1、類型五 二次函數與特殊平行四邊形判定問題例1、如圖，拋物線與直線交于兩點，其中點在軸上，點的坐標為。點是軸右側的拋物線上一動點，過點作軸于點，交于點.（1）求拋物線的解析式；（2）若點的橫坐標為，當為何值時，以為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由。【解析】（1）直線經過點, 拋物線經過點， 拋物線的解析式為（2）點的橫坐標為且在拋物線上 ，當時，以為頂點的四邊形是平行四邊形 當時，解得：即當或時，四邊形是平行四邊形 當時，解得：（舍去）即當時，四邊形是平行四邊形例2、如圖，拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點a（1，0）、b（3，0），與y軸相交于點c，點p為線段ob上的動點（不與o、b

2、重合），過點p垂直于x軸的直線與拋物線及線段bc分別交于點e、f，點d在y軸正半軸上，od=2，連接de、of（1）求拋物線的解析式；（2）當四邊形odef是平行四邊形時，求點p的坐標；【解析】解：（1）點a（1，0）、b（3，0）在拋物線y=ax2+bx+3上，解得a=1，b=2，拋物線的解析式為：y=x2+2x+3（2）在拋物線解析式y=x2+2x+3中，令x=0，得y=3，c（0，3）設直線bc的解析式為y=kx+b，將b（3，0），c（0，3）坐標代入得：，解得k=1，b=3，y=x+3設e點坐標為（x，x2+2x+3），則p（x，0），f（x，x+3），ef=yeyf=x2+2x+3

3、（x+3）=x2+3x四邊形odef是平行四邊形，ef=od=2，x2+3x=2，即x23x+2=0，解得x=1或x=2，p點坐標為（1，0）或（2，0）例3、如圖，拋物線與軸交于點c，與軸交于a、b兩點，（1）求點b的坐標；（2）求拋物線的解析式及頂點坐標；（3）設點e在軸上，點f在拋物線上，如果a、c、e、f構成平行四邊形，請寫出點e的坐標（不必書寫計算過程）caboyx【解析】解：（1） c (0,3) 1分又tanoca=a（1，0）1分又sabc=6ab=4 1分b（，0）1分（2）把a（1，0）、b（，0）代入得： 1分，2分 頂點坐標（，）1分（3）ac為平行四邊形的一邊時 e1

4、析(，0) 1分 e2（，0）1分 e3（，0）1分ac為平行四邊形的對角線時 e4（3，0）1分例4、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+mx+n經過點a（3，0）、b（0，3），點p是直線ab上的動點，過點p作x軸的垂線交拋物線于點m，設點p的橫坐標為t（1）分別求出直線ab和這條拋物線的解析式（2）若點p在第四象限，連接am、bm，當線段pm最長時，求abm的面積（3）是否存在這樣的點p，使得以點p、m、b、o為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點p的橫坐標；若不存在，請說明理由【解析】：（1）分別利用待定系數法求兩函數的解析式：把a（3，0）b（0，3）分別代入y=x2

5、+mx+n與y=kx+b，得到關于m、n的兩個方程組，解方程組即可；（2）設點p的坐標是（t，t3），則m（t，t22t3），用p點的縱坐標減去m的縱坐標得到pm的長，即pm=（t3）（t22t3）=t2+3t，然后根據二次函數的最值得到當t=時，pm最長為=，再利用三角形的面積公式利用sabm=sbpm+sapm計算即可；（3）由pmob，根據平行四邊形的判定得到當pm=ob時，點p、m、b、o為頂點的四邊形為平行四邊形，然后討論：當p在第四象限：pm=ob=3，pm最長時只有，所以不可能；當p在第一象限：pm=ob=3，（t22t3）（t3）=3；當p在第三象限：pm=ob=3，t23t=

6、3，分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值【答案】解：（1）把a（3，0）b（0，3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以拋物線的解析式是y=x22x3設直線ab的解析式是y=kx+b，把a（3，0）b（0，3）代入y=kx+b，得，解得，所以直線ab的解析式是y=x3；（2）設點p的坐標是（t，t3），則m（t，t22t3），因為p在第四象限，所以pm=（t3）（t22t3）=t2+3t，當t=時，二次函數的最大值，即pm最長值為=，則sabm=sbpm+sapm=（3）存在，理由如下：pmob，當pm=ob時，點p、m、b、o為頂點的四邊形為平行四邊形，當p在第四象限：pm=ob=3，

7、pm最長時只有，所以不可能有pm=3當p在第一象限：pm=ob=3，（t22t3）（t3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以p點的橫坐標是；當p在第三象限：pm=ob=3，t23t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以p點的橫坐標是所以p點的橫坐標是或例5、如圖，拋物線經過三點.(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上有一點p，使pa+pc的值最小，求點p的坐標；(3)點m為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點n，使以a,c,m,n四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點n的坐標；若不存在，請說明理由.xyaocb（第5題圖）【解析】解：（1）設拋物線的解析式為 ， xyaocb（第5題圖）pnmh 根據題意，得，解得拋物線的解析式為： (3分)（2）由題意知，點a關于拋物線對稱軸的對稱點為點b,連接bc交拋物線的對稱軸于點p，則p點 即為所求.設直線bc的解析式為，由題意，得解得 直線bc的解析式為 (6分)拋物線的對稱軸是，當時，點p的坐標是. (7分)（3）存在 (8分)(i)當存在的點n在x軸的下方時，如圖所示，四邊形acnm是平行四邊形，cnx軸，點c與點n關于對稱軸x=2對稱，c