1、直線和圓知識點總結1、直線的傾斜角 ：（1）定義：在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線 l ，如果把 x 軸繞著交點按 逆時針方向轉 到和 直線 l 重合 時所轉的 最小正角 記為 ，那么 就叫 做直線的傾斜角。 當直線 l 與 x 軸重合或平行時， 規定傾斜角為 0；（ 2）傾斜角的范圍 0, 。 如（ 1）直線 xcos3y 2 0的傾斜角的范圍是 （答： 0， 5 ， ） ）；（ 2）66 過點 P（ 3,1）, Q（ 0, m） 的直線的傾斜角的范圍 , 2 ,那么m值的范圍是 33（答： m2或m 4 ）2、直線的斜率 ：（ 1）定義 ：傾斜角不是 90°的直線，它

2、的傾斜角的正切值叫這條直線 的斜率 k，即ktan （ 90°）；傾斜角為 90°的直線沒有斜率； （2）斜率公式 ：經過 y1 y2兩點 P1（x1,y1）、 P2（x2,y2）的直線的斜率為 k 1 2 x1 x2 ；（ 3）直線的方向向量 x1 x2a （1,k） ，直線的方向向量與直線的斜率有何關系？ （4）應用 ：證明三點共線： kAB kBC。 如（1） 兩條直線鈄率相等是這兩條直線平行的 條件（答： 既不充分也不必要） ；（2）實數x,y滿足3x 2y 5 0 （1 x 3），則 y的最大值、最小值分別為 （答：x2, 1 ）33、直線的方程 ：（ 1 ）點斜

3、式 ：已知直線過點 （x0,y0）斜率為 k ，則直線方程為 y y0 k（x x0） ,它不包括垂直于 x軸的直線。（2）斜截式 ：已知直線在 y軸上的截距為 b 和斜率 k ，則直線方程為 y kx b ,它不包括垂直于 x 軸的直線。（ 3）兩點式 ：已知直線經 過 P1（x1, y1）、 P2 （x2, y2 ）兩點，則直線方程為 y y1x x1 ，它不包括垂直于坐標軸y2 y1x2 x1的直線。（ 4）截距式 ：已知直線在 x軸和 y 軸上的截距為 a,b ,則直線方程為 x y 1，它 ab 不包括垂直于坐 標軸的 直線和 過原點的直線。（ 5）一般式：任何直線均可寫成 Ax B

4、y C 0（A,B 不同時為 0）的形式。如（1）經過點（2，1）且方向向量為 v =（1, 3） 的直線的點斜 式方程是 （答： y 1 3x（ 2）；（2）直 線（m 2）x （m2 1y） m（3，4不）管 m怎樣變化恒過點 （答： （ 1, 2） ）；（ 3）若曲線 y a|x |與 y x a（a 0） 有兩個公共點， 則 a 的取值范圍是 （答： a 1）提醒 ：（1） 直線方程的各種形式都有局限性 .（如點斜式不適用于斜率不存在的直線，還 有截距式呢？） ； （2） 直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0.直線兩截距相等直線的斜率為 -1 或直線過原點；直線兩截距互為相反數 直

5、線的斜率為 1 或直線過原點；直線 兩截距絕對值相等 直線的斜率為 1或直線過原點。 如過點 A（1,4） ，且縱橫截距的絕對 值相等的直線共有 _條（答： 3）4. 設直線方程的一些常用技巧 ：（ 1）知直線縱截距 b ，常設其方程為 y kx b；（2） 知直線橫截距 x0，常設其方程為 x my x0 （它不適用于斜率為 0 的直線 ）；（3）知直線過 點（x0,y0），當斜率 k存在時，常設其方程為 y k（x x0） y0 ，當斜率 k 不存在時，則其 方程為 x x0 ；（ 4）與直線 l :Ax By C 0平行的直線可表示為 Ax By C1 0；（5） 與直線 l :Ax B

