1、卡爾曼濾波器的介紹為了可以更加容易的理解卡爾曼濾波器，這里會應用形象的描述方法來講解，而不是像大多數參考書那樣羅列一大堆的數學公式和數學符號。但是，他的5條公式是其核心內容。結合現代的計算機，其實卡爾曼的程序相當的簡單，只要你理解了他的那5條公式。在介紹他的5條公式之前，先讓我們來根據下面的例子一步一步的探索。假設我們要研究的對象是一個房間的溫度。根據你的經驗判斷，這個房間的溫度是恒定的，也就是下一分鐘的溫度等于現在這一分鐘的溫度（假設我們用一分鐘來做時間單位）。假設你對你的經驗不是100%的相信，可能會有上下偏差幾度。我們把這些偏差看成是高斯白噪聲，也就是這些偏差跟前后時間是沒有關系的而且符

2、合高斯分配。另外，我們在房間里放一個溫度計，但是這個溫度計也不準確的，測量值會比實際值偏差。我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲。好了，現在對于某一分鐘我們有兩個有關于該房間的溫度值：你根據經驗的預測值（系統的預測值）和溫度計的值（測量值）。下面我們要用這兩個值結合他們各自的噪聲來估算出房間的實際溫度值。假如我們要估算k時刻的是實際溫度值。首先你要根據k-1時刻的溫度值，來預測k時刻的溫度。因為你相信溫度是恒定的，所以你會得到k時刻的溫度預測值是跟k-1時刻一樣的，假設是23度，同時該值的高斯噪聲的偏差是5度（5是這樣得到的：如果k-1時刻估算出的最優溫度值的偏差是3，你對自己預測的不確定度是4度

3、，他們平方相加再開方，就是5）。然后，你從溫度計那里得到了k時刻的溫度值，假設是25度，同時該值的偏差是4度。由于我們用于估算k時刻的實際溫度有兩個溫度值，分別是23度和25度。究竟實際溫度是多少呢？相信自己還是相信溫度計呢？究竟相信誰多一點，我們可以用他們的covariance來判斷。因為Kg2=52/(52+42)所以Kg=0.78，我們可以估算出k時刻的實際溫度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出，因為溫度計的covariance比較小（比較相信溫度計），所以估算出的最優溫度值偏向溫度計的值。現在我們已經得到k時刻的最優溫度值了，下一步就是要進入k+1時刻，進行新

4、的最優估算。到現在為止，好像還沒看到什么自回歸的東西出現。對了，在進入k+1時刻之前，我們還要算出k時刻那個最優值（24.56度）的偏差。算法如下：(1-Kg)*52)0.5=2.35。這里的5就是上面的k時刻你預測的那個23度溫度值的偏差，得出的2.35就是進入k+1時刻以后k時刻估算出的最優溫度值的偏差（對應于上面的3）。就是這樣，卡爾曼濾波器就不斷的把covariance遞歸，從而估算出最優的溫度值。他運行的很快，而且它只保留了上一時刻的covariance。上面的Kg，就是卡爾曼增益（Kalman Gain）。他可以隨不同的時刻而改變他自己的值，是不是很神奇！下面就要言歸正傳，討論真正

5、工程系統上的卡爾曼。卡爾曼濾波器算法在這一部分，我們就來描述源于Dr Kalman的卡爾曼濾波器。下面的描述，會涉及一些基本的概念知識，包括概率隨即變量高斯或正態分配還有State-space Model等等。但對于卡爾曼濾波器的詳細證明，這里不能一一描述。首先，我們先要引入一個離散控制過程的系統。該系統可用一個線性隨機微分方程（LinearStochastic Difference equation）來描述：X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)再加上系統的測量值：Z(k)=H X(k)+V(k)上兩式子中，X(k)是k時刻的系統狀態，U(k)是k時刻對系統的控制量。A和B是系統

6、參數，對于多模型系統，他們為矩陣。Z(k)是k時刻的測量值，H是測量系統的參數，對于多測量系統，H為矩陣。W(k)和V(k)分別表示過程和測量的噪聲。他們被假設成高斯白噪聲(WhiteGaussianNoise)，他們的covariance分別是Q，R（這里我們假設他們不隨系統狀態變化而變化）。對于滿足上面的條件(線性隨機微分系統，過程和測量都是高斯白噪聲)，卡爾曼濾波器是最優的信息處理器。下面我們來用他們結合他們的covariances來估算系統的最優化輸出（類似上一節那個溫度的例子）。首先我們要利用系統的過程模型，來預測下一狀態的系統。假設現在的系統狀態是k，根據系統的模型，可以基于系統的

7、上一狀態而預測出現在狀態：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) . (1)式(1)中，X(k|k-1)是利用上一狀態預測的結果，X(k-1|k-1)是上一狀態最優的結果，U(k)為現在狀態的控制量，如果沒有控制量，它可以為0。到現在為止，我們的系統結果已經更新了，可是，對應于X(k|k-1)的covariance還沒更新。我們用P表示covariance：P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A+Q (2)式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)對應的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)對應的covariance，A表示A的轉置矩陣，

8、Q是系統過程的covariance。式子1，2就是卡爾曼濾波器5個公式當中的前兩個，也就是對系統的預測。現在我們有了現在狀態的預測結果，然后我們再收集現在狀態的測量值。結合預測值和測量值，我們可以得到現在狀態(k)的最優化估算值X(k|k)：X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1) (3)其中Kg為卡爾曼增益(Kalman Gain)：Kg(k)= P(k|k-1) H / (H P(k|k-1) H + R) (4)到現在為止，我們已經得到了k狀態下最優的估算值X(k|k)。但是為了要另卡爾曼濾波器不斷的運行下去直到系統過程結束，我們還要更新k狀態下X(

