1、1應用彈塑性力學應用彈塑性力學 2平面基本方程平面基本方程應力函數應力函數平面問題直角坐標解平面問題直角坐標解-例題例題 用極坐標解平面問題用極坐標解平面問題厚壁筒彈塑性解厚壁筒彈塑性解半無限大平面體問題半無限大平面體問題圓孔孔邊應力集中圓孔孔邊應力集中 第六章第六章 彈塑性平面問題彈塑性平面問題3平面基本方程平面基本方程在第五章中介紹了求解彈性力學問題的兩種基本解法，現在第五章中介紹了求解彈性力學問題的兩種基本解法，現在討論平面問題相應的公式，并分別給出平面應力和平面在討論平面問題相應的公式，并分別給出平面應力和平面應變兩種情況的應力法基本方程和解法示例。應變兩種情況的應力法基本方程和解法示

2、例。 平面應力問題平面應力問題0yzzxz),(),(),(yxyxyxxyxyyyxx平衡方程為平衡方程為 00byyxybxyxyxxFyxF邊界條件為邊界條件為 xx 1xy 2yxy 1y 2ppllll),cos(),cos(21ynlxnl4彈性本構方程彈性本構方程 xyxyxyxyyyxxEGEE)()1211（）（)0 xzyzxzyE（應變協調方程為應變協調方程為 yxxyxyyx22222在應力法中要把應變協調方程在應力法中要把應變協調方程改為用應力分量表示改為用應力分量表示 yFyyxxFxyxbyyxybxxxy222222yFxFxyyxbybxyxy2x122222

3、22若不計體力或體力為常數若不計體力或體力為常數 02yx5平面應變問題平面應變問題 yFFyxbyxbxyx112222若不計體力或體力為常數若不計體力或體力為常數 02yx 結論：注意到相容方程，平衡方程和應力邊界條件中都不包結論：注意到相容方程，平衡方程和應力邊界條件中都不包含有彈性常數，在單連體的應力邊界問題中，如果兩個彈性體含有彈性常數，在單連體的應力邊界問題中，如果兩個彈性體具有相同的邊界形狀，并受到同樣分布的外力，那么，不管這具有相同的邊界形狀，并受到同樣分布的外力，那么，不管這兩個彈性體的材料是否相同，也不管它們是在平面應力情況下兩個彈性體的材料是否相同，也不管它們是在平面應力

4、情況下或是在平面應變情況下，應力分量或是在平面應變情況下，應力分量 、 、 的分布是相同的分布是相同的（兩種平面問題中的應力分量的（兩種平面問題中的應力分量 ，以及形變和位移，卻不，以及形變和位移，卻不一定相同）。一定相同）。xyxyz6推論推論2 2 在用實驗方法測量結構或構件的上述應力分量時，可以用在用實驗方法測量結構或構件的上述應力分量時，可以用便于量測的材料來制造模型，以代替原來不便于量測的結構或便于量測的材料來制造模型，以代替原來不便于量測的結構或構件材料；還可以用平面應力情況下的薄板模型，來代替平面構件材料；還可以用平面應力情況下的薄板模型，來代替平面應變情況下的長柱形的結構或構件

5、。應變情況下的長柱形的結構或構件。推論推論1 1 針對任一物體而求出的應力分量針對任一物體而求出的應力分量 、 、 ，也適用于，也適用于具有同樣邊界并受有同樣外力的其它材料的物體；針對平面應具有同樣邊界并受有同樣外力的其它材料的物體；針對平面應力問題而求出的這些應力分量，也適用于邊界相同、外力相同力問題而求出的這些應力分量，也適用于邊界相同、外力相同的平面應變情況下的物體。的平面應變情況下的物體。xyxy7應力函數應力函數一、應力函數一、應力函數 按應力求解應力邊界問題時，在體力為常量的情況下，應力分量 、 、 在區域內應當滿足平衡微分方程：xyxy00byxyybxxyxFxyFyx（a）以

