1、嘉應(yīng)學(xué)院 物理 系 數(shù)學(xué)物理方法b 課程考試題一、簡(jiǎn)答題（共70分）1、試闡述解析延拓的含義。解析延拓的結(jié)果是否唯一？（6分）解析延拓就是通過函數(shù)的替換來(lái)擴(kuò)大解析函數(shù)的定義域。替換函數(shù)在原定義域上與替換前的函數(shù)相等。無(wú)論用何種方法進(jìn)行解析延拓，所得到的替換函數(shù)都完全等同。2、奇點(diǎn)分為幾類？如何判別？ （6分）在挖去孤立奇點(diǎn)zo而形成的環(huán)域上的解析函數(shù)f（z）的洛朗級(jí)數(shù)，或則沒有負(fù)冪項(xiàng)，或則只有有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，或則有無(wú)限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，我們分別將zo稱為函數(shù)f（z）的可去奇點(diǎn)，極點(diǎn)及本性奇點(diǎn)。判別方法：洛朗級(jí)數(shù)展開法a，先找出函數(shù)f(z)的奇點(diǎn) ；b，把函數(shù)在 的環(huán)域作洛朗展開1）如果展開式中沒有負(fù)冪項(xiàng)

2、，則 為可去奇點(diǎn)；2）如果展開式中有無(wú)窮多負(fù)冪項(xiàng)，則 為本性奇點(diǎn)；3）如果展開式中只有有限項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng)，則 為極點(diǎn)，如果負(fù)冪項(xiàng)的最高項(xiàng)為 ，則 為m階奇點(diǎn)。3、何謂定解問題的適定性？（6分） 1，定解問題有解；2，其解是唯一的；3，解是穩(wěn)定的。滿足以上三個(gè)條件，則稱為定解問題的適定性。4、什么是解析函數(shù)？其特征有哪些？（6分）在某區(qū)域上處處可導(dǎo)的復(fù)變函數(shù)稱為該區(qū)域上的解析函數(shù).1）在區(qū)域內(nèi)處處可導(dǎo)且有任意階導(dǎo)數(shù).2） 這兩曲線族在區(qū)域上正交。3）和都滿足二維拉普拉斯方程。(稱為共軛調(diào)和函數(shù))4）在邊界上達(dá)最大值。4、數(shù)學(xué)物理泛定方程一般分為哪幾類？波動(dòng)方程屬于其中的哪種類型？（6分）數(shù)學(xué)物理泛定方

3、程一般分為三種類型：雙曲線方程、拋物線方程、橢圓型偏微分方程。波動(dòng)方程屬于其中的雙曲線方程。5、寫出挑選性的表達(dá)式（6分）6、寫出復(fù)數(shù)的三角形式和指數(shù)形式（8分）三角形式： 指數(shù)形式：由三角形式得：7、求函數(shù)在奇點(diǎn)的留數(shù)（8分）解：奇點(diǎn)：一階奇點(diǎn)z=1；二階奇點(diǎn)：z=28、求回路積分 （8分）解：有三階奇點(diǎn)z=0（在積分路徑內(nèi)）原積分=9、計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分（8分）解：它具有4個(gè)單極點(diǎn)：只有z=和z=在上半平面，其留數(shù)分別為：10、求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑（8分）二、計(jì)算題（共30分）1、試用分離變數(shù)法求解定解問題（14分） 令，并代入方程得移項(xiàng) 和由邊界條件得：由初始條件得把右邊的函數(shù)展成傅里葉余弦級(jí)數(shù), 比較兩邊的系數(shù)得得：2、把下列問題轉(zhuǎn)化為具有齊次邊界條件的定解問題（不必求解）（6分） 則，v，w都可以分別用分離變量法求解了。3、求方程 滿足初始條件y(0)=0