1、【鞏固練習鞏固練習】一、選擇題一、選擇題1. 設平面內兩個向量的坐標分別為（1，2，1） ， （-1，1，2） ，則下列向量中是平面的法向量的是( )A. （-1，-2，5） B. （-1，1，-1） C. （1， 1，1） D. （1，-1，-1）2. 如圖，是正方體，則與所成角的余弦值是1111ABCDABC D1111114ABB E =D F=1BE1DF（ ）A B171521CD178233. 如圖，是直三棱柱，點分別是的中點，111ABCABC90BCA11DF、1111ABAC、若，則與所成角的余弦值是（ ）1BCCACC1BD1AFAB 103021CD153010154.

2、若向量與的夾角的余弦值為，則( )(12)a，(21 2)b，89A B C或D2 或2222552555. 在三棱錐中，點分別是的中點，PABC、ABBC12AB=BC=PAOD、ACPC、底面，則直線與平面所成角的正弦值（ ）OPABCODPBCA B 621338C D60210302106.（2015 秋 湛江校級期末）在正四棱錐 SABCD 中，O 為頂點在底面內的投影，P 為側棱 SD 的中點，且 SO=OD，則直線 BC 與平面 PAC 的夾角是（ ）A30 B45 C60 D757. 在三棱錐中，點分別是的中點，PABC、ABBC1=2AB BCPAOD、ACPC、底面，則直線

3、與平面所成角的正弦值是（ ）OPABCODPBC A B C D2168 332106021030二、填空題二、填空題8若平面的一個法向量為，直線 的一個方向向量為，則 與所成330n、l111=b、l角的余弦值為 _9正方體中，分別為的中點，則異面直線與所1111ABCDABC DEF、1ABCC、EF11AC成角的大小是_.10. 已知三棱錐SABC中，底面ABC為邊長等于 2 的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為 . 11. 如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，,45ABAE FAFE

4、AEF，則平面和平面的夾角余弦BDFABD值是_.三、解答題三、解答題12. 如圖，點在正方體的對角線上，.P1111ABCDABC D1D B60PDA （）求與所成角的大??；DP1C C（）求與平面所成角的大小.DP11A ADD13. 如圖，四棱錐的底面是菱形，其對角線，FABCDABCD2AC 2BD AE都與平面垂直，求平面與平面的夾角大小.CFABCD1AE 2CF ABFADF14. 如圖（1） ，在 Rt中，90，3，6，分別是，ABCCBCACDE、AC上的點，且，將沿折起到的位置，使ABDEBC2DE、ADEDE1A DE，如圖（2） 1A CCD(1)求證：平面；1A C

5、BCDE(2)若是的中點，求與平面所成角的大??；M1A DCM1A BE(3)線段上是否存在點，使平面與平面垂直？說明理由BCP1A DP1A BE15(2016 浙江理)如圖，在三棱臺 ABC-DEF 中，平面 BCFE平面 ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3()求證：EF平面 ACFD；()求二面角 B-AD-F 的平面角的余弦值. 【答案與解析答案與解析】1.【答案】B 【解析】排除法. 平面的法向量與平面內任意直線的方向向量垂直，即它們的數量積為零. 排除 A，C，D，選項為 B.2.【答案】A 【解析】設正方體的棱長為 1，以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則DD

6、-xyz1131(1,1,0),(1,1),(0,0,0),(0,1)44BEDF所以，131(1,1)(1,1,0)(0,1)44BE ，111(0,1)(0,0,0)(0,1)44DF ，1174BE ，1174DF ，1111150 0() 1 14416BEDF 所以，111111cos,151516.17171744BEDFBE DFBEDF 因此，1BE與1DF所成的角的余弦值是15173.【答案】A 【解析】如圖所示，以為原點建立的空間直角坐標系，C 則1111,0,0 ,0,1,0 ,0,0,1 ,1,0,1 ,0,1,1 ,ABCAB 由中點公式可知，111 111012 2

7、2DF、 ，11111101222BDAF 、 .111-1304cos103524BDAF A、4.【答案】C 【解析】由可得，即，cos=a ba babA、25510840 25520 即或.2= 255=5.【答案】D【解析】 .22214214,0,0 ,0,0 ,0,00 0.,0,222244OPABCOAOCABBCOAOBOAOPOBOPOOPzOxyzABaAaBaCaPDaa 平面， ，以為原點，射線為非負軸，建立空間直角坐標系如圖，設，則，214,0,4411,1,7210cos,.30210sincos,30210.30ODaaPBCnOD nOD nODnODPBC

8、OD nODPBC 可求得平面的法向量 設與平面所成的角為，則 與平面所成角的余弦值為6.【答案】A【解析】如圖，以 O 為坐標原點，以 OA 為 x 軸，OB 為 y 軸，以 OS 為 z 軸，建立空間直角坐標系 Oxyz。 設 OD=SO=OA=OB=OC=a，則 A（a，0，0） ，B（0，a，0） ，C（a，0，0） ，(0,)2 2a aP則，(2 ,0,0),(,),( , ,0)2 2a aCAaAPaCBa a 設平面 PAC 的一個法向量為，n則，0,0n CAn AP ，可取，20220axayaz(0,1,1)n ，21cos,2| |22CB naCB nCBna ，,