6、及相容方程0)(2222yxyx（b) 方程（a）的解包含兩部分：任意一個特解和下列齊次微分方程的通解。8特解取為：00 xyyxxyyxyx（c）0yF-x-FyF-x-F orxF-y-F00 ory-Fx-F xybybxybybxxbybxxyyxxybyybxx,0（d）00yxyyxxyxfxyfyx（a）9 將齊次微分方程（c）中前一個方程改寫為：)(xyxyx根據微分方程理論，一定存在某一個函數 ，使得：),(yxAxAyAxyx（e）（f） xfD,yfCf,DyCxDCxfyyfxzyx,ff使得下式成立一函數對照上式，一定存在某滿足關系式和假如函數在一定條件下有設函數10

7、同樣將（c）中的第二個方程改寫為：)(xyyxy也一定存在某一個函數 ，使得：),(yxByBxBxyy（g）（h）由式（f）及（h）得：yBxA因而一定存在某一個函數 ，使得： )y, x(xByA（i）（j）11將式（i）代入（e），式（j）代入（g），并將式（i）代入（f），即得通解：yx,x,yxyyx22222（k） 將通解（k）與特解（d）疊加，即得微分方程（a）的全解：函數 稱為平面問題的應力函數，也稱為艾瑞應力函數。yx, yfx, xfyxyyyxx22222（1） 為了應力分量（1）同時也能滿足相容方程（b），將（1）代入式（b），即得：022222222)yfxxfy)(

8、yx(yx上式可簡化為：022222222)yx)(yx(12或者展開為：024422444yyxx進一步簡寫為：04（2）二、逆解法與半逆解法二、逆解法與半逆解法逆解法：逆解法：先設定各種形式的、滿足相容方程（2）的應力函 數 ，用公式（1）求出應力分量，然后根據應力邊界條件來考察，在各種邊界形狀的彈性體上，這些應力分量對應于什么樣的面力，從而得知所設定的應力函數可以解決什么問題。 按應力求解應力邊界問題時，如果體力是常量，就只須由微分方程（2）求解應力函數 ，然后用公式（1）求出應力分量，但這些應力分量在邊界上應當滿足應力邊界條件。逆解法基本步驟：13半逆解法：半逆解法：針對所要求解的問題

9、，根據彈性體的邊界形狀和受力情況，假設部分或全部應力分量為某種形式的函數，從而推出應力函數 ，然后來考察，這個應力函數是否滿足相容方程，以及，原來所假設的應力分量和由這個應力函數求出的其余應力分量，是否滿足應力邊界條件和位移單值條件。如果相容方程和各方面的條件都能滿足，自然就得出正確的解答；如果某一方面不能滿足，就要另作假設，重新考察。設定求出應力分量求出面力（合力）解決什么問題代入代入式（l）應力邊界條件確定半逆解法基本步驟：設定導出應力表達式得到正確解答滿足邊界條件滿足04是是否否式（l）應力邊界條件14應力函數取一次多項式應力函數取一次多項式cybxa應力分量：0, 0, 0yxxyyx

10、應力邊界條件：0yxff結論：（1）線性應力函數對應于無面力、無應力的狀態。（2）把任何平面問題的應力函數加上一個線性函數，并不影響應力。平面問題直角坐標解平面問題直角坐標解-例題例題15x3.應力函數 能解決矩形板在 方向受均布拉力（設 ）或均布壓力（設 ）的問題。如圖3-1（c）。2cy0c0c應力函數取三次式應力函數取三次式3ay對應的應力分量：0, 0,6yxxyyxay（a）MMhl2h2hyxx圖xy1結論：應力函數 能解決矩形梁受純彎曲的問題。如圖所示的矩形梁。3ay對應的邊界條件如右圖所示16應力函數取三次式應力函數取三次式3ay對應的應力分量：0, 0,6yxxyyxay（a

11、）MMhl2h2hyxx圖xy1結論：能解決矩形梁受純彎曲的問題。如圖所示的矩形梁。注意,圖中每單位寬度上的力偶矩為M 量綱為mT-217MMhl2h2hyxx圖xy圖10, 0,6yxxyyxay現在考察這些應力分量能否滿足邊界條件10m;l -h/2y邊界上在滿足000ffyxyyyxyxxyx100100m;l h/2y0邊界上在滿足000ffyxyyyxyxxyx10010左右次要邊界條件沒有得到精確滿足根據圣維南原理，在次要邊界上，積分邊界條件得到滿足即可1822223h/233-h/26ayah2M2ayMMa2hhhhhxydyMydyM12h1I , yIMyhM6ay3xyy

