1、用十字相乘法因式分解詳解附同步練習及答案【基礎知識精講】(1) 理解二次三項式的意義；(2) 理解十字相乘法的根據；(3) 能用十字相乘法分解二次三項式；(4 )重點是掌握十字相乘法，難點是首項系數不為1的二次三項式的十字相乘法.【重點難點解析】1 .二次三項式多項式ax2 bx c，稱為字母x的二次三項式，其中ax2稱為二次項，bx為一次項，c為常數項.例 如，x2 -2x -3和x2 5x 6都是關于x的二次三項式.在多項式x2 -6xy 8y2中，如果把y看作常數，就是關于 x的二次三項式；如果把 x看作常數， 就是關于y的二次三項式.2 2 2在多項式2a b -7ab 3中，把ab看

2、作一個整體，即 2(ab) -7(ab) 3，就是關于ab的二次 三項式.同樣，多項式(x y)2 7(x y) 12 ,把x+ y看作一個整體，就是關于x+y的二次三項式. 十字相乘法是適用于二次三項式的因式分解的方法.2 十字相乘法的依據和具體內容利用十字相乘法分解因式，實質上是逆用(ax+ b)(cx+ d)豎式乘法法則.它的一般規律是：(1)對于二次項系數為1的二次三項式x2 px q，如果能把常數項 q分解成兩個因數 a, b的積， 并且a+ b為一次項系數p,那么它就可以運用公式x2 (a b)x ab 二(x a)(x b)分解因式這種方法的特征是“拆常數項，湊一次項”公式中的x

3、可以表示單項式，也可以表示多項式，當常數項為正數時， 把它分解為兩個同號因數的積，因式的符號與一次項系數的符號相同; 當常數項為負數時，把它分解為兩個異號因數的積，其中絕對值較大的因數的符號與一次項系數的符 號相同.(2)對于二次項系數不是 1的二次三項式ax2 bx c(a, b, c都是整數且a工0)來說，如果存在四個整數 ai,a2,G,Q，使 ai=a, G 'cc，且 aQ? azG =b,那么 ax2 bx c =aia2X2 (ac - a2G)x - GQ =(aix - G)(a2X - C2)它的特征是“拆兩頭，湊中間”，這里要確定四個常數，分析和嘗試都要比首項系數

4、是1的情況復雜，因此，一般要借助“畫十字交叉線”的辦法來確定學習時要注意符號的規律為了減少嘗試次數，使符號問題簡單化，當二次項系數為負數時，先提出負號，使二次項系數為正數，然后再看常數項；常數項為正數時，應分解為兩同號因數，它們的符號與一次項系數的符號相同；常數項為負數時，應將它分解為兩異號因數，使十字連線上兩數之積絕對值較大的一組與一次項系數的符號相同.用十字相乘法分解因式，還要注意避免以下兩種錯誤出現：一是沒有認真地驗證交叉相乘的兩個積的和是否等于一次項系數；二是由十字相乘寫出的因式漏寫字母.如：5x2 6xy-8y2 = (x 2)(5x-4)3 因式分解一般要遵循的步驟多項式因式分解的

5、一般步驟：先考慮能否提公因式，再考慮能否運用公式或十字相乘法，最后考 慮分組分解法對于一個還能繼續分解的多項式因式仍然用這一步驟反復進行以上步驟可用口訣概 括如下：“首先提取公因式，然后考慮用公式、十字相乘試一試，分組分解要合適，四種方法反復試， 結果應是乘積式”.【典型熱點考題】例1把下列各式分解因式：(1) x2 -2x -15 ； ( 2) x2-5xy 6y2.點悟：(1 )常數項15可分為3 X ( 5),且3+ (-5) = -2恰為一次項系數；(2)將y看作常數，轉化為關于 x的二次三項式，常數項 6y2可分為(2y)( 3y)，而(2y) + ( 3y) =(5y)恰為一次項系

6、數.解: (1) X2 -2x-15 =(x 3)(x-5)；(2) x2-5xy 6y2 = (x-2y)(x-3y).例2把下列各式分解因式:(1) 2x2 -5x 3 ； (2) 3x2 8x 3 .點悟：我們要把多項式ax2 bx c分解成形如(ax-iCi)(ax2-c2)的形式，這里a©二a ,gc2= c而 a1c2 a2c =b 解: (1) 2x2 -5x-3 =(2x 1)(x -3)；(2) 3x2 8x _3 =(3x _1)( x 3).點撥：二次項系數不等于1的二次三項式應用十字相乘法分解時，二次項系數的分解和常數項的分解 隨機性較大，往往要試驗多次，這是

