1、目 錄 contents考情精解讀考點1考點2a.知識全通關(guān)b.題型全突破c.能力大提升考法1考法2考法4考法3方法考點3考點4考點5考情精解讀考綱解讀命題趨勢命題規(guī)律考情精解讀1 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用考試大綱1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式,會進行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角,會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題.考綱解讀命題規(guī)律考情精解讀2命題趨勢考點2016全

2、國2015全國2014全國自主命題區(qū)域數(shù)量積的定義及長度、角度問題【40%】全國,3,5分 全國,15,5分全國,3,5分2016江蘇,13,5分2016山東,8,5分2015山東,4,5分2015江蘇,14,5分2015四川,7,5分2015天津,14,5分2014四川,7,5分2014山東,12,5分2014江蘇,12,5分平面向量的綜合應(yīng)用【40%】 2016浙江,15,5分2014天津,8,5分 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用考綱解讀命題規(guī)律考情精解讀3返回目錄1.熱點預(yù)測預(yù)計高考對本講內(nèi)容的考查以向量的模、夾角及數(shù)量積為主;以向量數(shù)量積的運算為載體,綜合三角函數(shù)、解

3、析幾何等知識進行考查,是一種新的趨勢,復(fù)習(xí)時應(yīng)予以關(guān)注.以客觀題為主,有時出現(xiàn)在解答題中.分值512分.2.趨勢分析以圖形、三角函數(shù)、解析幾何等知識為載體,考查數(shù)量積的定義和應(yīng)用,這是2018年高考命題的主要趨勢.命題趨勢 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用知識全通關(guān)知識全通關(guān)1考點一平面向量的數(shù)量積繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用知識全通關(guān)2繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用知識全通關(guān)3繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用3.平面向量數(shù)量積的幾何意義(1)一個向量在另一個向量方向上的投影設(shè)是a,b的夾角,則

4、|b|cos 叫作向量b在向量a的方向上的投影,|a|cos 叫作向量a在向量b的方向上的投影.(2)ab的幾何意義數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積.注意 投影和兩向量的數(shù)量積都是數(shù)量,不是向量.知識全通關(guān)4【規(guī)律總結(jié)】設(shè)兩個非零向量a與b的夾角為,則=0cos =1,ab=|a|b|;=180cos =-1,ab=-|a|b|;為銳角ab0且向量a,b不共線;為鈍角ab0時,cos 0,則是銳角或=0(此時cos =1).2.當(dāng)ab0時,cos 0,則是鈍角或=180(此時cos =-1).繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用繼續(xù)學(xué)

5、習(xí)考點四 平面向量應(yīng)用舉例 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用1.向量在平面幾何中的應(yīng)用基于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景,平面幾何圖形的許多性質(zhì),如全等、相似、平行、垂直等都可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示出來.2.平面向量在物理中的應(yīng)用(1)由于物理中的力、速度、位移都是向量,所以它們的分解與合成可以用向量的加法或減法來解決.(2)物理中的功w是一個標(biāo)量,它是力f與位移s的數(shù)量積,即w=fs=|f|s|cos .知識全通關(guān)10題型全突破考法1平面向量的數(shù)量積運算繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破1考法指導(dǎo)1.利用坐標(biāo)計算數(shù)量積第一步,欲計算兩個向量的數(shù)量積,先根據(jù)共線、垂直等條

6、件計算出這兩個向量的坐標(biāo),求解過程要注意方程思想的應(yīng)用;第二步,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式進行運算即可. 2.根據(jù)定義計算數(shù)量積求向量a,b的數(shù)量積ab,有以下兩種思路:(1)若兩向量共起點,則兩向量的夾角直接可得,根據(jù)定義即可求得數(shù)量積;若兩向量的起點不同,需要通過平移使它們的起點重合,然后再計算.(2)根據(jù)圖形之間的關(guān)系,用長度和相互之間的夾角都已知的向量分別表示出向量a,b,然后再根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義進行計算求解.3.根據(jù)數(shù)量積求參數(shù)的值若已知兩平面向量的數(shù)量積,則根據(jù)坐標(biāo)公式或定義列出含有參數(shù)的方程,再解方程即可. 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破2

7、數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用題型全突破3繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破4點評解法一直接利用了向量數(shù)量積的定義,將所求問題放在一個直角三角形中來求解,求解時注意兩向量夾角的選取;解法二抓住了“三向量模的平方和”與“三向量兩兩數(shù)量積的和”之間的關(guān)系.相對來說解法二更加簡捷,原因就在于解法二從整體上把握了已知與所求之間的關(guān)系. 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用 題型全突破5繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用返回目錄 化學(xué) 有機化學(xué)基礎(chǔ)（選修五）題型全突破6【突破攻略】1.解決涉及幾何圖形的向量數(shù)

8、量積運算問題時,一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補.2.兩向量a,b的數(shù)量積ab與代數(shù)中a,b的乘積寫法不同,不應(yīng)該漏掉其中的“”繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破7考法指導(dǎo) 1.兩向量垂直的判斷方法及應(yīng)用(1)若a,b為非零向量,則abab=0;若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則abx1x2+y1y2=0;(2)一對向量垂直與向量所在的直線垂直是一致的,向量的線性運算與向量的坐標(biāo)運算是求解向量問題的兩大途徑.注意 向量垂直問題體現(xiàn)了“形”與“數(shù)”的相互轉(zhuǎn)化,可用來解決幾何中的線線垂直問題.考法2 向量數(shù)量積的應(yīng)用 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用繼續(xù)學(xué)習(xí)題