12、x注意梁截面慣性矩00123MMhl2h2hyxx圖xy圖1滿足 03aydy6aydyh/2h/2-2hhhhx2222滿足 0dy0dyhhhhyx2222因此這就是梁受純彎曲時的應力分量，但是組成梁端面力的力偶矩必須是圖所示的直線分布，解答才是精確的，如果面力按照其它方式分布，解答在端部是不準確的，離開梁端較遠的地方，誤差可以忽略不計。19特別注意：特別注意： 對于長度 遠大于深度 的梁，上面答案是有實用價值的；對于長度 與深度 同等大小的所謂深梁，這個解答是沒有什么實用意義的。lhlh12h1I , yIMyhM3xyyx梁截面慣性矩0012320位移分量的求出位移分量的求出 以矩形梁

13、的純彎曲問題為例，說明如何由應力分量求出位移分量。一、平面應力的情況一、平面應力的情況 將應力分量 代入物理方程0, 0,yxxyyxyIMxyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(121得形變分量：0,xyyxyEIMyEIM（a）再將式（a）代入幾何方程：yuxvyvxuxyyx得:0,yuxvyEIMyvyEIMxu前二式積分得：)(2),(221xfyEIMvyfxyEIMu（b）（c）其中的 和 是任意函數。將式（c）代入（b）中的第三式1f2f22得:xEIMdxxdfdyydf)()(21等式左邊只是 的函數，而等式右邊只是 的函數。因此，只可能兩邊都等于同一常數 。于是有：

14、yxxEIMdxxdfdyydf)(,)(21積分以后得：022012)(,)(vxxEIMxfuyyf代入式（c），得位移分量：022022vxxEIMyEIMvuyxyEIMu其中的任意常數 、 、 須由約束條件求得。0u0v（d）23（一）簡支梁（一）簡支梁22)(2,)2(yEIMxxlEIMvylxEIMu 如圖，約束條件為：0)( , 0)( , 0)(00000ylxyxyxvvu由式（d）得出：代入式（d），就得到簡支梁的位移分量：EIMlvu2, 0, 000梁軸的撓度方程：xxlEIMvy)(2)(0MMoxyl圖022022vxxEIMyEIMvuyxyEIMu24MMo

15、xyl圖022022vxxEIMyEIMvuyxyEIMu（二）懸臂梁（二）懸臂梁 如圖，約束條件為：0)( , 0)( , 0)(000ylxylxylxxvvu由式（d）得出：EIMlEIMlvu,2, 0200代入式（d），得出懸臂梁的位移分量：222)(2,)(yEIMxlEIMvyxlEIMu梁軸的撓度方程：20)(2)(xlEIMvy25二、平面應變的情況二、平面應變的情況 只要將平面應力情況下的形變公式和位移公式中的 換為 ， 換為 即可。E21E126簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷 設有矩形截面的簡支梁，深度為 ，長度為 ，受均布載荷 ，體力不計，由兩端的反力 維持平衡。如圖

16、所示。取單位寬度的梁來考慮，可視為平面應力問題。hl 2qqlqlqqllloxy2h2h圖 用半逆解法。假設 只是 的函數，擠壓應力主要由豎直方向直接載荷引起的，而直接載荷不隨橫坐標改變而改變，因此只是y的函數，即yy)(yfy則：)y(fx22)y(f)y(xfx1對 積分，得：x)y(f)y(xf)y(fx2122解之，得：（a)（b)其中， 、 是任意函數，即待定函數。)(1yf)(2yf注意： 可以略去常數項， 可以略去一次項(y)f1(y)f227 現在考察，上述應力函數是否滿足相容方程。為此，對 求四階導數：將以上結果代入相容方程，得：42441444244222244420dy