6、y C 0垂直的直線可表示為 Bx Ay C1 0.提醒 ：求直線方程的基本思想和方法是恰當選擇方程的形式，利用待定系數法求解。5、點到直線的距離及兩平行直線間的距離Ax0 By0 C（1）點 P（x0,y0）到直線 Ax By C 0 的距離 d 0 0 ；A2 B2C1 C2（2）兩平行線 l1:Ax By C1 0,l2 :Ax By C2 0間的距離為 d 1 2 。A2 B2 6、直線 l1:A1x B1y C1 0與直線 l2: A2x B2y C2 0的位置關系 ： （1）平行A1B2 A2B1 0（斜率）且 B1C2 B2C1 0（在 y 軸上截距）；（2）相交A1B2 A2B

7、1 0 ；（3）重合A1B2 A2B1 0且 B1C2 B2C1 0 。A1B1C1A1B1A1B1C1提醒 ：（ 1）、 、 僅是兩直線平行、相交、重A2B2C 2A2B 2A2B 2C 2合的充分不必要條件！為什么？ （ 2）在解析幾何中，研究兩條直線的位置關系時，有可能 這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；（ 3）直線l1: A1x B1y C1 0與直線 l2 : A2x B2y C2 0垂直 A1A2 B1B2 0。如（ 1）設 直線 l1: x my 6 0和l2:（m 2）x 3y 2m 0，當 m 時l1l2；當 m 時l1 l2；當 m 時l1

8、與l2相交； 當m 時l1與l2重合（答： 11； ； m 3且m 1；3）；（2）已知直線 l的方程為 3x 4y 12 0，則與 l 平行，且2過點（ 1， 3）的直線方程是 （答： 3x 4y 9 0 ）；（ 3）兩條直線 ax y 4 0與 x y 2 0 相交于第一象限，則實數 a 的取值范圍是 （答： 1 a 2）；（4） 設a,b,c分別是 ABC 中A、B、 C 所對邊的邊長，則直線 sinA x ay c 0與 bx sinB y sinC 0的位置關系是 （答：垂直） ；（5）已知點 P1（x1,y1） 是直線l: f（x, y） 0上一點， P2（ x2, y2）是直線

9、l外一點，則方程 f（x,y） f（x1,y1） f（x2,y2） 0 所表示的直線與 l 的關系是 （答：平行） ；（6） 直線 l 過點（，） ，且被兩平行直線3x y 6 0和3x y 3 0所截得的線段長為 9，則直線 l 的方程是 （答：4x 3 y 4 0和x 1 ）7、到角和夾角公式 ：（ 1）l1到 l2的角是指直線 l1繞著交點按逆時針方向轉到和直線 l2重 kk合所轉的角 ， 0, 且 tan = 2 1 （k1k2 1）；（2）l1與 l 2的夾角是指不大于直1 k1k 2k 2 k1角的角 , （0, 且 tan = 2 1 （ k1k2 1 ）。提醒：解析幾何中角的問

10、題常用到2 1 k1k 2角公式或向量知識求解。 如已知點 M 是直線 2x y 4 0與 x軸的交點，把直線 l 繞點 M 逆時針方向旋轉 45°，得到的直線方程是 （答： 3x y 6 0 ）8、對稱（中心對稱和軸對稱） 問題代入法 ：如（1）已知點 M（a,b）與點 N 關于 x 軸對稱，點 P與點 N 關于 y軸對稱，點 Q 與點 P關于直線 x y 0對稱，則點 Q 的坐標 為（答： （b, a） ）；（ 2）已知直線 l1與l2的夾角平分線為 y x，若 l1的方程為ax by c 0（ab 0） ，那么 l2 的方程是 （答： bx ay c 0 ）；（ 3）點（，）關