9、k|k)的covariance：P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) (5)其中I為1的矩陣，對于單模型單測量，I=1。當系統進入k+1狀態時，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。這樣，算法就可以自回歸的運算下去。使用C語言編程實現（核心算法）。程序1x_mid=x_last;/x_last=x(k-1|k-1),x_mid=x(k|k-1)p_mid=p_last+Q;/p_mid=p(k|k-1),p_last=p(k-1|k-1),Q=噪聲kg=p_mid/(p_mid+R); /kg為kalman filter，R為噪聲z_measure=z_real+f

10、rand()*0.03;/測量值x_now=x_mid+kg*(z_measure-x_mid);/估計出的最優值p_now=(1-kg)*p_mid;/最優值對應的covariancep_last = p_now;/更新covariance值x_last = x_now;/更新系統狀態值#include "stdio.h"#include "stdlib.h"#include "math.h"double frand() return 2*(rand()/(double)RAND_MAX) - 0.5); /隨機噪聲void mai

11、n()float x_last=0;float p_last=0.02;float Q=0.018;float R=0.542;float kg;float x_mid;float x_now;float p_mid;float p_now;float z_real=0.56;/0.56float z_measure;float sumerror_kalman=0;float sumerror_measure=0;int i;x_last=z_real+frand()*0.03;x_mid=x_last;for(i=0;i<20;i+)x_mid=x_last; /x_last=x(k-

12、1|k-1),x_mid=x(k|k-1)p_mid=p_last+Q; /p_mid=p(k|k-1),p_last=p(k-1|k-1),Q=噪聲kg=p_mid/(p_mid+R); /kg為kalman filter，R為噪聲z_measure=z_real+frand()*0.03;/測量值x_now=x_mid+kg*(z_measure-x_mid);/估計出的最優值p_now=(1-kg)*p_mid;/最優值對應的covarianceprintf("Real position: %6.3f n",z_real); /顯示真值printf("Mes

13、aured position:%6.3fdiff:%.3fn",z_measure,fabs(z_real-z_measure);/顯示測量值以及真值與測量值之間的誤差printf("Kalman position: %6.3f diff:%.3fn",x_now,fabs(z_real - x_now); /顯示kalman估計值以及真值和卡爾曼估計值的誤差sumerror_kalman += fabs(z_real - x_now); /kalman估計值的累積誤差sumerror_measure += fabs(z_real-z_measure); /真值與

14、測量值的累積誤差p_last = p_now; /更新covariance值x_last = x_now; /更新系統狀態值printf("總體測量誤差: %fn",sumerror_measure); /輸出測量累積誤差printf("總體卡爾曼濾波誤差: %fn",sumerror_kalman); /輸出kalman累積誤差printf("卡爾曼誤差所占比例: %d% n",100-(int)(sumerror_kalman/sumerror_measure)*100);其實作為應用我們只需知道卡爾曼輸入的兩個量，一個是測量值，

15、一個是預測值，程序都是成型的，重點還是在參數的調試上。整個算法中影響輸出的就是Kg的值，可以簡單的理解為一種加權行為，相信誰更多一點而已。代碼如下：說明：簡化版卡爾曼濾波程序2volatile float QingJiao = 0;  /最終準確角度輸出變量定義volatile float Gyro_Data = 0; /陀螺儀float Q =1,R =3900;    /調整卡爾曼的滯后 3900  static float RealData = 0,RealData_P =10000;float NowData = 0,NowD

16、ata_P =0 ;float Kg = 0,gyroscope_rate = 0,gyroscope_rat = 0,accelerometer_angle;volatile float gyroscope_angle=0                                           

17、            /用卡爾曼濾波時不用此變量int  Gyro1_zero=0;void kalman_update(void)   if(zeroflag>1000)                                    

18、;   /與開機自檢有關，沒用到的可以刪去                          zeroflag=1001;                                &#

19、160;       /確保zeroflag不會溢出/-           Acc_z = Acc_z 28850;      /加速度計采集的AD值減去直立時的輸出值                       Gyro1_zero=zerosub/1000;  &

20、#160;/陀螺儀開機自檢累加1000次后取均值 得到陀螺儀零偏值                      Gyro1  = Gyro1   Gyro1_zero;             /陀螺儀AD采集值減去陀螺儀零偏值             

21、;       Gyro_Data = Gyro1;                 accelerometer_angle=    Acc_z*180/(47915.71-12843.7);    /加速度計計算出的角度 歸一化到-90 到+90     gyroscope_rate = Gyro1*0.0235*0.005; 

22、0;/0.0235 是轉換角度的比例值 0.005是控制周期      gyroscope_rat =gyroscope_rat -Gyro1*0.0235*0.005;     /積分角速度得到角度/卡爾曼五個公式的算法實現                                 

23、0;                                                NowData = RealData -gyroscope_rate;    NowData_P = Q+RealData_P;    Kg = No

24、wData_P/(NowData_P+R);    RealData = NowData + Kg*(accelerometer_angle NowData);    RealData_P = (1-Kg)*NowData_P;      QingJiao =  RealData;    /將準確角度結果給QingJiao       程序3/float gyro_m：陀螺儀測得的量（角速度）/float incAngle:加計測得的角度值#define dt 0.02/卡爾曼濾波采樣頻率#define R_angle 0.5 /測量噪聲的協方差（即是測量偏差）#define Q_angle 0.0001/過程噪聲的協方差#define Q_gyro 0.0003 /過程噪聲的協方差 過程噪聲協方差為一個一行兩列矩陣float kalmanUpdate(const float gyro_m,constfloat incAngle) float K_0;/含有卡爾曼增益的另外一個函數，用于計算最優估計值 float K_1;/含有卡爾曼增益的函數，用于計算最優估計值的偏差