17、)y(fddy)y(fdxdy)y( fdxy,dy)y( fdyx,x0)(2)()()(2122424414244dyyfddyyfdxdyyfdxdyyfd相容條件要求此二次方程有無數的根(全梁內的 值都應該滿足它),所以,它的系數和自由項都必須等于零。即：x0)(2)(, 0)(, 0)(2242441444dyyfddyyfddyyfddyyfd28前面兩個方程要求：GyFyEyyfDCyByAyyf23123)(,)(（c）將式（c）和（d）代入式（b），得應力函數：2345232326102KyHyyByA)GyFyEy( x)DCyByAy(x（e）02002242441444

18、dy)y(fddy)y(fd,dy)y(fd,dy)y(fd)y(f)y(xf)y(fx2122(b)第三個方程要求：23452610)(KyHyyByAyf（d）4B-12Aydy)y(fd-dy)y(fd224242292345232326102KyHyyByA)GyFyEy( x)DCyByAy(x相應的應力分量為：)GFyEy()CByAy( xyxDCyByAyxKHyByAy)FEy( x)BAy(xyxyyx2323262226262222232223222（f）（g）（h）這些應力分量滿足平衡微分方程和相容方程。如果要使全部應力邊界條件都滿足，除非常數 、 等于特定值，這樣以上

19、應力分量才是正確的解答。ABK30 因為 面是梁和荷載的對稱面，所以應力分布應當對稱于 yz 面。這樣， 和 應當是 的偶函數，而 應當是 的奇函數。于是由式（f）和（h）可見：yzxyxxyx0GFE（一）考察上下兩邊的邊界條件0)( ,)( , 0)(222hyxyhyhyyq 將上式代入應力分量表達式，三個應力分量變為： 上式中共有六個待定常數，利用應力邊界條件求出。)23(2622)26(2223232CByAyxDCyByAyKHyByAyBAyxxyyx（i）qlqqllloxy2h2h圖31整理，得：0430432480248222323ChBAhChBAhqDChBhAhDCh

20、BhAh由于這四個方程是獨立的，互不矛盾的，而且只包含四個未知數，所以聯立求解，得：2,23,0,23qDhqCBhqA將上面所得常數代入應力分量表達式（i），得：xhqxyhqqyhqyhqKHyyhqyxhqxyyx2362232264623333323（k）（L）（j）qlqqllloxy2h2h圖32（二）考察左右兩邊的邊界條件 由于對稱性，只需考慮其中的一邊。考慮右邊：22220)(0)(hhlxxhhlxxydydy（m）（n） 將式（j）代入式（m），得：0)2646(322332dyKHyyhqyhqlhh積分，得：0K 將式（j）代入式（n），得：0)646(322332yd

21、yHyyhqyhqlhh積分，得：hqhqlH103233將式 （l）代入，上式成為：滿足。 )236(2223hhqldyhqlyhql 另一方面，在梁的右邊剪應力滿足：22)(hhlxxyqldy將 和 代入式（j），得：yhqyhqlyhqyxhqX53646323323（p）HK將式 （p）、（k）、（L）整理，得應力分量：)4(6)21)(1(2)534()(6223222223yhxhqhyhyqhyhyqyxlhqxyyx（q）34式（q）可以改寫為：bIQShyhyqhyhyqyIMxyyx222)21)(1 (2)534(各應力分量沿鉛直方向的變化大致如圖所示。 在 的表達式

22、中，第一項是主要項，和材料力學中的解答相同，第二項是彈性力學提出的修正項。對于通常的淺梁，修正項很小，可以不計。對于較深的梁，則需注意修正項。xy 的最大絕對值是 ，發生在梁頂。在材料力學中，一般不考慮這個應力分量。 和材料力學里完全一樣。 qxyxyxy圖2h2h35楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力問題：問題： 設有楔形體,如圖所示，左面鉛直,右面與鉛直面成角 ，下端無限長，承受重力及液體壓力，楔形體的密度為 ，液體的密度為 ，試求應力分量。2136采用半逆解法采用半逆解法, ,首先用量綱分析方法來假設應力首先用量綱分析方法來假設應力分量的函數形式分量的函數形式, ,在楔形體的任