11、于直線 l 的對稱點為 （2,7），則 l 的方程是 （答： y=3x3 ）；（ 4）已知一束光線通過點 （， ），經直線 l :3x 4y+4=0 反射。如果反射光線通過點 （， 15），則反射光線所在直線的方程是 （答： 18xy 51 0）；（5）已知 ABC頂點 A（3 ， ），邊上的中線所在直線的方程為6x+10y 59=0， B 的平分線所在的方程為 x4y+10=0 ，求邊所在的直線方程 （答： 2x 9y 65 0 ）；（6）直線 2xy 4=0 上有一點，它與兩定點（ 4, 1）、（ 3,4）的距離之差最大，則的坐標是 （答：（5,6）；（7）已知 A x軸， B l : y

12、 x ，C（2，1）， ABC周長的最小值為 （答： 10 ）。提醒 ：在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對稱求解。9、簡單的線性規劃 ：（1）二元一次不等式表示的平面區域： 法一： 先把二元一次不等式改寫成 y kx b 或 y kx b 的形式，前者表示直線的上方區域，后者表示直線的下方區域；法二：用特殊 點判斷；無等號時用虛線表示不包含直線 l ，有等號時用實線表示包含直線 l ；設點 P（x1,y1），Q（x2,y2），若 Ax1 By1 C與 Ax2 By2 C 同號，則 P，Q在直線 l 的同側， 異號則在直線 l的異側。 如已知點 A（2，4），B（4，2），且直線 l:

13、 y kx 2與線段 AB 恒相交，則 k 的取值范圍是 （答： ，3 1， ）（2）線性規劃問題中的有關概念： 滿足關于 x, y的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件。 關于變量 x, y 的解析式叫目標函數，關于變量 x, y 一次式的目標函數叫線性目標函 數； 求目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，稱為線性規劃問題； 滿足線性約束條件的解（ x, y ）叫可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域； 使目標函數取得最大值或最小值的可行解叫做最優解；（3）求解線性規劃問題的步驟是什么？根據實際問題的約束條件列出不等式；作 出可行域，寫出目標函數；確定目標函數的最優位置，從而

14、獲得最優解。 如（ 1）線性目 標函數 z=2xy 在線性約束條件 | xy| 11下，取最小值的最優解是 （答：（ 1，1）；（ 2）| y | 12 點（， t）在直線 2x3y+6=0 的上方，則 t的取值范圍是 （答： t）；（3）3 不等式 |x 1| | y 1| 2表示的平面區域的面積是 （答： 8）；（4）如果實數 x,yxy20滿足 x y 4 0 ，則 z |x 2y 4 |的最大值 （答： 21）2x y 5 0（ 4）在求解線性規劃問題時要注意 ：將目標函數改成斜截式方程；尋找最優解時 注意作圖規范。10、圓的方程 ：22圓的標準方程： x a 2 y b 2 r 2

15、。圓的一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0（D 2 E24F 0） ，特別提醒 ：只有當2 2 2 2 D ED 2 E 24F 0時，方程 x2 y2 Dx Ey F 0才表示圓心為 （ , ） ，半徑為221 D2 E2 4F 的圓（二元二次方程 Ax2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0表示圓的充要2 條件是什么？ （ A C 0,且 B 0且 D2 E2 4AF 0）；圓的參數方程： x a rcos （ 為參數），其中圓心為 （a,b），半徑為 r 。圓的參 y b r sin數方程的主要應用是三角換元：x2 y 2 r 2x r cos , y r sin ； x2 y2

16、tx r cos , y r sin （0 rt ） 。 A x1,y1 ,Bx2, y2為直徑端點的圓方程 xx1xx2yy1yy20如（1）圓 C與圓（x 1）2 y2 1關于直線 y x對稱，則圓 C的方程為 （答：x2 （y 1）2 1）；（2）圓心在直線 2x y 3 上，且與兩坐標軸均相切的圓的標準方程是 （答： （ x 3）2 （y 3）2 9或（x 1）2 （y 1）2 1 ）；（ 3）已知 P（ 1, 3） 是 圓 x r cos （ 為參數， 0 2 ） 上的點，則圓的普通方程為 ，P 點對應的y rsin值為 ，過 P 點的 圓的切線方程是 （答： x2 y24 ； 2

