1、高中數(shù)學(xué)必修1知識點第一章集合與函數(shù)概念一、集合有關(guān)概念：1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。2、集合的中元素的三個特性：(1)元素的確定性；(2)元素的互異性；(3)元素的無序性說明：(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣， 不需考查排列順序是否一樣。(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。3

2、、集合的表示：如我校的籃球隊員, 太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋(1)用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊員,B=1,2,3,4,5(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。(I)列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。(II)描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。語言描述法：例：不是直角三角形的三角形數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式 x-3>2的解集是x R| x-3>2或x| x-3>2(3)圖示法(文氏圖)：4、常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作： N正整數(shù)集N*或N+

3、整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q實數(shù)集R5、“屬于”的概念集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A記作aC A ,相反,a不屬于集合A記作aA6、集合的分類：1.有限集 含有有限個元素的集合 2.無限集 含有無限個元素的集合 3.空集 不含任何元素的集合二、集合間的基本關(guān)系1 . “包含"關(guān)系子集對于兩個集合 A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合 B的元素，我們就說兩集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作A三B注意：有兩種可能(1) A是B的一部分，；(2) A與B是同一集合。反之：集合A不包含于集合 B,或集合B不包含集合A,記作A遼B或B遼A集合A

4、中有n個元素，則集合A子集個數(shù)為 £2 .“相等”關(guān)系(5>5,且5<5,則5=5)實例：設(shè) A=x|x 2-1=0B=-1,1 “元素相同”結(jié)論：對于兩個集合 A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時，集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合 A等于集合B,即：A=B= A BHB A 任何一個集合是它本身的子集。aJa真子集：如果A J B,且A # B那就說集合A是集合B的真子集，記作 A匚B(或BnA)如果 AJB, b£c，那么 AJC如果a£b 同時B 3A那么A=B3 .不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定：空集是

5、任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的運算1.交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合，叫做A,B的交集.記作 A n B(讀作“ A 交 B”)，即 A n B=x|x C A,且 x C B.2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合 A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作:A U B(讀作“ A 并 B" ),即 AU B=x|x A,或 x C B.3、交集與并集的性質(zhì)：aha = A , An(j)= (j) , An B = BAA, AU A = A,AU<f)= A , A U B = B UA.4、全集與補(bǔ)集(1

6、)全集：如果集合 S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常 用U來表不(2)補(bǔ)集：設(shè)S是一個集合，A是S的一個子集(即 A£S),由S中 所有不屬于A的元素組成的集合，叫做 S中子集A的補(bǔ)集(或余集)。 記作：CsA ,即 CsA =x | x 亡 S且 xA(3)性質(zhì)： Cu(C uA)=A (C uA) n A= (C uA) u a=u(4)(C uA) n (C uB)=C u(AU B) (5)(C uA) U (C uB)=C u(A n B)二、函數(shù)的有關(guān)概念1 .函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合

7、A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù) f(x)和它對應(yīng)，那么就稱 f: A - B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記 作：y=f(x) , xC A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與 x的值相對應(yīng)的y值叫 做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 f(x)| x A 叫做函數(shù)的值域.注意：1、如果只給出解析式 y=f(x),而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義 的實數(shù)的集合；2、函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.定義域補(bǔ)充：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根

8、的被開方數(shù)不小于零；(3)對數(shù)式的真數(shù)必'須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義 .(注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)2、構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域注意：(1)構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以,如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一函數(shù))。(2)兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和

9、對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：定義域一致；表達(dá)式相同(兩點必須同時具備)值域補(bǔ)充(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域.(2)、應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基 礎(chǔ)。3.函數(shù)圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù) y=f(x) , (x CA)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值 y為縱坐標(biāo)的點 P(x, y) 的集合C,叫做函數(shù) y=f(x),(x A)的圖象.C上每一點的坐標(biāo)(x, y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來，以滿足 y=f(x)的每