23、意一點在楔形體的任意一點, ,應力分應力分量都將有兩部分組成量都將有兩部分組成, ,一部分由重力引起一部分由重力引起, ,應當應當與與 成正比成正比, ,第二部分由液體壓力引起第二部分由液體壓力引起, ,應當應當與與 成正比成正比, ,由于應力的量綱是由于應力的量綱是 , , 和和 的量綱是的量綱是 , ,如果應力分量具如果應力分量具有多項式解答有多項式解答, ,那么那么, ,它的表達式只可能是四項它的表達式只可能是四項 的組合的組合, ,也就是說也就是說應力分量的表達式可能是純一次多項式應力分量的表達式可能是純一次多項式. .其次其次, ,應力函數比應力分量的長度量綱高二次應力函數比應力分量

24、的長度量綱高二次, ,應力函應力函數應該是純三次多項式。數應該是純三次多項式。 g1g221MTLg1g222MTLgyDgxCgyBgxA2211,因此因此, ,假設假設 3223dycxyybxax不論應力函數的系數怎么取，純三次多形式的應不論應力函數的系數怎么取，純三次多形式的應力函數總能滿足相容方程力函數總能滿足相容方程37體力分量體力分量 gffyx1, 0應力分量的表達式為應力分量的表達式為 cybxyxgybyaxyfxeycxxfyxyyyxx22266222222這些應力分量滿足平衡微分方程和相容方程。這些應力分量滿足平衡微分方程和相容方程。38邊界條件邊界條件左面（ ）應力

25、邊界條件：0 x000 xxy2xx)( ,gy)(cybxyxgybyaxyfxeycxxfyxyyyxx22266222222代入應力表達式，得代入應力表達式，得 6002622gdccygydy應力表達式簡化為應力表達式簡化為 bxgybyaxgyyxxyyx2261239bxgybyaxgyyxxyyx22612右邊是斜邊，它的邊界線方程是 tanyx在斜邊上沒有面力 0yxffsin)2cos(),cos(,cos),cos(ynmxnl0)()(0)()(tantantantanyxxyyxyyxxyyxxlmml0)tan2()2tan6(0)tan2()(12bylgybyay

26、mbymgyl32122cot3cot6,cot2ggagbcotgyy)gcotg( x)cotgcotg(gyyxxyyx212232122將系數代入，得到應力將系數代入，得到應力表達式：表達式： 40各應力分量沿水平方向的變化大致如圖所示。注意：注意：1.沿著壩軸，壩身往往具有不同的截面，而且壩身也不是無限長的。因此，嚴格說來，這里不是一個平面問題。2.對于壩身底部來說，上面的解答是不精確的。3.在靠近壩頂處，以上解答也不適用。xyyx圖圖圖cotgyy)gcotg( x)cotgcotg(gyyxxyyx2122321224102101KrrrKrrrrrrrrr極坐標中的平衡微分方程

27、ruruururrururrrrr11極坐標中幾何方程用極坐標解平面問題用極坐標解平面問題42平面應變情況：rrrrrEEE)1 (2)1(1)1(122 將上式中的 換為 ， 換為 。E21E1極坐標中的物理方程極坐標中的物理方程rrrrrrEGEE)1 (21)(1)(1平面應力情況：43應力分量由極坐標向直角坐標的變換式為：)sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222rrxyrryrrx2cos2sin22sin2cos222sin2cos22rrxyrrryrrrx)sin(coscossin)(cossincossincossins

28、incos22222222xyxyrxyyxxyyxr44011222222)rrrr(相容方程)r(rrrrrrr11122222), r(極坐標中的應力函數應力分量45)r(軸對稱問題應力函數01222rddrrdd 容方程軸對稱問題應力函數相DCrrlnBrrlnA22應力函數通解022322122rrr C)rln(BrA C)rln(BrA 軸對稱問題應力分量4621E 對于平面應變問題，須將上面公式 換為 ， 換為 。E1cossin4sincos)1 (2)31 () 1(ln)1 (2)1 (1KIHrEBruKICrBrrBrrAEur47 如圖，圓環的內半徑為a，外半徑為b

