1、第九章 多元函數微分學例7求.解 因為而 所以 故 例9 證明 不存在.證 取其值隨的不同而變化, 故極限不存在.例10 證明 極限不存在.證 取(n為自然數),則當時，且取則當時，且因沿不同的子列題設極限的結果也不同,故題設極限不存在.例10 設 的所有二階偏導數連續, 把下列表達式轉換為極坐標系中的形式:(1) ; (2) 解 由直角坐標與極坐標間的關系式可把函數換成極坐表及的函數:故可用復合函數求導法則求出偏導數:、這里要看作由及復合而成.下面分別計算之. (1) (2) (1) 由直角坐標與極坐標間的關系式應用復合函數求導法則得兩式平方后相加,得(2) 利用(1)的結果,再求二階偏導數

2、,得同理可得兩式相加,得例12（E07）利用一階全微分形式的不變性求函數 的偏導數.解 所以例14 已知 求和.解 故所求偏導數 一、一個方程的情形定理1 設函數在點的某一鄰域內具有連續的偏導數, 且則方程 在點的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續且具有連續導數的函數 它滿足 并有 (5.2)定理2 設函數在點的某一鄰域內有連續的偏導數, 且 則方程在點的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續且具有連續偏導數的函數,它滿足條件,并有 (5.4) 二、方程組的情形定理3 設在點的某一鄰域內有對各個變量的連續偏導數，又 且函數、雅可比行列式在點不等于零，則方程組在點的某一鄰域內恒能唯一確定一組連續且具有連續偏

3、導數的函數它們滿足條件 其偏導數公式由(5.9)和(5.10)給出. ， . (5.9) ， . (5.10)例6（E04）設其中F具有連續偏導數，且求證證 由題意知方程確定函數在題設方程兩邊取微分,得即有 合并得 解得 從而 于是 例11（E06）設求,解一 由題意知, 方程組確定隱函數在題設方程組兩邊取微分,有把看成未知的,解得即有 同理, 我們還可以求出從而得到例12 設其中具有連續的偏導數且 求解 由題意知,題設方程組隱含函數組在方程兩端對 求導,得 (1)又由方程知 (2)再在方程兩邊對求導,得解得 (3)把(2)、(3)代入(1),即得注: 此題也可以利用多元函數的一階微分形式不變

4、性及微分的四則運算方便地計算出, 請讀者試之.例13（E07）在坐標變換中我們常常要研究一種坐標與另一種坐標之間的關系. 設方程組 (5.14)可確定隱函數組 稱其為方程組(5.14)的反函數組. 設具有連續的偏導數，試證明 證 將代入(1),有在方程組兩端分別對和求偏導,得和即 由 證畢.注: 此結果類似于一元函數反函數的導數公式推廣到三維情形:若確定反函數組則在一定條件下,有二、空間曲面的切平面與法線：切平面的方程為 (6.12)稱曲面在點處切平面的法向量為在點處曲面的法向量，于是，在點處曲面的法向量為 (6.13)過點且垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線. 因此法線方程為 (6.14

5、)曲面方程為 的情形；設表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量與軸正向的夾角是一銳角，則法向量的方向余弦為 其中例2（E02）求曲線在點處的切線及法平面方程.解 設則故 故所求的切線方程為法平面方程為即例3（E03）求曲線在點處的切線及法平面方程.解2 將所給方程的兩邊對求導并移項,得 由此得切向量所求切線方程為 法平面方程為 即例10（E06）試求數量場所產生的梯度場, 其中常數 為原點O與點間的距離.解 同理從而 如果用表示與同方向的單位向量,則 上式右端在力學上可解析為, 位于原點而質量為的質點對位于點而質量為 1 的質點的引力.該引力的大小與兩質點的質量的乘積成正比、而與它們的距離平方

6、成反比,該引力的方向由點指向原點.例10 求兩直線與之間的最短距離.解 設分別為兩直線上的點,則這兩點之間的距離為將代入上式得令 即 (7/2, 4) 是唯一可能的極值點. 因為兩已知直線之間的最短距離一定存在,故這個可能的極值點就是最小值點.即當時，有最小值,即例14 證明不等式其中是任意的非負實數.證 根據所證不等式的形式,易見取對數后的形式更簡便.將分別視為變量的值,則題設問題可歸結為: 求目標函數在約束條件下的最大值,其中是正常數.為此作拉格朗日函數其中解方程組得將其代入約束條件中,得唯一可能的極值點因為顯然無最小值,故函數在點取到最大值:于是，由約束條件 即取即有當至少有一格為 0

