1、第3章 3.1.3一、選擇題(每小題5分，共20分)1對于向量a、b、c和實數，下列命題中的真命題是()A若a·b0，則a0或b0B若a0，則0或a0C若a2b2，則ab或abD若a·ba·c，則bc解析：對于A，可舉反例：當ab時，a·b0；對于C，a2b2只能推得|a|b|，而不能推出a±b；對于D，a·ba·c可以移項整理推得a(bc)故選B.答案：B2正方體ABCDABCD中，向量與的夾角是()A30°B45°C60° D90°解析：BCAD，ADB為正三角形，DAB60

2、76;，60°.答案：C3設A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足A·A0，A·A0，A·A0，則BCD是()A鈍角三角形 B銳角三角形C直角三角形 D不確定解析：如右圖所示，設Aa，Ab，Ac，C·C(ab)·(cb)a·cb·ca·bb2b2>0.同理B·B>0，D·D>0.故選B.答案：B4.如圖，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90°，BAA1DAA160°，則AC1的長為()A. B.C. D.-

3、2 - / 8解析：AA，|AB1，AD2，AA13，BAD90°，BAA1DAA160°，A，A90°，A，A，60°.|A|.故選D.答案：D二、填空題(每小題5分，共10分)5在空間四邊形ABCD中，A·CB·AC·B_.解析：設Ab，Ac，Ad，則Cdc，Bdb，cb.原式0.答案：06已知|a|3，|b|4，a與b的夾角為135°，mab，nab，則mn，則_.解析：m·n(ab)·(ab)|a|2a·ba·b|b|218×3×4×co

4、s 135°3×4×cos 135°×166121664，mn，640，.答案：三、解答題(每小題10分，共20分)7.如圖所示，已知正三棱錐ABCD的側棱長和底面邊長都是a，點E，F，G是AB，AD，DC上的點，且AEEBAFFDCGGD12，求下列向量的數量積：(1)A·D；(2)A·B；(3)G·A；(4)E·B.解析：(1)|A|a，|a，A，D120°，所以A·D|D|cos 120°a2.(2)因為BAA，所以A·BA·(AA)A·A

5、A·A，又因為|A|a，|a，A，AA，A60°，所以A·Ba2a20.(3)因為點F，G是AD，DC上的點，所以GA，所以G·A，因為a2，所以G·Aa2.(4)因為點E，F分別是AB，AD上的點，所以EB，所以E·BB·B，結合圖形可知B，B60°，所以E·BB·B×a×a×cos 60°a2.8在正四面體ABCD中，棱長為a，M，N分別是棱AB，CD上的點，且|MB|2|AM|，|CN|ND|，求|MN|.解析：MMBCA(AA)(AA)AAA.M·M(AA)·(AAA)A·AA·AA·A2a2a2a2a2a2a2a2.故|M|a.即|MN|a.尖子生題庫9(10分)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a.(1)用向量法求A1B和B1C的夾角；(2)用向量法證明A1BAC1；(3)用向量法求AC1的長度解析：(1)因為正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，所以|a.因為A，A，所以·(A)·(A)a2，所以cos，即A1B和B1C的夾