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一道不等式競賽題的多種解法唐 作 明（永州市教育科學研究院）不等式對于一切正數恒成立則實數的最小值為（第17屆“希望杯”全國數學邀請賽）一、幾種解法1分離參數法解：原不等式可化為：令，則有而，當且僅當時，取等號則，故所以，的最小值為22三角換元法解：令，則可設，其中原不等式可化為：，即令，（其中）顯然，所以的最小值為23基本不等式法解：原不等式可化為：因為，不等式可化為，即有令，則有顯然，只有當時，所以，解得，故的最小值為24構造函數法解：原不等式可化為：，不等式可化為令，當時，要使恒成立若，顯然不合題意；若，則或（無解）當時，解得故的最小值為2二、推廣及證明推廣：不等式對于一切正數恒成立則實數證法一：令，則可設，其中原不等式可化為：，即令（等號顯然可以成立）所以，證法二：原不等式可化為令，則，當，且時，即時，所以，三、兩道變式題的解法設，滿足，求（浙江省高中數學夏令營）解：由于，所以，同理可得故于是，即2已知，若恒成立，則的取值范圍是解法一：構造，使則原不等式可化為即而（當且僅當時，取等號）故解法二：令，則有而（當且僅當時，即取等號）注：本文發表在數學競賽之窗。4

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