10、一組有序?qū)崝?shù)對 x、y為 坐標(biāo)的點(x, y),均在C上.即記為C= P(x,y) | y= f(x) , x C A 圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線，也可能是由與任意平行于 Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。(2)畫法：A、描點法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對應(yīng)值并列表，以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點P(x, v),最后用平滑的曲線將這些點連接起來.B、圖象變換法：常用變換方法有三種，即平移變換、對稱變換和伸縮變換I、對稱變換：(1)將y= f(x)在x軸下方的圖象向上翻得到y(tǒng)= I f(x) I的圖象如：書上 P21例5 x-x 1 x(

11、2) y= f(x)和y= f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱。如 y=a與y=a = | a(3) y= f(x)和 y= -f(x)的圖象關(guān)于 x 軸對稱。如 y = log a x與 y = log a x = 10gl xan、平移變換： 由f(x)得到f(x ± a)左加右減；由f(x)得到f(x) ± a上加下減(3)作用：A、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)； B、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路；C、提高解題的速度；發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。4 .區(qū)間的概念(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；(2)無窮區(qū)間；(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.5 .映射定義：一般地，設(shè) A、B是兩個非

12、空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于集合 A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素 y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f: At B為從集合A到集合B的一個映射。記作“ f: At B”給定一個集合 A至IJB的映射，如果aC A,bCB.且元素a和元素b對應(yīng)，那么，我們把元素 b叫做元素a 的象，元素a叫做元素b的原象說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應(yīng)，集合 A、B及對應(yīng)法則f是確定的；對應(yīng)法則 有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合 A到集合B的對應(yīng)，它與從 B到A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的；對于映射f： A-B來說，則應(yīng)滿足：(I)集合A中的每一個元素，在集合 B中都有象，并且象

13、是唯一 的；(II)集合A中不同的元素，在集合 B中對應(yīng)的象可以是同一個；(出)不要求集合 B中的每一個元 素在集合A中都有原象。6、函數(shù)的表示法：常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點：1函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖 象的依據(jù)：作垂直于 x軸的直線與曲線最多有一個交點。2解析法：必須注明函數(shù)的定義域；3圖象法：描點法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；4列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征.注意：解析法：便于算出函數(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值 補(bǔ)充一：分段函數(shù)在定義域的不同

14、部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相 應(yīng)的表達(dá)式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應(yīng)寫成函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個左 大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況.注意： (1)分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認(rèn) 為是幾個函數(shù)；(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.補(bǔ)充二：復(fù)合函數(shù)如果 y=f(u),(u M),u=g(x),(x C A),則 y=fg(x)=F(x) , (x C A) 稱為 f 是 g 的復(fù)合函數(shù)。7.函數(shù)單調(diào)性(1).增函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任

15、意兩個自變量 x1，x2,當(dāng)x1<x2時，都有f(xi)<f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。區(qū)間D稱為y=f(x)的 單調(diào)增區(qū)間；如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值 Xi, X2,當(dāng)Xi<X2時，都有f(Xl) >f(X2),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是 減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū) 間.u=g(x)y=f(u)y=fg(x)增增增增減減減增減減減增2、必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量xi,(2)圖象的特點如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，X2；當(dāng) Xi<X2 時，總有 f(Xi)<f(X2)(或 f(Xl) &

16、gt;f(X2)。那么說函數(shù)y=f(X)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單注意：1、函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部 性質(zhì)；調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的(3) .函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A)定義法：1任取Xi, X26 D,且Xi<X2； 2作差f(Xi) f(X2); 3變形(通常是因式分解和配方)；4定號(即判斷差 f(xi) f(X2)的正負(fù))；5下結(jié)論(指出函數(shù) f(x)在給定白區(qū)間 D上的單調(diào)性).(B)圖象法(從圖象上看升降)(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：復(fù)合函數(shù)fg(x)的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù) u=g(x)

17、, y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律如下：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：口訣：同增異減注意：i、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.(4)判斷函數(shù)的單調(diào)性常用的結(jié)論函數(shù)y = f (x)與y = f (x)的單調(diào)性相反；iy =當(dāng)函數(shù)y =f(x)恒為正或恒有負(fù)時，f(x)與函數(shù)y = f(x)的單調(diào)性相反；函數(shù)y = f (x)與函數(shù)y = f (x) +c (C為常數(shù))的單調(diào)性相同；當(dāng)c > 0(C為常數(shù))時，y =f (x)與y =CUf (x)的單調(diào)性相同；當(dāng)c < 0(C為常數(shù))時，y =f(x)與y =cUf (x)的單調(diào)性相反；函數(shù)f