7、時,不等式顯然成立.例16 設某電視機廠生產一臺電視機的成本為 每臺電視機的銷售價格為, 銷售量為. 假設該廠的生產處于平衡狀態, 即電視機的生產量等于銷售量. 根據市場預測, 銷售量與銷售價格之間有下面的關系: (1)其中為市場最大需求量, 是價格系數. 同時, 生產部門根據對生產環節的分析, 對每臺電視機的生產成本有如下測算: , (2)其中是只生產一臺電視機時的成本, 是規模系數. 根據上述條件, 應如何確定電視機的售價, 才能使該廠獲得最大利潤?解 設廠家獲得的利潤為每臺電視機售價為每臺生產成本為銷售量為則于是問題化為利潤函數在附加條件(1)、(2) 下的極值問題. 利用拉格朗日乘數法

8、,作拉格朗日函數:令將 (1) 代入 (2),得 (3)由 (1) 及知即 (4)由知即將 (3)、(4)、(5) 代入得由此得 由問題本身可知最優價格必定存在,故這個就是電視機的最優價格. 線性回歸問題例17(E08) 為測定刀具的磨損速度，按每隔一小時測量一次刀具厚度的方式，得到如下實測數據：試根據這組實測數據建立變量y和t之間的經驗公式解 觀察散點圖，易發現所求函數可近似看作線性函數，因此可設其中和是待定常數，但因為圖中各點并不在同一條直線上，因此希望要使偏差都很小.為了保證每個這個的偏差都很小，可考慮選取常數使最小.這種根據偏差的平方和為最小的條件來選擇常數的方法叫做最小二乘法. 求解

9、本例：可考慮選取常數使最小.把看成自變量和的一個二元函數，那么問題就可歸結為求函數在那些點處取得最小值.令 即 整理得 (1)計算，得 代入(1)，得 于是，所求經驗公式為 (2)根據上式算出的與實測的有一定的偏差，見下表：01234567實測27.026.826.526.326.125.725.324.8計算27.12526.82126.51826.21425.91125.60725.30325.000偏差0.1250.0210.0180.0860.1890.0930.0030.200注：偏差的平方和其平方根我們把稱為均方誤差，它的大小在一定程度上反映了用經驗公式近似表達原來函數關系的近似程

10、度的好壞.注：本例中實測數據的圖形近似為一條直線，因而認為所求函數關系可近似看作線性函數關系，這類問題的求解比較簡便.有些實際問題中，經驗公式的類型雖然不是線性函數，但我們可以設法把它轉化成線性函數的類型來討論.例19(E10) 一個糖果制造商有500g巧克力, 100g核桃和50g果料. 他用這些原料生產三種類型的糖果. A類每盒用3g巧克力, 1g核桃和1g果料, 售價10元. B類每盒用4g巧克力和1g核桃, 售價6元. C類每盒是5g巧克力, 售價4元. 問每類糖果各應做多少盒, 才能使總收入最大?解 設制造商出售三類糖果各為盒，總收入是(元).不等式約束條件由巧克力、核桃和果料的存貨

11、限額給出，依次為 當然，由問題的性質知，和也是非負的，所以 于是，問題化為：求的滿足這些不等式的最大值.上述不等式把允許的解限制在空間中的一個多面體區域之內(如圖).在平行平面中只有一部分平面和這個區域相交，隨著增大，平面離原點越來越遠.顯然，的最大值一定出現在這樣的平面上，這種平面正好經過允許值所在多面體區域的一個頂點，所求的解對應于取最大值的那個頂點，計算結果列在下表中.頂點值0 500 800 920 780 400 680 600由圖可見，的最大值是920元，相應的點是所以類50盒，類30盒，類30盒時收入最多.注：類比于平面上的最大，最小問題。內容要點 一、二元函數的泰勒公式 我們知道用一個一元函數的泰勒公式可以按任意給定的精度要