1、2021-11-231一一 問題的提出問題的提出二二 積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)三三 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式四四 小結(jié)小結(jié)五五 思考、判斷題思考、判斷題第二節(jié) 微積分基本公式2021-11-232考察變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系考察變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為 21)(ttdttv 設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度)(tvv 是時(shí)是時(shí)間間隔間間隔,21tt上上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)的一個(gè)連續(xù)函數(shù). .另一方面這段路程可表示為另一方面這段路程可表示為)()(12tsts 一 問題的提出（intr

2、oduction)(1) ).()()(1221tstsdttvtt ).()(tvts 即即說明說明 由于位置函數(shù)是速度函數(shù)的原函數(shù)由于位置函數(shù)是速度函數(shù)的原函數(shù)所以（所以（1 1）式表示，速度函數(shù)的定積分就是）式表示，速度函數(shù)的定積分就是其原函數(shù)在區(qū)間上的增量其原函數(shù)在區(qū)間上的增量2021-11-233 xadxxf)( 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上連續(xù)，并且設(shè)上連續(xù)，并且設(shè)x為為,ba上的一點(diǎn)，上的一點(diǎn)，考察定積分考察定積分 xadttf)(記記.)()( xadttfx積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) 如果上限如果上限x在區(qū)間在區(qū)間,ba上任意變動(dòng)，則對上任意變動(dòng)，則對于每一個(gè)取定

3、的于每一個(gè)取定的x值，定積分有一個(gè)對應(yīng)值，所值，定積分有一個(gè)對應(yīng)值，所以它在以它在,ba上定義了一個(gè)函數(shù)，上定義了一個(gè)函數(shù)， 二 積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)2021-11-234abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 積分上限函數(shù)的性質(zhì)積分上限函數(shù)的性質(zhì)xx 證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x2021-11-235 dttfdttfdttfxaxxxxa )()

4、()(,)( xxxdttf由積分中值定理得由積分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x2021-11-236推論推論 )()()()(xxfxxf )()()()(xxdttfdxdxf ( (3 3) ) dttfxfxx )()()()( 則則)(xf 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為如如果果)(tf連連續(xù)續(xù)，)(x 、)(x 可可導(dǎo)導(dǎo)，（1）)()()()()(xfdttfxfdttfxfxaax 則則（2）)()()()()()()()(xxfdttfxfdttfxfxaxa 則則2021-11-237

5、例例1 1 已知已知dtttbx)1ln(sin 求求dxdy解解)(sin1sinlnsin( xxxxxxcos)1sinlnsin( dtttdxdyxb) 1ln(sin2021-11-238定理定理2 2（原函數(shù)存在定理）（原函數(shù)存在定理） 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一個(gè)上的一個(gè)原函數(shù)原函數(shù). .定理的重要意義定理的重要意義1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的. .2 2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)

6、系的聯(lián)系.3 3）我們可以通過原函數(shù)來計(jì)算定積分。）我們可以通過原函數(shù)來計(jì)算定積分。2021-11-239定理定理 3 3（微積分基本定理）（微積分基本定理）如如果果)(xf是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，則則)()()(afbfdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù), 已已知知)(xf是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，cxxf )()(,bax 證證三三 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式（fundamental theorem of calculus)2021-11-2310令令ax 0)()

7、( dttfaaa,)(caf ),()()(afxfdttfxa ,)()(cdttfxfxa 令令bx 牛頓牛頓(newton)萊布尼茨萊布尼茨(leibniz)公式公式,)()(caaf 則則).()()(afbfdxxfba 則則2021-11-2311)()()(afbfdxxfba 微積分基本公式表明：微積分基本公式表明： baxf)( (1) 一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分等等于于它它的的任任意意一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的增增量量. (3)當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)時(shí)，)()()(afbfdxxfba 仍仍成成立立. (2)求定積分問題轉(zhuǎn)化為

8、求原函數(shù)不定積分求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)不定積分的的問題的的問題.2021-11-2312例例2 2 求求 .102dxx 解解 由于由于2x的一個(gè)原函數(shù)是的一個(gè)原函數(shù)是33x, ,.313103102 xdxx所以所以例例3 3 求求 .11312dxx 31312arctan11 xdxx 127)4(3 )1arctan(3arctan 解解2021-11-2313例例4 4 計(jì)算計(jì)算 21xdx 2ln1ln2lnln2121 xxdx解解例例5 5 設(shè)設(shè) 0,0,1)(2xexxxfx 31)2(dxxf求求解解 1131)(2)2(dttftxdxxf令令 eettdtedttt

9、t13731)1(100130101102 2021-11-2314例例6 6 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：這是這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.2021-11-2315例例 7 7 設(shè)設(shè))(xf在在),( 內(nèi)連續(xù)，且內(nèi)連續(xù)，且0)( xf. .證明函數(shù)證明函數(shù) xxdttfdtttfxf00)()()(在在), 0( 內(nèi)為單調(diào)增內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)加函

10、數(shù). .證證 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxf2021-11-2316 ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxf)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxf故故)(xf在在), 0( 內(nèi)內(nèi)為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù). .2021-11-2317例例8 8 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf 102152dxxdx原式原式. 6 例例 9 9 計(jì)計(jì)算算曲曲線線xysin 在在, 0 上上與與x軸軸所所圍圍 成成的的平平面面圖圖形形的的面面積積. . 解解 xyo 0sin xdxa 2cos0 x2021-11-2318 10202)(2)(