9、60CB n 直線 BC 與平面 PAC 的夾角為 9060=30故選 A。7.【答案】D 【解析】.222,0,0 ,0,0 ,0,0 .2220,0,.OPABCOAOCABBCOAOBOAOPOBOPOOPzOxyzABaAaBaCaOPhPh 平面， ，以為原點，射線為非負軸，建立空間直角坐標系如圖，設，則設，則2 ,7,2214,0,4411,1,7210cos,.30210sincos,30.PAahaODaaPBCnOD nOD nODnODPBCOD n 可求得平面的法向量 設與平面所成的角為，則 8.【答案】33【解析】 由，知 與所成角的余弦值為22(3,3,0) (1,1

10、,)6cos3331 1 1 n,bl.631939.【答案】30 【解析】 以 A 為原點建立直角坐標系（如圖所示） ，設 B（2，0，0） ，則 E（1，0，0） ，F（2，2，1） ，C1（2，2，2） ，A1（0，0，2） ，(1,2,1)EF 11(2,2,0)AC ，111111(1,2,1) (2,2,0)3cos,2| |6 2 2EF ACEF ACEFAC zyxPODCBA .11cos,30EF AC 10.【答案】34 【解析】本題考查了立體幾何的線與面、面與面位置關系及直線與平面所成角.過 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E，連結 SE，過 A 作 AF

11、垂直于 SE 交 SE 于F，連 BF，正三角形 ABC， E 為 BC 中點， BCAE，SABC， BC面 SAE， BCAF，AFSE， AF面 SBC，ABF 為直線 AB 與面 SBC 所成角，由正三角形邊長3， 3AE ，AS=3， SE=2 3，AF=32， 3sin4ABF.11.【答案】3 1111 【解析】因為ABE 為等腰直角三角形，AB=AE，所以 AEAB. 又因為平面 ABEF平面 ABCD，AE平面 ABEF，平面 ABEF平面 ABCD=AB，所以 AE平面 ABCD.所以 AEAD.因此，AD，AB，AE 兩兩垂直，以 A 為坐標原點，建立 如圖所示的直角坐標

12、系 A-xyz.設 AB=1，則 B（0，1，0） ，D (1， 0， 0 ) ， E ( 0， 0， 1 )， C ( 1， 1， 0 ).因為 FA=FE， AEF = 45，所以AFE= 90.從而，1 1(0, )2 2F.所以，設平面 BDF 的一個法向量為1n，并設1n=（x，y，z）.，1 10BD= 、 3 102 2BF= 、 ， 由 得00.n BDn BF A A、0310.22x yyz、 取 y=1，則 x=1，z=3.從而1n113 （，）.由 AE平面 ABCD 可知，平面 ABD 的一個法向量為，0 01AE= 、設平面和平面的夾角為，則BDFABD.10033

13、 11coscos1111n AE= 、12.【解析】如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，設為單位長，則DDxyzDA=，=.連結，在平面 BB1D1D 內，延長 DP，交于點 H，BD11B D11B D設=( m 0 )， 由條件知 = 60.由=|cos ，可得 2m =.解得 m =.所以=.（）因為 cos=，所以=，即與所成的角的大小是 45.DP1CC（）因為平面的一個法向量是，又 cos=，所以=. 即與平面所成角的大小為 60.DP11A ADD 注意：由于點 P 在正方體 ABCD-A1B1C1D1的對角線 D1B 上且PDA=60，直接設點P 的坐標則會出現多個變量，因為

14、所求的兩問都是求與 DP 相關的角度問題，因此根據點P 的位置特征只確定 DP 所在的直線的位置即可，因此出現上面解法. 顯然盡管求解過程是用向量的坐標方法，但空間想象與思辨論證的要求并沒有降低，體現了對學生全面的幾何方法的考查.13.【解析】如圖，以為坐標原點，建立如圖的空間直角坐標系.設平面的法向量為，ABF則由得令，得.同理，可求得平面的法向量.ADF因為，所以平面與平面垂直.ABFADF所以平面與平面的夾角.ABFADF214.【解析】15.【解析】()延長 AD，BE，CF 相交于一點 K，如圖所示因為平面 BCFE平面 ABC，且 ACBC，所以 BFAC又因為 EFBC，BEEF

15、FC1，BC2，所以BCK 為等邊三角形，且 F 為 CK 的中點，則 BFCK所以 BF平面 ACFD()方法一：過點 F 作 FQAK，連結 BQ因為 BF平面 ACK，所以 BFAK，則 AK平面 BQF，所以 BQAK所以，BQF 是二面角 B-AD-F 的平面角在 RtACK 中，AC3，CK2，得3 1313FQ 在 RtBQF 中，得3 13313FQBF，3cos4BQF所以，二面角 B-AD-F 的平面角的余弦值為34方法二：如圖，延長 AD，BE，CF 相交于一點 K，則BCK 為等邊三角形取 BC 的中點 O，則 KOBC，又平面 BCFE平面 ABC，所以，KO平面 ABC以點 O 為原點，分別以射線 OB，OK 的方向為 x，z 的正方向，建立空間直角坐標系Oxyz由題意得，(1 0