1、1 課題：直線與圓錐曲線的位置關系一一定值問題 （兩課時） 授課教師：榮剛 教學內容與考試要求分析： 解析兒何是高中數學的重要內容，其中直線與圓錐曲線的位置關系的內容編排在 數學選修 21 第二章圓錐曲線與方程，是高考考查的重點。這部分內容要求學生能熟 練地利用方程研究位置關系，涉及一元二次方程的判別式、根與系數的關系、中點坐 標公式、斜率公式、點到直線的距離公式、兩點間的距離公式等基本知識的靈活和綜 合運用，更要求學生用運動變化的觀點分析問題，用函數方程的思想、數形結合的思 想和特殊與一般的思想等思想方法解決問題。解答這類問題要求學生在運算的方法與 策略及運算的流程上深入分析并合理選擇的設計

2、，對運算求解能力有較高要求。 2017 年普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明（理科）中明確指出：運動 與變化是研究兒何問題的基本觀點，利用代數方法研究研究兒何問題是基本方法。試 題強調綜合性，綜合考查數形結合的思想，函數與方程的思想，特殊與一般的思想等 思想方法，突出考查學生的推理認證能力與運算求解能力。 直線與圓錐曲線的位置關系中的定值問題是解析兒何高考試題中最常見的命題設 問方式之一，問題的深層背景常為圓錐曲線（或圖形）的兒何性質，分析探究圖形的 兒何性質與兒何元素間的位置關系及其等價形式，并合理運用代數方法進行表征是轉 化的基礎，也是簡化運算的前提。解析兒何中的定值問題在 2012

3、年至 2016年的高考 試題中頻繁出現，其中與圓錐曲線的對稱性相關的一個定值問題連續 5 年作為高考解 析兒何試題的解答題。 學情分析： tr前學生已完成解析兒何全部知識的學習，通過第一輪復習學生對該部分的知識 體系已有一個相對完整的認識，已具備分析解決解兒綜合問題的基本知識與技能，但 在問題解決方面大多還停留在模仿階段。同時，山于直線與圓錐曲線試題涉及的知識 面寬，綜合性強，對運算求解能力要求較高，大多數學生的熟練程度不夠，心存畏懼, 而且對解題策略分析與解題過程表達方面也存在較大問題，這都需要在教師的引導下 通過專題復習探究，實現突破。 教學目標： 本節課擬選用高考試題為例題，引導學主分析

4、試題立意，探尋解題思路與策略， 規范書寫解答過程，反思總結解題規律，完善拓展知識體系，實現推理認證能力與運 算求解能力的提升。 教學重點與難點： 重點：定值問題的解題策略分析與運算求解能力培養2 難點：兒何位置關系代數化的合理性與運算的簡潔性 教學媒體： 多媒體，兒何畫板 教學設計 敎學 環節 問團 設計意圖 教狐活動 學生活動 標引習顧 目導復回 解析幾何的綜合問題是最具 有挑戰性的問題，常見的問題主 要有哪些類型？涉及的基本知識 與思想方法有哪些？經歷的基本 解題流程有哪些相似點？ 宣線與圓錐曲線的位置關系 中定值問趣是高考常見的命題設 問方式之，高考命題如何立意 來考查知識、思想與能力的

5、呢？ 1、 讓學生回顧直線 與圓錐曲線的位置關系 綜合問題的問題類型，梳 理求解所用的知識與技 能，回顧解題的過程與方 法,為本節課的學習探究 進行知識準備。 2、 指出學習目標, 讓學生產生進步學習 的需求，激發學生的探究 欲望。 檢査 學 生 課前知識回顧 整理情況， 并 作適當的補 充。 學生交流 分學 （或展示） 知識梳理結 果，完善知識 體系。 明確探究 主題。 例 1 已知拋物線 c： y =手與直 線（a a 0）交卩 M, N N兩 點，試問：y軸上是否存在點P, 使得當R變動時，總有 QPM.ZOPN QPM.ZOPN ? ?說明理由. 以具體問題為載體， 學生通過尋求解決問

6、題 的思路與策略的過程，體 會幾何問題代數化是解 析幾何的基本方法，而幾 何問題靛解析化”的途 徑必須進行認真的研究 探索和選擇。 組織 學 生 探究解題思 路，巡視指導 學生探究。及 時發現問題與 不足，作必要 的點睛式講解 或提示補充， 給出解題示范. 學生自主 探究形成自己 的想法，小組 內交流討論， 對共同的問題 或疑難開展合 作探究。 變式探究一： 問題 1：立足本題的題恿， 你能捉 出哪些不同的設問情景？具體地 說，請在橫線上填入適當的條件： y軸上是否存在點 P，使得當 R 變 動時，總有 ？ 讓學生進 i 步體會 深入研究探索幾何問題 “解析化”的途徑必要 性及合理選擇的選擇重

