1、2013年上海市秋季高考理科數學一、填空題1計算：【解答】根據極限運算法則，2設，是純虛數，其中i是虛數單位，則【解答】3若，則【解答】4已知abc的內角a、b、c所對應邊分別為a、b、c，若，則角c的大小是_（結果用反三角函數值表示）【解答】，故5設常數，若的二項展開式中項的系數為，則【解答】，故6方程的實數解為_【解答】原方程整理后變為7在極坐標系中，曲線與的公共點到極點的距離為_【解答】聯立方程組得，又，故所求為8盒子中裝有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九個球，從中任意取出兩個，則這兩個球的編號之積為偶數的概率是_（結果用最簡分數表示）【解答】9個數5個奇數，4個偶數，根據題

2、意所求概率為9設ab是橢圓的長軸，點c在上，且，若ab=4，則的兩個焦點之間的距離為_【解答】不妨設橢圓的標準方程為，于是可算得，得10設非零常數d是等差數列的公差，隨機變量等可能地取值，則方差【解答】，11若，則【解答】，故12設為實常數，是定義在r上的奇函數，當時，若對一切成立，則的取值范圍為_【解答】，故；當時，即，又，故13在平面上，將兩個半圓弧和、兩條直線和圍成的封閉圖形記為d，如圖中陰影部分記d繞y軸旋轉一周而成的幾何體為，過作的水平截面，所得截面面積為，試利用祖暅原理、一個平放的圓柱和一個長方體，得出的體積值為_【解答】根據提示，一個半徑為1，高為的圓柱平放，一個高為2，底面面積

3、的長方體，這兩個幾何體與放在一起，根據祖暅原理，每個平行水平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即的體積值為14對區間i上有定義的函數，記，已知定義域為的函數有反函數，且，若方程有解，則【解答】根據反函數定義，當時，；時，而的定義域為，故當時，的取值應在集合，故若，只有二、選擇題15設常數，集合，若，則的取值范圍為（ ）(a) (b) (c) (d) 【解答】集合a討論后利用數軸可知，或，解答選項為b16錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的（）(a)充分條件 (b)必要條件 (c)充分必要條件 (d)既非充分也非必要條件【解答】根據等價命題，便宜Þ沒好

4、貨，等價于，好貨Þ不便宜，故選b17在數列中，若一個7行12列的矩陣的第i行第j列的元素，（）則該矩陣元素能取到的不同數值的個數為（ ）(a)18 (b)28 (c)48 (d)63【解答】，而，故不同數值個數為18個，選a18在邊長為1的正六邊形abcdef中，記以a為起點，其余頂點為終點的向量分別為；以d為起點，其余頂點為終點的向量分別為.若分別為的最小值、最大值，其中,則滿足（ ）. (a) (b) (c) (d) 【解答】作圖知，只有，其余均有，故選d三、解答題19.（本題滿分12分）如圖，在長方體abcd-a1b1c1d1中，ab=2,ad=1,a1a=1，證明直線bc1平

5、行于平面da1c，并求直線bc1到平面d1ac的距離.【解答】因為abcd-a1b1c1d1為長方體，故，故abc1d1為平行四邊形，故，顯然b不在平面d1ac上，于是直線bc1平行于平面da1c；直線bc1到平面d1ac的距離即為點b到平面d1ac的距離設為考慮三棱錐abcd1的體積，以abc為底面，可得而中，故所以，即直線bc1到平面d1ac的距離為20（6分+8分）甲廠以x千克/小時的速度運輸生產某種產品（生產條件要求），每小時可獲得利潤是元.(1)要使生產該產品2小時獲得的利潤不低于3000元，求x的取值范圍；(2)要使生產900千克該產品獲得的利潤最大，問：甲廠應該選取何種生產速度？

6、并求最大利潤.【解答】(1)根據題意，又，可解得(2)設利潤為元，則故時，元21（6分+8分）已知函數，其中常數；（1）若在上單調遞增，求的取值范圍；（2）令，將函數的圖像向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數的圖像，區間（且）滿足：在上至少含有30個零點，在所有滿足上述條件的中，求的最小值【解答】(1)因為，根據題意有(2) ，或，即的零點相離間隔依次為和，故若在上至少含有30個零點，則的最小值為22（3分+5分+8分）如圖，已知曲線，曲線，p是平面上一點，若存在過點p的直線與都有公共點，則稱p為“c1c2型點”(1)在正確證明的左焦點是“c1c2型點”時，要使用一條過該焦點的直線，試

7、寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；(2)設直線與有公共點，求證，進而證明原點不是“c1c2型點”；(3)求證：圓內的點都不是“c1c2型點”【解答】：（1）c1的左焦點為，過f的直線與c1交于，與c2交于，故c1的左焦點為“c1-c2型點”，且直線可以為；（2）直線與c2有交點，則，若方程組有解，則必須；直線與c2有交點，則，若方程組有解，則必須故直線至多與曲線c1和c2中的一條有交點，即原點不是“c1-c2型點”。（3）顯然過圓內一點的直線若與曲線c1有交點，則斜率必存在；根據對稱性，不妨設直線斜率存在且與曲線c2交于點，則直線與圓內部有交點，故化簡得，。若直線與曲線c1有交點，則化簡

8、得，。由得，但此時，因為，即式不成立；當時，式也不成立綜上，直線若與圓內有交點，則不可能同時與曲線c1和c2有交點，即圓內的點都不是“c1-c2型點” 23（3 分+6分+9分）給定常數，定義函數，數列滿足.（1）若，求及；（2）求證：對任意，；（3）是否存在，使得成等差數列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說明理由.【解答】：（1）因為，故，（2）要證明原命題，只需證明對任意都成立，即只需證明若，顯然有成立；若，則顯然成立綜上，恒成立，即對任意的，（3）由（2）知，若為等差數列，則公差，故n無限增大時，總有此時，即故，即，當時，等式成立，且時，此時為等差數列，滿足題意；若，則，此

9、時，也滿足題意；綜上，滿足題意的的取值范圍是22（本題滿分16分）本題共有3個小題第1小題滿分6分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分如圖，已知雙曲線：，曲線：是平面內一點，若存在過點的直線與、都有公共點，則稱為“型點”（1）在正確證明的左焦點是“型點”時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；（2）設直線與有公共點，求證，進而證明原點不是“型點；（3）求證：圓內的點都不是“型點”22解：（1）c1的左焦點為，過f的直線與c1交于，與c2交于，故c1的左焦點為“c1-c2型點”，且直線可以為；（2）直線與c2有交點，則，若方程組有解，則必須；直線與c2有交點，則，

10、若方程組有解，則必須故直線至多與曲線c1和c2中的一條有交點，即原點不是“c1-c2型點”。（3）顯然過圓內一點的直線若與曲線c1有交點，則斜率必存在；根據對稱性，不妨設直線斜率存在且與曲線c2交于點，則直線與圓內部有交點，故化簡得，。若直線與曲線c1有交點，則化簡得，。由得，但此時，因為，即式不成立；當時，式也不成立綜上，直線若與圓內有交點，則不可能同時與曲線c1和c2有交點，即圓內的點都不是“c1-c2型點”。23（本題滿分18分）本題共有3個小題第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分 給定常數，定義函數數列，滿足（1）若，求及；（2）求證：對任意，；（3）是否存在，使得，成等差數列？若存在，求出所有這樣的；若不存在，說明理