18、(x)、g(x)都是增(減)函數(shù)，則f (x)+g(x)仍是增(減)函數(shù)；若f(x) >0,g(x) >0且f (x)與g(x)都是增(減)函數(shù)，則 “xUx)也是增(減)函數(shù)；若f (X) <0，g(x) <0且f (X)與g(x)都是增(減)函數(shù)，則f (X)山(X)也是減(增)函數(shù)；設(shè)f(x)>0,若f(x)在定義域上是增函數(shù)，則n/f (x)、kUf (x)(k>0)、f n(x)(n*)都是增函數(shù)，i而f (X)是減函數(shù).8.函數(shù)的奇偶性(1)偶函數(shù)一般地，對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個 X,者B有f( -x)=f(x),那么f(x)就叫做

19、偶函數(shù). (2)奇函數(shù)一般地，對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個 X,者B有f(-x)= -f(x),那么f(x)就叫做奇函數(shù).注意：i、函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)； 函數(shù)可能沒有奇偶性，也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。2、由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個X,則x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量(即定義域關(guān)于原點對稱)(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.總結(jié)：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱；2確定f(

20、x)與f(x)的關(guān)系；3作出相應(yīng)結(jié)論：若 f( x) = f(x)或f( x) f(x) = 0 ,則f(x)是偶函數(shù)； 若 f( x) = f(x)或 f( x) + f(x) = 0 ,則 f(x)是奇函數(shù).注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，(1)再根據(jù)定義判定；(2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根據(jù)是否有f(-x) ±f(x)=0或f(x)/f(-x)= 土 1來判定；(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單

21、調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對稱.若 f(x)為偶函數(shù)，則 f(x) = f(x)= f(|x|).若奇函數(shù)f(x)定義域中含有0,則必有f(0)=0.定義在關(guān)于原點對稱區(qū)間上的任意一個函數(shù)，都可表示成“一個奇函數(shù)F(x)與一個偶函數(shù) G(x)的和(或差)”.如設(shè) f(x)是定義域為 R的任一函數(shù)，則 F(x)二 f(x)f (x) , G(x)= f (x) + f(-x) .22復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.既奇又偶函數(shù)有無窮多個(f (x) = 0 ,定義域是關(guān)于原點

22、對稱的任意一個數(shù)集)9、函數(shù)的解析表達(dá)式(1)函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時，一是要求出它們之間的對 應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.(2)求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消參法等，A、如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時，可用待定系數(shù)法；B、已知復(fù)合函數(shù)fg(x)的表達(dá)式時，可用換元法，這時要注意元的取值范圍；當(dāng)已知 表達(dá)式較簡單時，也可用湊配法；C、若已知抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)10.函數(shù)最大(小)值(定義見課本p30頁)(1)利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值；(2)利用圖象求函數(shù)的最大(小)值；(3)利用函

23、數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b,c上單調(diào)遞減則函數(shù) y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b, c上單調(diào)遞增則函數(shù) y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；第二章基本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)(一)指數(shù)與指數(shù)塞的運算1 .根式的概念：負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0,記作n/c =0。注意：(1) (n a)n = a(2)當(dāng)n是奇數(shù)時，好=a，當(dāng)n是偶數(shù)時，an=|aH!a，a-0a,a : 0an = VOm(a > 0,m, n w N ",且 n >1)

24、2 .分?jǐn)?shù)指數(shù)哥正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的意義，規(guī)定：1 (a > 0, m,n c N，且 n>1)anm 正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的意義：a-：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥等于 0, 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)哥沒有意義3 .實數(shù)指數(shù)哥的運算性質(zhì)(1) aras = ar s(a 0, r,s R)(2) (ar)s =ars(a 0,r,s R)(3) (ab)r =arbr(a 0,b 0,r R)1注意：在化簡過程中，偶數(shù)不能輕易約分；如(i _ J2)21 # i J2而應(yīng)=42-1(二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù) y=ax叫做指數(shù)函數(shù)，其中 x是自變量，函數(shù)的定義域為R.注意：指數(shù)

