1、利用牛頓迭代法求解非線性代數方程組問題描述在實際應用的很多領域中，都涉及到非線性方程組的求解問 題。由于方程的非線性，給我們解題帶來一定困難。牛頓迭代法 是求解非線性方程組的有效方法。下面具體對牛頓迭代法的算法 進行討論，并通過實例理解牛頓迭代法。算法基本思想牛頓迭代法求解非線性代數方程組的主要思想是將非線性函數線性化。下面我們具體討論線性化過程:令：f2（X）X20F(x) =a,X =9,0 =-_fn（X）X1I_0一f1 xx-!0(3-1)(3-2)(3-3)則非線性方程組(3-2)fl X-,X2， ,Xn = 0f2 X-,X2 ,Xn = 0afn X-,X2， ,Xn = 0

2、可寫為向量形式F x - 0F X = 0成為向量函數。設x-k ,X2k，Xnk是方程組（3-2 ）的一組近似解，把它的左端在Xik ,X2k，Xnk處用多元函數的泰勒展式展開，然后取線性部分，便得方程組（3-2）得近似方程組n Ff(X(k)X(k)X(k)fl,X2k ,XnkrflX1 ,X2 ，Xnk 二 0yXj彳彳才用廠用'A =i =1(3-4)fnX!k,X2kr 兄 r 弋八才=j=1(3-5)這是關于.-：Xik二Xi -Xik i =1,2,，n的線性方程組，如果它的系數矩陣拼1所1.cX1cX2cf2所2.Cf2釵1a釵23右Xna|祈n缶.釵2Xn 一非奇異

3、，則可解得11 11 1111 1 n 2 n n n-r 2 n矩陣（3-5）稱為向量函數 F x的Jacobi矩陣，記作F x。又記AXjd= x$)-AXj(Ui = 1,2,n(3-7)則式(3-6)可寫為X k F' X k _1 F X k(3-8)或xk1 =xk -F'xk，F Xk(3-9)稱式(3-9 )為求解非線性方程組(3-2)的牛頓迭代法，而線性方程 組(3-4 )稱為牛頓方程組。三、算法描述(1) 在真實根x附近選取一個近似根Xi ；(2) 通過X1求出f(X1)。(3) 過f(xj作f(x)的切線，交x軸于X2。假設X1，X2很接近，可以用公式求出

4、X2。由于f'(Xj =f(X1)片x2故X2X1f(X1)f '(X1)(4) 通過X2求出f(X2)；(5) 再過f(X2)作f(x)的切線交x軸于X3;(6) 再通過X3求出f(X3),一直求下去，直到接近真正的根。當兩 次求出的根之差|Xn+1-Xn| W就認為Xn+1足夠接近于真實根。 牛頓迭代公式是：XnXnf (Xn)f (Xn)程序流程圖：運行NT程序-求非線性方程組的雅克比矩陣 -代入牛頓迭代公四、舉例 例：是用牛頓迭代法求解下列方程組:(4-1)，2x； x； 一1 =03x x； x； 4 = 0初始值為(x10),x20) =(161.5)運行Newton程序得：=1.2366x13) =1.2343Q=1.2343< < </22) =1.6593x；3) =1.6615卅)=1.6615所以取迭代次數為3,且可?。?.2343，.6615）為非線性方程組（4-1） 的近似解五、心得體會:通過學習，我們認識到牛頓迭代法是求解非線性代數方程組的一種簡單而有效的方法。我們通過將非線性代數方程組的系數矩陣求導 來使方程組線性化，從而求得方程組的近似解。牛頓迭代法的優點是 收斂速度快，但每次都要求導，求逆，計算量大。在這段學習的過程中，感謝王老師給予我們耐心而清晰