9、型全突破8 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用題型全突破10繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用 題型全突破11繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用題型全突破14繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用考法指導(dǎo) 用向量法解決平面幾何問題,一般來說有兩個方法:(1)幾何法:選取適當(dāng)?shù)幕?基底中的向量盡量已知?；驃A角),將題中涉及的向量用基底表示,利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)計算;(2)坐標(biāo)法:建立平面直角坐標(biāo)系,實現(xiàn)向量的坐標(biāo)化,將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算.一般地,存在坐標(biāo)系或易建坐標(biāo)系的題

10、目適合用坐標(biāo)法.題型全突破12繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用考法3 向量在平面幾何中的應(yīng)用題型全突破13繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用題型全突破14繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用題型全突破15繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用題型全突破16【突破攻略】在運用向量處理平面幾何問題時,應(yīng)注意以下幾個方面:(1)運用向量加減的幾何意義;(2)運用數(shù)乘向量來處理平行問題;(3)運用向量的數(shù)量積來處理夾角或垂直的問題.繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用考法指導(dǎo) 平面向量的數(shù)

11、形結(jié)合性讓它在物理學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用,主要體現(xiàn)在以下幾個方面:(1)力、速度、加速度、位移等都是向量,它們的合成與分解就是向量的加、減法,運動的疊加亦用到向量的合成;(2)動量mv是數(shù)乘向量;(3)功是力f與所產(chǎn)生位移s的數(shù)量積.題型全突破17繼續(xù)學(xué)習(xí)考法4 向量在物理中的應(yīng)用 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用題型全突破18考法示例6質(zhì)量為m的物體靜止地放在斜面上,斜面與水平面的夾角為,求斜面對物體的摩擦力和支持力的大小.思路分析圖5-3-8物體共受三個力,在三個力作用下保持平衡,即它們的合力為0,然后利用物理知識和向量的運算求解.解析如圖5-3-8所示,物體受三個力:重力g(

12、豎直向下,大小為mg),斜面對物體的支持力f(垂直于斜面,向上,大小為|f|),摩擦力f(與斜面平行,向上,大小為|f|).由于物體靜止,故這三個力平衡,合力為0,即g+f+f=0.繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用記垂直于斜面向下、大小為1 n的力為e1,平行于斜面向下、大小為1 n的力為e2,以e1,e2為基底,則f=(-|f|,0), f=(0,-|f|),由圖知e1與g的夾角為,則g=(mgcos ,mgsin ).由,得g+f+f=(mgcos -|f|,mgsin -|f|)=(0,0),所以mgcos -|f|=0,mgsin -|f|=0.故|f|=mg

13、cos ,|f|=mgsin .點評當(dāng)三個力成平衡狀態(tài)時,這三個力之和等于零向量,其中兩個向量的和與第三個向量是相反向量,這樣就可以把三個力的向量表示納入到一個平行四邊形或者三角形中,通過運用平行四邊形或三角形的知識解決問題.題型全突破19繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用考法指導(dǎo) 平面向量常與幾何問題、三角函數(shù)、解三角形等問題綜合起來考查,解題關(guān)鍵是把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的有關(guān)運算,進一步轉(zhuǎn)化為實數(shù)運算,進而利用相關(guān)知識求解.題型全突破20繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用考法5 向量的綜合應(yīng)用題型全突破21繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量

14、的數(shù)量積及向量的應(yīng)用題型全突破22繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用題型全突破23繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用能力大提升思想方法 巧解平面向量題的5種方法能力大提升1繼續(xù)學(xué)習(xí)向量是既有大小又有方向的量,具有幾何和代數(shù)形式的“雙重性”,常作為工具來解決其他知識模塊的問題.在歷年高考中都會對該部分內(nèi)容進行考查,解決這些問題多可利用平面向量的有關(guān)知識進行解決.基于平面向量的雙重性,一般可以從兩個角度進行思考:一是利用其“形”的特征,將其轉(zhuǎn)化為平面幾何的有關(guān)知識進行解決;二是利用其“數(shù)”的特征,通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的有關(guān)問題進行解決.下面對遼寧的一

15、道高考試題采用5種不同的求解方法進行解答. 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用能力大提升2返回目錄 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用解法一目標(biāo)不等式法繼續(xù)學(xué)習(xí)能力大提升3解析取向量a,b作為平面向量的一組基底,設(shè)c=ma+nb.由|c|=1,即|ma+nb|=1,可得(ma)2+(nb)2+2mnab=1,由題意,知|a|=|b|=1,ab=0.整理,得m2+n2=1.而a-c=(1-m)a-nb,b-c=-ma+(1-n)b,故由(a-c)(b-c)0,得(1-m)a-nb-ma+(1-n)b0,展開,得m(m-1)a2+n(n-1)b20,即m2-m+n2-n0,又m2+n2=1,故m+n1.而a+b-c=(1-m)a+(1-n)b,故|a+b-c|2=(1-m)a+(1-n)b2=(1-m)2a2+2(1-m)(1-n)ab+(1-n)2b2=(1-m)2+(1-n)2=m2+n2-2(m+n)+2=3-2(m+n).又m+n1,所以3-2(m+n)1.故|a+b-c|21,即|a+b-c|1.答案b. 數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用解法二向量基底法返回目錄能力大提升4 數(shù)