25、函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和 1.即a>0且awl2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)0<a<1a>1/4-?y4) V. / 2圖1X2-像i_ . _ iJ二 _ ' _ _ir 1H111.D*+1/11, :11 >X0 1X定義域R ,值域(0, +8)(1)過定點(0, 1),即 x=0 時，y=1(2)在R上是減函數(shù)(2)在R上是增函數(shù)性質(zhì)(3)當(dāng) x>0 時,0<y<1;(3)當(dāng) x>0 時,y>1;當(dāng) x<0 時,y>1當(dāng) x<0 時,0<y<1圖象特征函數(shù)性質(zhì)共性向x軸正負(fù)方

26、向無限延伸函數(shù)的定義域為 R函數(shù)圖象都在x軸上方函數(shù)的值域為R+圖象關(guān)于原點和y軸不對稱非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過定點(0, 1)過定點(0, 1)0<a<1自左向右看，圖象逐漸下降減函數(shù)在A象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1當(dāng) x>0 時,0<y<1;在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1當(dāng) x<0 時,y>1圖象上升趨勢是越來越緩函數(shù)值開始減小極快，到了某一值后減小速度較慢；a>1自左向右看，圖象逐漸上升增函數(shù)在A象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1當(dāng) x>0 時,y>1;在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1當(dāng) x<0 時,0<y<1圖象上升

27、趨勢是越來越陡函數(shù)值開始增長較慢， 到了某一值后增長速度極快；注意： 指數(shù)增長模型：y=N(1+p)x 指數(shù)型函數(shù)：y=kax3考點：(1) ab=N,當(dāng)b>0時，a,N在1的同側(cè)；當(dāng)b<0時，a,N在1的 異側(cè)。(2)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性由底數(shù)決定的，底數(shù)不明確的時候要進(jìn)行討論。掌握利用單調(diào)性比較哥的大小，同底找對應(yīng)的指數(shù)函數(shù)，底數(shù)不同指數(shù)也不同插進(jìn)1(=a0)進(jìn)行傳遞或者利用(1)的知識。(3)求指數(shù)型函數(shù)的定義域可將底數(shù)去掉只看指數(shù)的式子，值域求法用單調(diào)性。(4)分辨不同底的指數(shù)函數(shù)圖象利用a1=a,用x=1去截圖象得到對應(yīng)的底數(shù)。指數(shù)型函數(shù)：y=N(1+p) x 簡寫：y=ka

28、x二、對數(shù)函數(shù)(一)對數(shù)1.對數(shù)的概念：一般地，如果ax =N ,那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作：x = loga N(a- 底數(shù)，N- 真數(shù)，logaN 對數(shù)式)說明：1.注意底數(shù)的限制，a>0且aw1; 2.真數(shù)N>0 3.注意對數(shù)的書寫格式.2、兩個重要對數(shù)：(1)常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)，10gl0N記為lg N ;(2)自然對數(shù)：以無理數(shù) e為底的對數(shù)的對數(shù)，logeN記為ln N .3、對數(shù)式與指數(shù)式的互化xx =log a N a = N對數(shù)式 對數(shù)底數(shù)一 a 一哥底數(shù)對數(shù)一x 一指數(shù)真數(shù)-N 一哥lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0結(jié)論：(

29、1)負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)(2) logaa=1,log a1=0 特別地,(3)對數(shù)恒等式：alogaN =N(二)對數(shù)的運算性質(zhì)1、如果 a > 0 , a# 1 , M > 0 , log a ( M *N) =loga M +loga ， M . 一， 一 log a loga M - log a NNloga M n = nloga M (n R)有：兩個正數(shù)的積的對數(shù)等于這兩個正數(shù)的對數(shù)和兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于這兩個正數(shù)的對數(shù)差一個正數(shù)的n次方的對數(shù)等于這個正數(shù)的對數(shù)n倍1)2)3)4)簡易語言表達(dá)："積的數(shù)=對數(shù)的和有時可逆向運用公式真數(shù)的取值必須是(0, + 0

