1a1a1+(n+1)d解析1anan+1=1d1an-1an+1,原式=1d1a1-1a2+1a2-1a3+1an-1an+1=1d1a1-1an+1=na1·an+1=na1(a1+nd),故選B.答案B4.根據科學測算,運載神舟飛船的長征系列火箭,在點火后一分鐘上升的高度為1

3、km,以后每分鐘上升的高度增加2 km,在達到離地面240 km高度時船箭分離,則從點火到船箭分離大概需要的時間是().A.20分鐘B.16分鐘C.14分鐘D.10分鐘解析設火箭每分鐘上升的高度組成一個數列an,顯然a1=1,而an-an-1=2(n2),所以可得an=1+2(n-1)=2n-1.所以Sn=n(a1+an)2=n2=240.所以從點火到船箭分離大概需要的時間是16分鐘.故選B.答案B5.數列112,314,518,7116,(2n-1)+12n,的前n項和Sn的值等于().A.n2+1-12nB.2n2-n+1-12nC.n2+1-12n-1D.n2-n+1-12n解析該數列的

4、通項公式為an=(2n-1)+12n,則Sn=1+3+5+(2n-1)+12+122+12n=n2+1-12n,故選A.答案A6.設等差數列an的前n項和為Sn,Sm-1=13,Sm=0,Sm+1=-15,其中mN*且m2,則數列1anan+1的前n項和的最大值為().A.24143B.1143C.2413D.613解析由題意可得am=Sm-Sm-1=-13,am+1=Sm+1-Sm=-15,故公差d=am+1-am=-2.由Sm=ma1+m(m-1)d2=0,可得a1-m=-1.又由am=a1+(m-1)d=-13,可得a1-2m=-15.所以a1=13,m=14,an=15-2n,故Tn=

5、1a1a2+1a2a3+1anan+1=1d1a1-1a2+1a2-1a3+1an-1an+1=-12113-113-2n=-126+12(13-2n),可知當n=6時,Tn取得最大值613,故選D.答案D7.數列1,(1+2),(1+2+22),(1+2+22+2n-1),的前n項之和為().A.2n-1B.n·2n-nC.2n+1-nD.2n+1-n-2解析an=1+2+22+2n-1=2n-1,Sn=2·(2n-1)2-1-n=2n+1-2-n,故選D.答案D8.已知數列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,即此數列第一組是20,接下來第二組的

6、兩項是20,21,再接下來第三組的三項是20,21,22,依此類推.設Sn是此數列的前n項和,則S2019=().A.264-58B.264-56C.263-58D.263-56解析該數列第一組有一項,其和為20;第二組有兩項,其和為20+21;第n組有n項,其和為20+21+2n-1=2n-1.前63組共有63×642=2016項.S2019=20+(20+21)+(20+21+262)+20+21+22=(21-1)+(22-1)+(263-1)+7 =(21+22+263)-(1+1+1)+7=2(1-263)1-2-63+7=264-58,故選A.答案A9.我國古代數學名著九

7、章算術中,有已知長方形面積求一邊的算法,其方法的前兩步如下:第一步,構造數列1,12,13,14,1n;第二步,將數列的各項乘以n2,得到一個新數列a1,a2,a3,an.則a1a2+a2a3+a3a4+an-1an=().A.n24B.(n+1)24C.n(n-1)4D.n(n+1)4解析由題意知,所得新數列為1×n2,12×n2,13×n2,1n×n2,所以a1a2+a2a3+a3a4+an-1an=n2411×2+12×3+13×4+1(n-1)×n=n241-12+12-13+13-14+1n-1-1n=n

8、241-1n=n(n-1)4,故選C.答案C二、填空題10.已知數列an滿足a1=1,an+1·an=2n(nN*),則其前2019項和S2019=. 解析依題意,得an+1·an=2n,an+1·an+2=2n+1,則an+1·an+2an·an+1=2,即an+2an=2,所以數列a1,a3,a5,a2k-1,是以a1=1為首項,2為公比的等比數列;數列a2,a4,a6,a2k,是以a2=2為首項,2為公比的等比數列.則S2019=(a1+a3+a5+a2019)+(a2+a4+a6+a2018)=1-210101-2+2(1-2

9、1009)1-2=2×21010-3=21011-3.答案21011-311.若數列an是正項數列,且a1+a2+a3+an=n2+n,則a1+a22+ann=. 解析由數列an是正項數列,且a1+a2+a3+an=n2+n,可得a1=4,a1+a2+an-1=(n-1)2+(n-1)(n2),由-可得an=2n,即an=4n2,ann=4n(n2).則a1+a22+ann=4(1+2+3+n)=2n2+2n(n2),當n=1時,a1=4,上述等式也成立.故a1+a22+ann=2n2+2n.答案2n2+2n12.已知數列an是等差數列,Sn為其前n項和,若a1=9,a2Z

10、,SnS4,則n·Sn的最大值為. 解析設數列an的公差為d.由題意可得a50,a40,即9+4d0,9+3d0,則-3d-94.又因為a2=a1+d為整數,所以dZ,即d=-3,此時an=9-3(n-1)=12-3n,Sn=-32n2+212n.令f(n)=n·Sn=-32n3+212n2,nN*,則f(x)=-32x3+212x2,f'(x)=-92x2+21x.由f'(x)=0,可得x=0或x=143,則f(n)的最大值在f(4),f(5)中取得.又f(4)=72,f(5)=75,所以當n=5時,f(n)取得最大值75.答案75三、解答題13.已知數列an的前n項和為Sn,且Sn=n(n+1)2.(1)求數列an的通項公式;(2)設Tn為數列bn的前n項和,其中bn=an+12Sn·Sn+1,求Tn.解析(1)當n2時,an=Sn-Sn-1=n(n+1)2-(n-1)n2=n,當n=1時,a1=S1=1也符合上式,an=n.(2)(法一)bn=an+12Sn·Sn+1=Sn+1-Sn2Sn·Sn+1=121Sn-1Sn+1,Tn=121S1-1S2+1S2-1S3+1Sn-1Sn+1=121S1-1Sn+1=121-2