17、；3x 3y 4 0）；（ 4）如果直線 l將圓： x 2+y 2-2x-4y=0 平分，且不過第四象限，那么 l 的 斜率的取值范圍是 （答： 0，2 ）；（5）方程 x2+yx+y+k=0 表示一個圓，則實數 k 的取值范圍為 （答： k 1 ）；（6）若 M （x,y）| xy 33csoins （ 為參數， 0 ） ，N （x,y）| y x b ，若 M N ，則 b的取值范圍是 （答： 3,3 2 ）2211、點與圓的位置關系 ：已知點 M x0, y0 及圓 C：x-ay b r 2 r 0 ，（ 1）2 2 2點 M 在圓 C外 CM rx0 ay0 br2；（2）點 M 在圓

18、 C內2 2 2 2CM rx0ay0br2；（3）點 M 在圓C 上CM rx0a2 2 2y0 br 2。如點P（5a+1,12a）在圓（x ）y2=1的內部 ,則a的取值范圍是 （答：1|a| 113 )12、直線與圓的位置關系22：直線 l: Ax By C 0和圓 C：x a y br 2r 0 有相交、相離、相切?？蓮拇鷶岛蛶缀蝺蓚€方面來判斷：（ 1）代數方法（判斷直線與圓方程聯立所得方程組的解的情況） ： 0 相交； 0 相離； 0 相切； （ 2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大?。涸O圓心到直線的距離為 d ，則d r 相交； d r 相離； d r 相切。 提醒 ：

19、判斷直線與圓的位置關系一般用幾22何方法較簡捷。 如（ 1）圓 2x2 2y 2 1與直線 xsin y 1 0（ R, k ，k z） 的位置關系為 （答：相離） ；（ 2）若直線 ax by 3 0與圓 x2 y2 4x 1 0 切于點 P（ 1,2） ，則ab的值 （答：2）；（3）直線 x 2y 0被曲線 x2 y2 6x 2y 15 0所截得的弦長等于 （答： 4 5 ）；（4） 一束光線從點 A（ 1,1）出發經 x 軸反射到圓 22C:（x-2） 2+（y-3） 2=1 上 的最短 路程是（答 ：4）；（5） 已知 M （ a, b）（ ab 0）是 圓2 2 2 2O: x2

20、y2 r2內一點，現有以 M 為中點的弦所在直線 m 和直線 l:ax by r2 ，則 A m/l ，且 l 與圓相交B l m ，且 l 與圓相交C m/l ，且 l 與圓相離22D l m，且 l 與圓相離（答： C ）；（ 6 ）已知圓 C： x2 （y 1）2 5 ，直線 L： mx y 1 m 0 。求證：對 m R，直線 L 與圓 C總有兩個不同的交點；設 L 與圓 C交于 A、B 兩點，若 AB 17，求 L 的傾斜角；求直線 L 中，截圓所得的弦最長及 最短時的直線方程 . （答： 60 或 120最長： y 1，最短： x 1）13、圓與圓的位置關系 （用兩圓的圓心距與半徑

21、之間的關系判斷） ：已知兩圓的圓心分 別為 O1，O2，半徑分別為 r1, r2 ，則（1）當O| O1 2 1 r 2 r 時，兩圓外離；（ 2）當O| O1 2 1 r2 r 時，兩圓外切； （ 3）當 r1 r2 <|O1O2 r1 r2 時，兩圓相交； （ 4）當|O1O 2 r1 r2 |時，兩 x2 y2圓內切；（5）當 0 |O1O2 r1 r2 | 時，兩圓內含。 如雙曲線 2 2 1的左焦點為 F1， ab頂點為 A1、A2，P 是雙曲線右支上任意一點，則分別以線段PF1、A1A2 為直徑的兩圓位置關系為 (答：內切)14、圓的切線與弦長 ：2 2 2 2(1)切線： 過圓 x2 y2 R2上一點 P(x0, y0)圓的切線方程 是： xx0