29、，受內壓力qa，外壓力qb。為軸對稱問題。根據上節有解為:022322122rrr;C)rln(BrA;C)rln(BrA圖一、圓環或圓筒受均布壓力一、圓環或圓筒受均布壓力0)r(rrrrrrrrr111122222DCrrBrrA22lnln厚壁筒彈塑性解厚壁筒彈塑性解48圖邊界條件為:bbrraarrbrrarrqq)(,)(0)(, 0)(022322122rrr;C)rln(BrA;C)rln(BrAbaqCbBbAqCaBaA2)ln21 (2)ln21 (2249 在這里只有兩個方程，而有三個待定常數，需要從多連體的位移單值條件補充一個方程。在環向位移表達式：cossin4KIHr

30、EBru 這樣從上面兩個方程中可解出A和C，代入應力分量表達式，得到拉密解答：baqCbA;qCaA2222于是:baqC)bln(BbA;qC)aln(BaA22122122中，第一項是多值的，在同一r處， =1和=1+2時，環向位移相差 ，這是不可能的，因此，從位移單值條件必須有B=0。EBr1850babarqbaraqabrbqbaraqabrb222222222222222211111111 下面分別討論內壓力和外壓力單獨作用的情況。（1）只作用均勻內壓時（ ），例如液壓缸，上面解答化為：0bqaarqabrbqabrb11,1122222222r51應力分布大致如圖所示。當 時，得

31、到具有圓孔的無限大薄板，或具有圓形孔道的無限大彈性體，這時上面的解答成為：baarqraqra2222,（2）只有外壓時（ ），例如液壓柱塞，上面解答化為：0aqbbrqbaraqbara2222222211,11應力分布大致如圖所示。r52二、壓力隧洞二、壓力隧洞qo,E,Errr 如圖所示，受均勻內壓力 作用的圓筒埋在無限大彈性體中，圓筒和無限大彈性體的材料不同。試分別討論兩者的應力和位移情況。q 兩者都屬于軸對稱應力問題，采用半逆解法。設圓筒的應力表達式為：CrACrAr2,22253設無限大彈性體的應力表達式為：CrACrAr2,222由應力邊界條件求待定常數 、 、 、 。ACAC（

32、1）在圓筒的內表面：qarr)(由此得：qCaA22（2）在無限大彈性體內距離圓筒很遠處幾乎沒有應力。0)( , 0)(rrr由此得：02C（3）在圓筒和無限大彈性體的接觸面上，應當有：brrbrr)()(（1）（2）54由此得：CbACbA2222三個方程不足以確定四個常數，下面來考慮位移。 由于圓筒和無限大彈性體都是多連體，并屬于平面應變問題，可以寫出兩者的徑向位移的表達式。圓筒：sincos)11 (2)11 (12KICrrAEur無限大彈性體：sincos)11 (2)11 (12KIrCrAEur將以上兩式簡化后得：sincos)21 (21KIrACrEursincos)21 (

33、21KIrArCEur（3）55在接觸面上，兩者應具有相同的位移，即：brrbrruu)()(因此有：sincos)21 (21sincos)21 (21KIbAbCEKIbACbE因為這一方程在接觸面上的任意一點都應當成立，也就是在 取任何數值時都應當成立，所以方程兩邊的自由項必須相等。于是有：)21 (21)21 (21bAbCEbACbE簡化后，得：0)21 (222bAbACn其中：)1 ()1 (EEn（4）56聯立方程（1）、（2）、（3）、（4）求出 、 、 、 ，代入應力分量的表達式，得： ACAC)1 ()21 (1 )1 (2)1 ()21 (1 )1 ()21 (1 )1

34、 ()21 (1 )1 ()21 (1 222222222222nabnrbnqnabnnrbnqnabnnrbnqrr 當 時，應力分布大致如圖所示。1nqo,E,Errr57接觸方式軸對稱問題接觸面上的完全接觸,非完全接觸和摩擦接觸三種形式uu;uu;rrrrrr完全接觸uu;uu0;rrrr非完全接觸rrrrrruu;f;摩擦力摩擦接觸58rrrP圖 楔形體的中心角為 ，下端為無限長。頂部受集中力P 設楔形體在楔頂受有集中力，與楔形體的中心線成角 。取單位寬度的部分來考慮，并令單位寬度上所受的力為 。 楔形體內一點的應力分量決定于、P、r、，因此，應力分量的表達式中只包含這幾個量。P半無

