1、智康教育www.ndluij Rcom好學者智，善思者康400-810-26805-2-4不定方程及整數解題庫學生版page 8 of 6不定方程及整數解:1'h!-中考要求內容基本要求略咼要求較咼要求例題精講我們曾經學過一元一次方程，例如2x -5，解這個方程可得 x = 一4 .如果未知數的個數不只一個，而是二個或更多個，就變成為二元一次方程或多元一次方程，例如x y =4就是一個二元一次方程.這個方程有無數多組解.比如xT， x = 4， x =6.5等.Jy =3y = 8Jy - -2.5這類未知數的個數多于方程的個數的方程（或方程組）就叫做不定方程（或方程組）初中范圍內通常

2、只討論這類方程（組）的正整數解或整數解.不定方程的問題主要有兩大類：判斷不定方程有無整數解或解的個數；如果不定方程有整數解，采取正確的 方法，求出全部整數解.（1）不定方程解的判定如果方程的兩端對同一個模m（常數）不同余，顯然,這個方程必無整數解.而方程如有解則解必為奇數、偶數兩種，因而可以在奇偶分析的基礎上應用同余概念判定方程有無整數解（2）不定方程的解法不定方程沒有統一的解法，常用的特殊方法有：配方法、因式（質因數）分解法、不等式法、奇偶分析法和余 數分析法.對方程進行適當的變形，并正確應用整數的性質是解不定方程的基本思路 定理1 ：若二元一次不定方程 ax by二c，整數a和b的最大公約

3、數不能整除 c，則方程沒有整數解.定理2:若整數a, b互質，則方程ax by =1有整數解，同時方程 ax，by二c也有整數解若x0, y0是方程 ax by =1的一個整數解，則 ex。， cy°是方程ax - by =c的一個整數解.定理3 :整系數方程ax by = a, b有整數解.定理2和定理3都是“裴蜀定理”的內容定理4:如果x二人是滿足整系數方程 ax by =c的一組整數解，則x二人，bu （其中口為任意整數）也是ly=y°ly = y°au滿足上式的整數解.這表明，滿足方程的整數解有無窮組，并且在ab 0時，可選擇x為正（負）數，此時 y為相應

4、的為負（正）數.這個結論可以通過把這組解直接代入已知方程進行證明.x =4 5ky =1_4k由這個定理，只要能夠觀察出二元一次方程的一組整數解，就可以得到它的全部整數解.f x 二 4 例如，方程4x，5y=21的一組解為，則此方程的所有整數解可表示為：）=1板塊一 不定方程的整數解【例1】求方程11x15y =7的整數解.【鞏固】求37x 107y =25的整數解.【鞏固】求方程的整數解：72x - 157y =1 ;103x _90y =5 .9【例2】求7x 19213的所有正整數解.Jr 【鞏固】求方程5x 3y =22的所有正整數解.J【鞏固】求6x 22y =90的非負整數解.f

5、 X* f【例3】求2x 3y 734的整數解.【鞏固】求9x - 24y _5z =1000的整數解.f *，【例4】5x 亠7y 亠9z =52求方程組的正整數解.、3x +5y +7z=36【例5】求不定方程2(x yxy 7的整數解.【例6】求方程x y =x -xy y2的整數解.【例7】 第35屆美國中學數學競賽題）滿足聯立方程ab 亠 be 二 44ac bc =23的正整數（a,b,c）的組數是（).(A) 0(B) 1(C) 2( D) 3(E) 4【例8】（第33屆美國數學競賽題）滿足方程（A）0 （ B）1（C） 2（D）無限個x2亠y2 =x3的正整數對（x, y）的個

6、數是E）上述結論都不對【例9】 求不定方程 mn nr mr =2 m n r的正整數解 m, n, r的組數.【例10】求方程x2 4xy - 5y2 =169的整數解.【例11】（原民主德國1982年中學生競賽題）已知兩個自然數b和c及素數a滿足方程a2bc2.證明：這時有a : b 及 b 1 = c.> t I I “、板塊二 證明不定方程無整數解【例12】下列不定方程(組)A. 3x 15y =02x -3y =4 C.y 2z=3中，沒有整數解的是（D.x 2y 3z =12xy 2z =3B. 9x - 11y =1【例13】證明方程2x2 _5y2 =7無整數解.【例14

7、】（第14屆美國數學邀請賽題）不存在整數x,y使方程x23xy_2y2=122成立。【例15】求證：方程xx yy =zz uu沒有各不相同的正整數解.板塊三不定方程的應用【例16】某國硬幣有5分和7分兩種，問用這兩種硬幣支付142分貸款，有多少種不同的方法?【例17】大約1500年以前，我國古代數學家張丘建在他編寫的張丘建算經里，曾經提出并解決了百錢買百雞”這個有名的數學問題：今有公雞每只五個錢，母雞每只三個錢，小雞每個錢三只.用100個錢買100只雞，問公雞、母雞、小雞各買了多少只？【例18】小明玩套圈游戲，套中小雞一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分.小明共套10次, 每次

8、都套中了，每個小玩具都至少被套中一次.小明套10次共得61分，問：小雞至少被套中幾次？【例19】把若干顆花生分給若干只猴子，如果每只猴子分3顆，就剩下8顆；如果每只猴子分5顆，那么最后一只猴子得不到5顆，那么，共有 只猴子，共有 顆花生.【例20】今有濃度為5%、8%、9%的甲、乙、丙三種鹽水分別為 60克、60克、47克.現要配制成濃度為7% 的鹽水100克，問甲種鹽水最多可用多少克？最少可用多少克？【例21】甲、乙兩個糧庫原來各存有整數袋的糧食如果從甲庫調90袋到乙庫，則乙庫存糧是甲庫的2倍;如果從乙庫調若干袋到甲庫，則甲庫存糧是乙庫的6倍問甲庫原來最少存糧多少袋？【例22】有一種體育競賽

9、共含 M個項目，有運動員A、B、C參加，在每個項目中，第一、二、三名分別得pi、 P2、P3分，其中Pi、P2、P3為正整數且Pl> P2> P3，最后A得22分，B與C均得9分，B在百米 賽中取得第一求 M的值，并問在跳高中誰取得第二名？【例23】有面額為壹圓、貳圓、伍圓的人民幣共10張，購買一把價值為18元的雨傘，不同的付款方式共有（）A. 1種B. 2種C.3種D.4種【例24】旅游團一行50人到一旅館住宿，旅游館的客房有三人間、二人間、單人間三種，其中三人間的每人每天20元，二人間的每人每天 30元，單人間的每天50元，如果旅游團共住滿了 20間客房，問三種 客房各住幾間？怎樣消費最低？【例25】把若干顆花生分給若干只猴子，如果每只猴子分3顆，就剩下8顆；如果每只猴子分5顆，那么最后一只猴子得不到5顆，那么，共有 只猴子，共有 顆花生.【例26】試證明存在自然數a，使得21a的后三位數字是241 .【例27】某自然數與13的和是5的倍數，并且與13的差是6的倍數，求這樣的自然數中最小的3個.