7、 要性，讓學生學會理性思 考，懂得分析尋求條件 （或結論）的等價形式。 引導 回 顧 角平分線的性 質， 提出不同 的農現形式。 學生梳理 角平分線的不 同的農現形 式，完形填空， 體會同條件 的不同形式對 求解的影響= 豔 問題 2：回顧本題的解題過程， 從 整體上回看結論與條件，你有什 么發現？據此，你能編擬出新題 目并解決嗎？ 讓學生養成反思總 結的習慣,在反思總結中 既形成對問題本質和解 題規綁的深刻認識，又拓 展知識體系，提升能力。 引導 學 生 分析直線過的 定點、P 點坐標 及兩角相等三 者的內在聯系 總結提煉 規律，發現并 獲得拋物線的 條幾何性 質展示結果。 例2 如圖， 橢

8、圓E: 2 過點 P （0, 1） 的動直線 交于人 y 兩點在平 鄉 面直角坐 標系xOy xOy C C r r 2 y y2 2 亍+亍1 /與橢圓相 以具體問題為載體， 讓學生通過類比例 1,深 刻體會幾何問題代數化 是解析幾何的基本方法， 引導 學 生 類比例 1 的問 題情景發現解 題思路并解決 問題。 學 生 對 比 分析例 1 與例 2 的條件與設問 方式，探究發 現其中的異 同，探究獲得 解決問題的思 中，是否存（札N 在與點 P 殲丿X X 深刻體會求解定值問題 的基本思想與方法，總結 感悟解題的基本規綁。 及時發現 存在的問題與 路與方法， 獨 立完成問題的 解決。 交流

9、展示 分享解題思路 與求解過程。 不同的定 腦使得鶴鬧 若存在， 求出點 0 的 存在，請說明理由. 営恒成立？ 墜標：若不 不足， 作必要 的點睛式講解 或提示補充。 3 聚焦 問題 展開 探丸 變式探丸二 問題 3：類丄變式探究， 你能對 本題給出哪些變式？能獨立解決 嗎？ 問題 4：將本題中點P P的坐標改為 （0.?）（01?10）交于 M, N 兩點，試問：y 軸上是否存在點 P P，使得當 R 變動時，總有 ZOPM = ZOPN?說明理由.（2015 年全國乙卷第 20 題第 2 問） 分析：本題的關鍵是把證明 y 軸是角平分線的問題轉化為解析兒何中坐標計算的問題，這其中 由形到

10、數和由數到形的轉換充分體現了數形結合的數學思想.有多種依據能實現 y 軸是角 Z/VPM 的平分線的代數化，如：由角半分線上的點到兩邊等距得原點到直線 PM和 PN 的距離 相等， 三角形的內角平分的性質定理得簫=帑 （其中點Q Q的坐標為 （0.“） ） ，或者導出直線 PM 與 PN 的傾斜角互補。不用的選擇決定了解題過程中的運算量大小，認真分析比較發現選 擇傾斜角互補借助斜率和為 0 是最佳途徑。在此選擇的基礎上，對定點存在性的推斷可以用特 殊到一般的思想解決，即先取特殊直線確定點 P 的坐標，再證該點坐標滿足斜率和為 0：也可 先假定其存在性，利用直線和 PN的斜率和恒為 0 構建 P

11、 的縱坐標 b 與 R 適合的等式，由 等式對任意恒成立獲得 P 的縱坐標九解題過程的一個關鍵點是用點 P、M、N 的坐標去表 示 PM. PV 的斜率，進而簡化為匕等式，求解時需充分借助根與系數的關系整體代入簡化 計算。 解答：假設 y 軸上存在點 P（0. b b）符合題意。則由得：kpM+kpN=0kpM+kpN=04 設 M(X bi +), MCvx kx=kx= +a) , J 是有: kpy =kpy = k kPNPN = = - - x x x x2 2 代入 k kPMPM + kpN+ kpN = 0 化簡得：2kx2kx x x2 2 + (a+ (a 一 h)(xh)

12、(x +x2)=0 v = /a* + n. 由丿A.2 消去 y 整理得：H-4Jtv-4/ = 0 If V a0a0 142 + 16t/0 由根與系數的關系，得：A| + x x2 2 = = 4k,4k,屮 2=亠 代入得：-胎+4 畑-4=0,化簡得：&(+4=0 由題意，當&變動時，總有 ZOPM = ZOPN 等式對任意實數 R 恒成立 b = b = a a 故 y 軸上存在點 P(0, -u),當 R 變動時，總有 ZOPM=ZOPN 成立. 變式探究 1 問題 1:立足本題的題意，你能提出哪些不同的設問情景？具體地說，請在橫線上填入適當的 條件：y 軸上是