35、限大平面體問題半無限大平面體問題59)(rf代入相容方程后得：0)(d)(d2d)(d122443fffr其中、是無量綱的量，因此根據應力分量的量綱，應力分量的表達式應取PN/r的形式，其中N是、組成的無量綱的量。由應力函數的表達式可以看出應力函數中r的冪次應當比各應力分量的冪次高出兩次，因此可設：60求解這一微分方程，得：)sincos(sincos)sincos(sincos)(DCrBrArDCBAfByAxBrArsincos不影響應力，取：其中)sincos(DCr于是得：0)1(0)sincos(21122222rrrCDrrrrrrr61楔形體左右兩面的邊界條件：0)(, 0)(

36、2/2/ara 上述應力分量滿足該邊界條件。集中力P按圣維南原理處理，取出任一圓柱面ab，則該截面上的應力和P合成平衡力系：0sinsind:00coscosd:02/2/2/2/PrFPrFryrx將 的表達式代入，可求出C、D，最后得到密切爾解答：r00)sinsinsinsincoscos(2rrrrP622.頂部受有力偶M作用rrr圖 設楔形體在楔頂受有力偶，而每單位寬度內的力偶矩為M ，如圖。 根據和前面相似的分析，應力分量應為MN/r2的形式，而應力函數應與r無關。)(代入相容方程后，得：0dd4dd122444r求解這一微分方程，得：DCBA2sin2cos6322222222c

37、os2)1(02sin411rCBrrrrBrrrrrr楔形體左右兩面邊界條件：0)( ,0)(2/2/ara上述應力分量自動滿足第一式，根據第二式，可得：cos2BC 力偶可看成反對稱力，正應力和應力函數應當是 的奇函數，從而A=D=0,于是：64 集中力偶M按圣維南原理處理，取出任一圓柱面ab，則該截面上的應力與M成平衡力系：cossin20d:022/2/MBMrMro最后得到英格立斯的解答：22)cos(sin)cos2(cos0)cos(sin2sin2rMrMrrr于是：22)cos2(cos202sin4rBrBrrr65xyPro00cos2rrrrP利用坐標變換可得到直角坐標

38、中的應力分量式（2）：rPrPrPxyyx223cossin2cossin2cos2（1）（2） 命楔形體的中心角等于一個平角，這楔形體的兩個側邊就連成一個直邊，而楔形體就成為一個半平面體，如圖。應力分量應力分量0P 當平面體在邊界上受有垂直于邊界的力 時，在密切爾解答中令 、 。于是得式（1）：圖66或將其中的極坐標改為直角坐標而得：222222222223)(2)(2)(2yxyxPyxxyPyxxPxyyx67 板中開有小孔，孔邊的應力遠大于無孔時的應力，也遠大于距孔稍遠處的應力，稱為孔口應力集中。 應力集中的程度與孔的形狀有關。一般說來，圓孔孔邊的集中程度最低。這里簡略討論圓孔孔口應力

39、集中問題，較為復雜的孔邊應力集中問題一般用復變函數方法。rrAb 孔口應力集中還有局部性,一般孔口集中區域,在距孔邊1.5倍孔口尺寸(例如圓孔直徑)的范圍內 圓孔孔邊應力集中圓孔孔邊應力集中68一、一、 矩形板左右兩邊受集度為矩形板左右兩邊受集度為q q的均布拉力的均布拉力rrAb)sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222rrxyrryrrx就直邊的邊界條件而論,宜使用直角坐標,就圓孔的邊界條件而論,宜使用極坐標,這里主要考察圓孔附近的應力,所以使用極坐標,而首先將直邊界換為圓邊界,)sin(coscossin)(cossincossincossinsincos22222222xyxyrxyyxxyyxr00,qxyyx,cossinsincosqqqrr2269 設有矩形薄板，在離開邊界較遠處有半徑為 的小圓孔，在左右兩邊受均布拉力，其集度為 ，如圖。a