1、 二次函數與一元二次方程二次函數與一元二次方程 01-2-2-4xyoo2問題問題：1.求一次函數求一次函數y=2x-4與與x軸的交點坐標軸的交點坐標是是( ， )2.說一說你是怎樣得到的？說一說你是怎樣得到的？那么，那么，二次函數二次函數和和一元二次方程一元二次方程又有什么關又有什么關系呢？系呢？溫故引新一次函數一次函數y=kx+b(k0)與與x軸的交點的橫坐軸的交點的橫坐標就是一元一次方程標就是一元一次方程kx+b=0(k0)的解的解 w(1).每個圖象與每個圖象與x軸有幾個交點？軸有幾個交點？w(2).一元二次方程一元二次方程x x2 2+2x=0,x+2x=0,x2 2-2x+1=0-

2、2x+1=0有幾個根有幾個根? ?驗證一下一元二次方程驗證一下一元二次方程x x2 2-2x+2=0-2x+2=0有根嗎有根嗎? ?w(3).(3).二次函數二次函數y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖象和的圖象和x x軸交點的坐軸交點的坐標標與一元二次方程與一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根有什么關系的根有什么關系? ?二次函數與一元二次方程 w二次函數二次函數y=xy=x2 2+2x,y=x+2x,y=x2 2-2x+1,y=x-2x+1,y=x2 2-2x+2-2x+2的圖象如圖所示的圖象如圖所示. .y=xy=x2 2+2x+2xy=xy=x2 2-2

3、x+1-2x+1y=xy=x2 2-2x+2-2x+2w二次函數二次函數y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖象和的圖象和x x軸交點有三種情況軸交點有三種情況: :w 有兩個交點有兩個交點, ,w 有一個交點有一個交點, ,w 沒有交點沒有交點. .w 當二次函數當二次函數y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖象和的圖象和x x軸有交點時軸有交點時, , 交點的橫坐標就是當交點的橫坐標就是當y=0y=0時自變量時自變量x x的值的值, ,即一即一 元二次方程元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根. .w(3).(3).二次函數二次函數y=axy=ax2

4、2+bx+c+bx+c的圖象和的圖象和x x軸交點的坐標與一元二次軸交點的坐標與一元二次方程方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根有什么關系的根有什么關系? ?一、探究一、探究探究探究1、求二次函數圖象、求二次函數圖象y=x2-3x+2與與x軸軸的交點的交點A、B的坐標。的坐標。解：解：A、B在在X軸上，軸上， 它們的縱坐標為它們的縱坐標為0， 令令y=0，則，則x2-3x+2=0 解得：解得：x1=1，x2=2； A（1，0） ， B（2，0）你發現方程你發現方程 的解的解x1、x2與與A、B的的坐標有什么聯系？坐標有什么聯系？x2-3x+2=0點燃智慧的火花點燃智慧的火花結論結

5、論1：方程：方程x2-3x+2=0的解就是拋物線的解就是拋物線y=x2-3x+2與與x軸的兩個交點的橫坐標。軸的兩個交點的橫坐標。因此，拋物線與一元二次方程是有密切因此，拋物線與一元二次方程是有密切聯系的。聯系的。即：若一元二次方程即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根是的兩個根是x1、x2， 則拋物線則拋物線y=ax2+bx+c與軸的兩個交與軸的兩個交點坐標分別是點坐標分別是A（ ），）， B（ ）x1，0 x2，0 xOABx1x2y開啟 智慧二次函數二次函數y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的的圖象和圖象和x x軸交點軸交點一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c

6、=0+bx+c=0的根的根一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0根的判別式根的判別式=b=b2 2-4ac-4ac有兩個交點有兩個交點有兩個相異的實數根有兩個相異的實數根b b2 2-4ac 0-4ac 0有一個交點有一個交點有兩個相等的實數根有兩個相等的實數根b b2 2-4ac = 0-4ac = 0沒有交點沒有交點沒有實數根沒有實數根b b2 2-4ac 0-4ac 0開啟 智慧探究探究2、拋物線與、拋物線與X 軸的交點個數能不能用一元軸的交點個數能不能用一元二次方程的知識來說明呢？二次方程的知識來說明呢？0=00OXY結論結論2：拋物線拋物線y=ax2+bx

7、+c拋物線拋物線y=ax2+bx+c與與x軸的交點個數可由軸的交點個數可由一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況說明：的根的情況說明： 1、0 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不等的實數根有兩個不等的實數根與與x軸有兩個交點軸有兩個交點相交相交。拋物線拋物線y=ax2+bx+c 2、=0 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數根有兩個相等的實數根與與x軸有唯一公共點軸有唯一公共點相切（頂點）。相切（頂點）。拋物線拋物線y=ax2+bx+c 3、0 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0沒有實數根沒有實數根與與x軸沒有公共點軸沒有公共

8、點相離相離。探究探究3、若一元二次方程、若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根的兩個根是是x1、x2，則由韋達定理得：，則由韋達定理得：x1+x2=- x1x2=abac若拋物線若拋物線y=ax2+bx+c與與X軸的兩個交點坐軸的兩個交點坐標分別是標分別是A（ x1，0 ），）， B（x2，0 ），），則是否有同樣的結論呢？則是否有同樣的結論呢？結論結論3、若拋物線若拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c與軸的兩個交點與軸的兩個交點坐標分別是坐標分別是A A（ x x1 1，0 0 ），）， B B（x x2 2，0 0 ），），則則x x1 1+x+x2 2=-=- ，x x1