30、0 )特別注意：log a MN : log a M log a Nlog a M - N = log a M 二 log a N注意：換底公式 logab = logcb = -lg-b a 0,a =1,c 0,c E,b 0 logc a lga利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論 log a b =logb a logablogbC*logcd =logad log am bn = logab m(二)對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù) y=logax (a>0,且aw 1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中 x是自變量，函數(shù)的定義域是(0, +°0)注意：(1)對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是

31、形式定義，注意辨別。如：y=logajx二1, y = log ax+2都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù).(2)對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：a>0,且aw12、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)：對數(shù)函數(shù) y=logax(a>0,且aw 1)0 v a v 1a > 1圖 像y ,1JJ_.y Jb1107s,01-_ x. 1 0/ （1,0）x性 質(zhì)定義域：（0, +8）值域：R過點（1 ,0）,即當(dāng)x = 1時,y= 0在（0,+ 8）上是減函數(shù)在（0,+ 8）上是增函數(shù)當(dāng) x>1 時，y<0當(dāng) x=1 時，y=0當(dāng) 0Vx<1 時，y>0當(dāng) x>1 時

32、，y>0當(dāng) x=1 時，y=0當(dāng) 0vx<1 時，y<0log b>0;重要結(jié)論：在log b中，當(dāng)a ,b同在（0,1）或（1,+8）內(nèi)時，有 a當(dāng)a,b不同在（0,1）內(nèi)，或不同在（1,+8）內(nèi)時,有l(wèi)og b<0. a口訣：底真同大于 0 （底真不同小于 0）.（其中，底指底數(shù)，真指真數(shù)，大于 0指log b的值） a3、如圖，底數(shù) a對函數(shù)y =logaX的影響。規(guī)律：底大枝頭低，頭低尾巴翹。4考點：I、logab,當(dāng) a,b 在 1 的同側(cè)時,logab >0;當(dāng) a,b 在 1 En、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性由底數(shù)決定的，底數(shù)不明確的時候要進(jìn)行討論。掌握

33、利用單調(diào)性比較對數(shù)的大小，同底找對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)，底數(shù)不同真數(shù)也不同利用（1）的知識不能解決的插進(jìn)1（=logaa）進(jìn)行傳遞。出、求指數(shù)型函數(shù)的定義域要求真數(shù)>0,值域求法用單調(diào)性。IV、分辨不同底的對數(shù)函數(shù)圖象利用1=logaa ,用y=1去截圖象得到對應(yīng)的底數(shù)。V、y=ax（a>0且a w 1）與y=logax（a>0且a w 1）互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對稱。5比較兩個哥的形式的數(shù)大小的方法(1) 對于底數(shù)相同指數(shù)不同的兩個哥的大小比較(2) 對于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個哥的大小比較(3) 對于底數(shù)不同也指數(shù)不同的兩個哥的大小比較6比較大小的方法利用函數(shù)單調(diào)性(同底數(shù))；

34、(2)(三)哥函數(shù)利用中間值(如，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷.，可以利用比商法來判斷.，則應(yīng)通過中間值來判斷.常用1和0.:0,1.); (3) 變形后比較；(4)作差比較1、哥函數(shù)定義：一般地，形如 y =xa的函數(shù)稱為哥函數(shù)，其中 x是自變量，a為常數(shù).2、哥函數(shù)性質(zhì)歸納.(1)所有的哥函數(shù)在(0, +8)都有定義，并且圖象都過點(1,1);(2) a >0時，哥函數(shù)的圖象通過原點， 并且在0,+ 8)上是增函數(shù).特 別地，當(dāng)a >1時，哥函數(shù)的圖象下凸；當(dāng) 0<a<1時，哥函數(shù)的圖象 上凸；(3) a <0時，哥函數(shù)的圖象在(0, +°°)上是減函數(shù).在第一象限 內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近 y軸正半軸， 當(dāng)x趨于+8時，圖象在x軸上方無限地逼近 x軸正半軸.第三章函數(shù)的應(yīng)用、方程的根與函數(shù)的零點1、函數(shù)零點 的概念：對于函數(shù)y=f(x)，使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)的零點。(實質(zhì)上是函數(shù) y=f(x)與x軸交 點的橫坐標(biāo))2、函數(shù)零點的意義：方