7、用十字相乘法分解的難點，要適當增加練習，積累經驗，才能提高速 度和準確性.例3把下列各式分解因式：(1) x4 -10x29 ；(2) 7(x y)3 -5(x y)2 -2(x y)；(3) (a2 8a)2 22(a2 8a) 120.點悟：(1 )把x2看作一整體，從而轉化為關于x2的二次三項式；(2) 提取公因式(x+ y)后，原式可轉化為關于(x+ y)的二次三項式；(3) 以(a2 8a)為整體，轉化為關于(a2 8a)的二次三項式.解: (1) x4 -10x2 9=(x2 -1)(x2 -9)=(x+ 1)(x- 1)(x+ 3)(x- 3).(2)7(x y)3 -5(x y

8、)2 -2(X y)=(x y)7(x y)2 -5(x y)-2=(x+ y)(x+ y) -17( x+ y) + 2=(x+ y)(x+ y- 1)(7x+ 7y+ 2).(3) (a2 8a)222(a2 8a) 1202 2=(a 8a 12)(a 8a 10)=(a 2)(a 6)(a2 8a 10)點撥：要深刻理解換元的思想，這可以幫助我們及時、準確地發現多項式中究竟把哪一個看成整體， 才能構成二次三項式，以順利地進行分解同時要注意已分解的兩個因式是否能繼續分解，如能分解，要 分解到不能再分解為止.例 4 分解因式：(x2 2x-3)(x2 2x-24) 90 點悟：把x2 2x

9、看作一個變量，利用換元法解之.解：設x22 = y，貝U原式=(y-3)(y-24) + 902= y-27y 162=(y- 18)(y - 9)= (x2 2x -18)(x2 2x-9) 點撥：本題中將x2 2x視為一個整體大大簡化了解題過程，體現了換元法化簡求解的良好效果此 夕卜，y2 -27y 162 = (y -18)(y -9) 步，我們用了 “十字相乘法”進行分解.例5分解因式6x4 5x38x2 5x 6.點悟：可考慮換元法及變形降次來解之.解：原式=x26(x2 厶)5(x 丄)-38xx2 1 2 1-x26(x)2 5(x)-50,xx1令x y，則x原式二 x2(6y

10、2 5y -50)=x2 (2y 5)(3y 10)QQ= x2(2x -5)(3x - 10)xx= (2x2 -5x 2)(3x210x 3)=(x -2)(2x -1)(x 3)(3x 1).點撥：本題連續應用了 “十字相乘法”分解因式的同時，還應用了換元法，方法巧妙，令人眼花瞭亂. 是，品味之余應想到對換元后得出的結論一定要“還原”，這是一個重要環節.例 6 分解因式 x2 - 2xy y2 - 5x 5y - 6 .點悟：方法1 ：依次按三項，兩項，一項分為三組，轉化為關于(x y)的二次三項式.方法2：把字母y看作是常數，轉化為關于x的二次三項式.解法 1：x2 -2xy y2 -

11、5x 5y -6=(x2 -2xy y2) (-5x 5y) -62= (x-y) -5(x-y)-6= (x-y 1)(x-y-6).解法 2：x2 -2xy y2 -5x 5y -6 =x _(2y 5)x y 5y62=x-(2y 5)x (y 6)(y-1)= x-(y 6) x-(y-1)=(x y 6)(x y + 1).例 7 分解因式：ca(c a)+ bc(b c) + ab(a b).點悟：先將前面的兩個括號展開，再將展開的部分重新分組.解: ca(c a)+ bc(b c) + ab(a b)二 ac2 - a2c b2c - bc2 ab(a - b)2 2 2=c (

12、a -b) -c(a -b ) ab(a -b)2二 c (a -b) _c(a b)(a _b) ab(a _b)2二(a _b)c -c(a b) ab=(a b)(c a)(c b).點撥：因式分解，有時需要把多項式去括號、展開、整理、重新分組，有時僅需要把某幾項展開再分組此題展開四項后，根據字母c的次數分組，出現了含a b的因式，從而能提公因式隨后又出現了關于c的二次三項式能再次分解.例8已知x4 6x2 x 12有一個因式是x2 ax 4，求a值和這個多項式的其他因式.點悟：因為x4 6x2 x 12是四次多項式，有一個因式是x2 ax 4，根據多項式的乘法原則可知道另一個因式是x2

13、 bx3( a 、 b 是待定常數)，故有4 2 2 2x6x x 1 (x ax4) (xbx3).根據此恒等關系式，可求出 a, b的值.解:設另一個多項式為x2 bx 3，則x4 6x2 x 122 2=(x ax 4)(x bx 3)43=x (a b) x (3 4 ab)x (3a 4b) x 12,x4 6x2 x 12 與 x4 (a b)x3 (3 4 ab)x2 (3a 4b) x 12 是同一個多項式，所以其對應項系數分別相等.即有a 4-Z? = 0,3+4 +ab 二 6t由、解得,a = 1, b= 1,代入，等式成立.a= 1，另一個因式為x2x 3 .點撥：這種