13、否存在點 P，使得當 R 變動時，總有 _ ? 答案：原點到直線 PM 和 PV 的距離相等：鵜=熱 其中點 Q 的坐標為(0,);PM、 PN 關于 y 軸對稱;kpM+kpN=gkpM+kpN=g點 N 關于 y 軸的對稱點在 直線 PM 上； 等等。 問題 2：回顧本題的解題過程，從整體上回看結論與條件，你有 什么發現？據此，你能編擬出新題目并解決嗎？ 答案：如圖所示，P P，Q 關于頂點 O 對稱；直線/?關于 y 軸的對稱；M, N, N, Q Q三點共線：P, N, RN, R三點共線。以 四個中任意兩個為條件，余下兩個來結論的便是均為真命題。 變式 1：已知拋物線 c： A-2=

14、4y 與定點 Af (0, a a N(0, -a) (a (a 0), 經過點 M 的動直線與拋物線相交于P, QP, Q兩點。試證明： 乙 ONP=4NQ ONP=4NQ X X2 2 =4y 與直線 y = kxay = kxa (u*0)交 J AZ, N 兩點, 為0 0試問：當 R 變動時，直線 M0 是否過定點，說明理由. 例 2 如圖，橢圓 E:普+笞=1,過點叫)的動直線/與 橢圓相交于 A 3 兩點.在平面直角坐標系 xOy 中，是否存 在與點 P 不同的定點 Q,使得溜=疇恒成立？若存在, I QBQB I IPBPBI 求出點 0 的坐標；若不存在，請說明理由.(201

15、5 年四川卷) 分析：類比例 1 的分析與解答，本題的關鍵是利用三角形內 角平分的性質定理將條件溜=疇等價轉化為 y 軸平分 I QBQB I IPBPBI ZAQB.ZAQB.進而轉化為如+血二 0。之后假定點 00, b)存在， 構建Q Q的縱坐標b b與直線/的斜率k k適合的等式，由等式對 任意k k恒成立獲得Q Q的縱坐標b b。 解答：由橢圓的對稱性可知，若定點 Q 存在，則點 Q 必在丿軸上，設點00. b)b) kpM kpM + + kpN kpN = = 設 A(.V|, kxkx + 1), B(X2,B(X2,總 2 +1)，是有：= -變式 2：己知拋物線 C： 則由

16、般=牆得: ZAQO=ZBQOZAQO=ZBQO g + 1-b A1 點 N 關丁-軸的對稱點 v 代入+ + kQBkQB = 0 化簡得：弘丫內+（1 - ）（為+ x2） = 0 5 y =上丫 +1, 由2 v2 消去 y 整理得：（1 +毋）“ +4 戀-2 = 0 .T+T = 1- 于是有：16 啟+&1 +次 2） = 32 后+80 由根與系數的關系，得：X +勺=, . xp-,= 代入得：于 +芋獸=0,=0,化簡得：R（2） = o l + 2/r 1 + 2/ 由題意，任意對keR,keR, &（2-）=0 恒成立 b = 2 b = 2 故 y 軸

17、上存在點 0（0.2）,使得溜=疇恒成立. IQD I I I nI n I 變式探憲二： 問題 3：類比變式探究一，你能對本題給出哪些變式？能獨立解決嗎？ 變式 3：己知 Q 工+ = 1，過點 P（0, 1）的動直線/與橢圓相交于 A B B兩點.A 關于 y 軸的對 4 2 稱點為，試問：直線 BD 是否過定點？若 3）過定點，求出定點的坐標：否則，請說明理由. 變式 4：己知 E：工+=1，過點 00,2）的動直線/與橢圓相交于 A 3 兩點.A 關于 y 軸的對 4 2 稱點為試問：直線 BD 是否過定點？若BDBD過定點,求出定點的坐標：否則，請說明理由. 問題 4：將本題中點P

18、的坐標改為（O./H） （0I,KIV2）,滿足條件的點 Q 存在嗎？這一結論能推 廣到一般嗎？ 變式 5：已知橢圓E:手+斗=1，過點 P（0. m m） （01 m ml00）和點P P（m.m. 0） （1 加 10,且 ImlHd）,過點P P的動直線/ lrlr 與橢圓相交于 A B B兩點,A 關于犬軸的對稱點為,貝 IJ：直線 BD 經過兀軸上一定點 Q,且 mxmxQ Q = = a a2 2 ;若 00）對稱軸上異于 頂點的一個定點，過點 P 的直線與拋物線 E 相交于 A3 兩點，點 A 關于 X 軸的對稱點為 D 則: I I.纟戈BDBD經過-定點 0 llxp+XQ = O： 當點 P 在 x 軸正半軸時，有 作業： 1. 已知點 F 為拋物線 E:y2 = 2px （p0）的焦點，點 A（2, m m）在拋物線 E 上, ILIAFU3 （1） 求拋物線 E 的方程； （2） 已知點 G（-l, 0）,延長 AF 交拋物線 E 于點 B ,證明：以點尸為圓 心且與直線 GA 相切的圓，必與直線 GB 相切.（2015 年福建文科） 2. 已知橢Ml C C :牙+丿 2 = 1,點尸（0, 1）和點 A（i,）（加#0）