1、2013年普通高等學校招生全國統一考試（全國ii）數學（理科）第卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（1）【2013年全國，理1，5分】已知集合，則 （ ）（a） （b） （c） （d）【答案】a【解析】因為，所以，故選a（2）【2013年全國，理2，5分】設復數滿足則（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】a 【解析】，故選a（3）【2013年全國，理3，5分】等比數列的前項和為，已知，則（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】c【解析】設數列的公比為，若，則由，得，此時，而，不滿足題意，因此時，整理得，即，故選c（4）【20

2、13年全國，理4，5分】已知，為異面直線，平面，平面，直線滿足，則（ ）（a）且 （b）且 （c）與相交，且交線垂直于 （d）與相交，且交線平行于【答案】d【解析】因為，所以同理可得又因為，為異面直線，所以與相交，且平行于它們的交線，故選d（5）【2013年全國，理5，5分】已知的展開式中的系數是5，則（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】d【解析】因為的二項展開式的通項為，則含的項為，所以，故選d（6）【2013年全國，理6，5分】執行右面的程序框圖，如果輸入的，那么輸出的（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】d【解析】由程序框圖知，當，時，；當時，；當時，；當時，；當時，增加1

3、變為11，滿足，輸出，所以b正確，故選d（7）【2013年全國，理7，5分】一個四面體的頂點在空間直角坐標系中的坐標分別是，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以平面為投影面，則得到的正視圖可以為（ ） （a） （b） （c） （d）【答案】a【解析】如圖所示，該四面體在空間直角坐標系的圖像為下圖：則它在平面上的投影 即正視圖為a圖形，故選a（8）【2013年全國，理8，5分】設，則（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】d【解析】根據公式變形，因為，所以，即，故選d（9）【2013年全國，理9，5分】已知，滿足約束條件，若的最小值是1，則（ ）（a） （b） （c）1 （d）2【答案】b【解析

4、】由題意作出所表示的區域如圖陰影部分所示，作直線，因為直線 與直線的交點坐標為，結合題意知直線過點， 代入得，故選b（10）【2013年全國，理10，5分】已知函數，下列結論中錯誤的是（ ） （a）， （b）函數的圖象是中心對稱圖形 （c）若是的極小值點，則在區間單調遞減（d）若是的極值點，則【答案】c【解析】若則有，所以a正確由得，因為函數的對稱中心為，所以的對稱中心為，所以b正確由三次函數的圖象可知，若是的極小值點，則極大值點在的左側，所以函數在區間單調遞減是錯誤的，d正確，故選c（11）【2013年全國，理11，5分】設拋物線的焦點為，點在上，若以為直徑的圓過點，則的方程為（ ）（a）或

5、 （b）或 （c）或 （d）或【答案】c【解析】設點的坐標為，由拋物線的定義，得，則又點的坐標為， 所以以為直徑的圓的方程為將，代入得，即，所以由，得，解之得，或所以的方程為或，故選c（12）【2013年全國，理12，5分】已知，直線將分割為面積相等的兩部分，則的取值范圍是（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】b第ii卷本卷包括必考題和選考題兩部分第（13）題第（21）題為必考題，每個試題考生都必須作答第（22）題第（24）題為選考題，考生根據要求作答二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上（13）【2013年全國，理13，5分】已知正方形的邊長為，為的中點，

6、則_【答案】2【解析】解法一：在正方形中，,所以解法二：以所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則點的坐標為，點b的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，則， ，所以（14）【2013年全國，理14，5分】從個正整數，中任意取出兩個不同的數，若其和為的概率是，則_ _【答案】8【解析】從1,2，n中任取兩個不同的數共有種取法，兩數之和為5的有， 2種，所以，即，解得（15）【2013年全國，理15，5分】設為第二象限角，若，則_【答案】【解析】由，得，即將其代入，得因為為第二象限角，所以，（16）【2013年全國，理16，5分】等差數列的前項和為，已知，則的最小值為_【答案】【解析

7、】設數列的首項為，公差為，則， 聯立，得，所以令，則，令，得或當時，,時，所以當時，取最小值，而，則，所以當時，取最小值 三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟（17）【2013年全國，理17，12分】的內角的對邊分別為已知（1）求；（2）若，求的面積的最大值解：（1）由已知及正弦定理得 又，故 由，和得，又，所以（2）的面積由已知及余弦定理得又，故，當且僅當時，等號成立因此面積的最大值為（18）【2013年全國，理18，12分】如圖，直三棱柱中，分別是，的中點（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值解：（1）連結交于點，則為中點又是中點，連結，則因為平面，平面，所以平面（2）由得

8、，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立如圖 所示的空間直角坐標系設，則， ，設是平面的法向量，則即，可取同理，設是平面a1ce的法向量，則可取從而，故即二面角的正弦值為（19）【2013年全國，理19，12分】經銷商經銷某種農產品，在一個銷售季度內，每售出1 t該產品獲利潤500元，未售出的產品，每1 t虧損300元根據歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示經銷商為下一個銷售季度購進了130 t該農產品以(單位：，)表示下一個銷售季度內的市場需求量，(單位：元)表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤（1）將表示為的函數；（2）根據直方圖估計利潤不少于57000元的概率；（

9、3）在直方圖的需求量分組中，以各組的區間中點值代表該組的各個值，并以需求量落入該區間的頻率作為需求量取該區間中點值的概率(例如：若需求量，則取，且的概率等于需求量落入的頻率)，求t的數學期望解：（1）當時，當時，所以 （2）由（1）知利潤不少于元當且僅當由直方圖知需求量的頻率為，所以下一個銷售季度內的利潤不少于元的概率的估計值為（3）依題意可得t的分布列為t45000530006100065000p0.10.20.30.4所以（20）【2013年全國，理20，12分】平面直角坐標系中，過橢圓m：()右焦點的直線交于，兩點，為的中點，且的斜率為（1）求的方程；（2），為上兩點，若四邊形的對角線，

10、求四邊形面積的最大值解：（1）設，則，由此可得因為，所以又由題意知，的右焦點為，故因此，所以的方程為（2）由，解得或，因此由題意可設直線的方程為：，設，由得于是因為直線的斜率為1，所以由已知，四邊形的面積當時，取得最大值，最大值為所以四邊形面積的最大值為（21）【2013年全國，理21，12分】已知函數 （1）設是的極值點，求并討論的單調性；（2）當時，證明解：（1）由是的極值點得，所以于是，定義域為，函數在單調遞增，且因此當時，；當時，所以在單調遞減，在單調遞增（2）當，時，故只需證明當時，當時，函數在單調遞增又，故在有唯一實根，且當時，；當時，從而當時，取得最小值由得，故綜上，當時，請考生

11、在（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答注意：只能做所選定的題目如果多做，則按所做第一個題目計分，做答時請寫清題號（22）【2013年全國，理22，10分】（選修4-1：幾何證明選講）如圖，為外接圓的切線，的延長線交直線于點，分別為弦與弦上的點，且，四點共圓 （1）證明：是外接圓的直徑；（2）若，求過，四點的圓的面積與外接圓面積的比值解：（1）因為為外接圓的切線，所以，由題設知，故，所以因為，四點共圓，所以，故所以，因此是外接圓的直徑（2）連結，因為，所以過，四點的圓的直徑為，由，有，又，所以而，故過，四點的圓的面積與外接圓面積的比值為（23）【2013年全國，理23，10分】（選修4-4：坐標系與參數方程）已知動點都在曲線（為參數）上，對應參數分別為與（），為的中點（1