9、 1x x2 2= =abac二、基礎訓練二、基礎訓練1、已知拋物線、已知拋物線y=x2-6x+a的頂點在的頂點在x軸上，則軸上，則a= ；若拋物線與；若拋物線與x軸有兩個交點，則軸有兩個交點，則a的范圍是的范圍是 ；3、已知拋物線、已知拋物線y=x2+px+q與與x軸的兩個交點為軸的兩個交點為（-2，0），（），（3，0），則），則p= ，q= 。2、已知拋物線、已知拋物線y=x2-3x+a+1與與x軸最多只有一軸最多只有一個交點，則個交點，則a的范圍是的范圍是 。獨立獨立作業作業評評:若拋物線若拋物線y=ax2+bx+c與與X軸的兩個交點坐軸的兩個交點坐標分別是標分別是A（ x1，0 ），

10、）， B（x2，0 ），利用），利用根與系數的關系，求證：根與系數的關系，求證：A、B兩點間的距離兩點間的距離 AB=| a4、判斷下列各拋物線是否與、判斷下列各拋物線是否與x軸相交，如果軸相交，如果相交，求出交點的坐標。相交，求出交點的坐標。（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8（3）y=x2-4x+45. 已知拋物線已知拋物線 ,求拋物線與求拋物線與y軸的軸的交點坐標交點坐標;求拋物線與求拋物線與x軸的兩個交點間的距離軸的兩個交點間的距離.8122xy6 6、拋物線、拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）的圖象全部在）的圖象全部在X X軸下方的條

11、件是（軸下方的條件是（ ）（A A）a a0 b0 b2 2-4ac0-4ac0（B B）a a0 b0 b2 2-4ac-4ac0 0（C C）a a0 b0 b2 2-4ac-4ac0 (D0 (D）a a0 b2-4ac0 b2-4ac0 0D7已知二次函數已知二次函數-ax2，下列說法，下列說法不正確不正確的是（）的是（）當當,時時,總取負值總取負值當當,時時,隨的增大而減小隨的增大而減小當時，函數圖象有最低點，即當時，函數圖象有最低點，即有最小值有最小值當，當， -ax2的對稱軸是軸的對稱軸是軸D三、例題精講三、例題精講1、已知拋物線、已知拋物線y=x2+2x+m+1。（1）若拋物線

12、與）若拋物線與x軸只有一個交點，求軸只有一個交點，求m的值。的值。（2）若拋物線與直線）若拋物線與直線y=x+2m只有一個交點，只有一個交點， 求求m的值。的值。提示提示：（：（1）44（m1）0注：本題也可問當此拋物線頂點在注：本題也可問當此拋物線頂點在x軸上軸上時，求時，求m的值。的值。（2）即方程）即方程x2+2x+m+1=x+2m的根的根只有一個。只有一個。2、已知拋物線、已知拋物線y=-x2+2（m+1）x+m+3與與x軸有兩個交點軸有兩個交點A、B，其中，其中A在在x軸的正半軸，軸的正半軸，B在在x軸的負半軸，軸的負半軸，1）若）若OA=3OB，求，求m的值。的值。2）若）若3（O

13、A-OB）=2OAOB，求，求m的值。的值。例題精講例題精講學以致用學以致用右圖是泰州某河上一座古拱橋的右圖是泰州某河上一座古拱橋的截面圖，拱橋橋洞上沿是拋物線形狀，拋截面圖，拱橋橋洞上沿是拋物線形狀，拋物線兩端點與水面的距離都是物線兩端點與水面的距離都是1m1m，拱橋的，拱橋的跨度為跨度為10m10m，橋洞與水面的最大距離是，橋洞與水面的最大距離是5m5m，橋洞兩側壁上各有一盞距離水面橋洞兩側壁上各有一盞距離水面4m4m的景觀的景觀燈若把拱橋的截面圖放在平面直角坐標燈若把拱橋的截面圖放在平面直角坐標系中（如下圖）系中（如下圖）1 1、求拋物線、求拋物線 的解析式的解析式2 2、求兩盞景觀燈之

14、、求兩盞景觀燈之間的水平距離間的水平距離5110?5m1m10m?ABCD4注意知識的聯系哦注意知識的聯系哦學以致用學以致用已知二次函數已知二次函數y=x2-kx-2+k. (1)求證求證:不論不論k取何值時，這個二次函數取何值時，這個二次函數 y=x2-kx-2+k與與x軸有兩個不同的交點。軸有兩個不同的交點。 (2)k為何值時為何值時,二次函數二次函數y=x2-kx-2+k與與軸兩個交點軸兩個交點A、B之間的距離最??？之間的距離最?。浚?）設此拋物線與）設此拋物線與y軸的交點為軸的交點為C，當，當k為為6時時,求求SABC .四、小結四、小結1、若一元二次方程、若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根是的兩個根是x1、x2， 則拋物線則拋物線y=ax2+bx+c與與x軸的兩個交點坐軸的兩個交點坐標分別是標分別是A（x1，0 ），）， B（ x2，0 ）2、若一元二次方程、若一元二次方程ax2+bx+c=0與二次三項式與二次三項式ax2+bx+c及二次函數及二次函數y=ax2+