14、方法稱為待定系數法，是很有用的方法待定系數法、配方法、換元法是因式分解較為常用的方法，在其他數學知識的學習中也經常運用希望讀者不可輕視.【易錯例題分析】例 9 分解因式：5a2b2 23aby-10y2.錯解：/ 10=5x (-2), 5= 1X 5,5X 5+ 1 X ( 2) = 23, 原式=(5ab+ 5y)( 2ab + 5y).警示：錯在沒有掌握十字相乘法的含義和步驟.正解:5= 1 X 5, 10= 5X ( 2),5X 5+ 1 X ( 2)= 23.原式=(ab+ 5y)(5ab 2y).【同步練習】一、選擇題21. 如果x - px (x a)(x - b)，那么p等于A

15、. abB. a + bC. abD . (a+ b)2 22 .如果 x (a b) x 5 x - x - 30，貝U b 為A. 5B . 6C. 5D . 63. 多項式x2 -3x a可分解為(x 5)(x b)，則a, b的值分別為A . 10 和一2B. 10 和 2C . 10 和 2D . 10 和一24. 不能用十字相乘法分解的是A .x2X -2B .3x2-10x2 3x2 2 2C .4x x 2D .5x-6xy-8y5. 分解結果等于(x+ y 4)(2x+ 2y 5)的多項式是2A . 2(x y) -13(x y) 20B . (2x 2y)2 -13(x y

16、) 20C . 2(x y)2 13(x y) 202D 2(x y) -9(x y) 206 將下述多項式分解后，有相同因式x 1的多項式有12 / 112 x 5x - 6 ； x411x2 12D. 5個 x2 7x 6 ； 4x2 -5x -9 ；A 2 個B.二、填空題2 3x 2x-1；2 15x -23x 8；3個C. 4個27. x +3x10=28. m 5m -6 =(m+ a)(m+ b).a =, b =.29. 2x 5x 3 = (x 3)().2 210. x +-2y =(x y)().2 n211. a + a+()=(+).m12. 當k=時，多項式3x2+

17、7xk有一個因式為().1 732 2313. 若x y= 6, xy = ，則代數式x y2x y +xy的值為6三、解答題14. 把下列各式分解因式：(1)x4-7x2 6 ；(2)x4 - 5x2 - 36 ；(3)4x4-65x2y2 16y4 ；(4)63 36a -7a b -8b ；(5)6a4-5a3 -4a2 ；(6)64 2c 2. 44a37a b 9a b15.把下列各式分解因式：(1) (x2 -3)2 -4x2; (2) x2(x-2)2 -9 ;(3) (3x2 2x 1)2 -(2x2 3x 3)2 ；(4) (x2 x)217(x2 x) 60 ；(5) (x

18、22x)2 -7(x22x)-8 ；(6) (2a b)2 - 14(2a b) 48 .16. 把下列各式分解因式：2(1) (a -b)x 2ax a b;(2) X -(p q )x pq(p q)(p q);(3) x2-2xy-3y2 2x 10y-8 ；2 2(4) 4x4xy3y4x 10y3 ；(5) (x2 3x 2)(x2 7x 12)-120 ；(6) (x2 xy y2)(x2 xy 2y2) -12y4.3217. 已知2x -7x -19x 60有因式2x-5，把它分解因式.3318 .已知 x+ y = 2, xy= a + 4, x y =26，求 a 的值.參

19、考答案【同步練習】1 . D 2. B 3. D 4. C 5. A 6. C7. (x+ 5)(x 2) 8. 1 或6,- 6 或 1 9. 2x+ 12nn10. xy, x+ 2y 11. 牙,a,4m2m12. 2, 3x+ 1 或 x+ 213. 1714. (1)原式=(x2 -1)(x2 -6)2=(x 1)(x-1)(x-6)(2) 原式-(x2 -9)(x2 4)2=(x 3)(x-3)(x4)(3) 原式=(4x2 - y2)(x2-16y2)二(2xy)(2x - y)(x 4y)(x -4y)(4) 原式=(a3-8b3)(a3 b3)=(a -2b)(a2 2ab

20、4b2)(a b)(a2 -ab b2)2 2(5) 原式=a (6a -5a-4)EOL(CXIA+x)(寸 + AcoX)" CXI A + x=(寸 aco)xh (CxlA)(寸 Ae)X(cxlACXI) JXH (8二OLJAdx"A0)JX2疤(e) (zbbd x)(bd+ Nd X)" _(b+d)bx=(bd)d x張疤 Q) (L+X = q+e+x(qe)r¥疤(L)COL (8 q+ £)(9 q+ eCXIT¥疤(9)l+x)(yx)(cxixt (L+XCXI+X)(8XCXI+X)H¥疤(9) 令x+X)(eX)(tz+XT 令x+、)(CXIIX+XT¥疤(寸)(L+ x)(0x)(寸十 xg+ zxg)H(exe JXCXIL+XCXI+(e+xe 十 ZXCXI+L+XCXI+ zxeT¥疤(e)O+XcxlX)(L+X)(eXT o+xcxlJX)(e