1、東南大學(xué)考試卷(A卷)一.填空題(本題共5小題，每小題4分，滿分20分)1. limxsin =_ 2_；i x +12 .當(dāng)XTO時，a(x) = y + xarcsinx-yjcosx與0(x) = Z是等價無窮小，則3.設(shè)y = (1 + sinx)v,則dy |尸龍=_一/rdx_ ；4函數(shù)f(x) = xer在x = l處帶有Peano余項的二階Taylor公式為e + 2e(x 1) + (x 1) +o(x 1)_:2-2ev+ si nx,x 0二.單項選擇題(本題共4小題，每小題4分，滿分16分)6.設(shè)函數(shù)/(A)=一 ，貝J Cl-e(A) X = 0,A = 1都是/(X

2、)的第一類間斷點(B) A =0,X = l都是/(X)的第二類間斷點(C) x = 0是/(x)的第一類間斷點，x = l是/的第二類間斷點(D) x = 0是/(X)的第二類間斷點，x = l是/(x)的第一類間斷點Y = / 2 + 9/7.設(shè)函數(shù)y =y(x)由參數(shù)方程 一確迄 貝IJ曲線y =y(x)在兀=3處的切線y = ln(l + f)與兀軸交點的橫坐標(biāo)是C 8.以下四個命題中，正確的是C (A)若f(x)在(0,1)內(nèi)連續(xù),則/(X)在(0,1)內(nèi)有界(B)若/(x)在(0,1)內(nèi)連續(xù)，則/(x)在(0,1)內(nèi)有界(C)若在(0,1)內(nèi)有界，則y(x)在(0,1)內(nèi)有界(D)

3、若7(x)在(0,1)內(nèi)有界,則廣在(0,1)內(nèi)有界9.當(dāng)。取下列哪個數(shù)值時，函數(shù)f(x) = 2x3-9x2+2x-a恰有兩個不同的零點B (A) 2(B) 4(C) 6(D) 8三.計算題(本題共5小題，每小題7分，滿分35分)X).2 + e 1 + X=Inn-(A)i,n2+3(B)一扣2 + 3(C) 8 In 2 + 3(D) 81n2 + 310.X)X + X1一1+1 +X7 f32,t-i設(shè)F(x) = er-l-XG Fx)= ev-e3=limx In 2 +xx 2= 31n2n11+7=n + J n n + n + yJ2體設(shè)右求嚴(yán)2= + 忌嚴(yán)U)=(j)n2

4、f!+ (1_2曠14.設(shè)函數(shù)y = y(x)由方程sin(x2+ y2)+ex-xy2=0所確定,求業(yè)。dx/ 分 八,dv 2xcos(x2+y2) + ev-y2(2x + 2yy)cos (.+ y ) + ex-)廠-2xyy= 0 =“ 2y(x-cos(x，+ y2)四.（本題共4道題，滿分29分）15.（本題滿分6分）如果以每秒50cm3的勻速給一個氣球充氣，假設(shè)氣球內(nèi)氣壓保持常值，且形狀始終為球形，問當(dāng)氣球的半徑為5cm時.4, dV dVdr , . dr3d/dr dr dr50 = 100,dr26.（本題滿分7分）證明不等式:drV-lev 1 + xe2半徑增加的速

5、率是多少dr 12(x 0)X-e2t-i工 TY1l S1 limn+ yjn1由夾逼立理得其中(x) = e-l-, 0(O) = e亍一10, (x)=-2 2所以當(dāng)CO時,0(兀)單增,又因0(0)0,所以(x)0,從而F(x)no,所以F(x)單增，又因F(0) = 0 ,所以當(dāng)xAO時，F(xiàn)(x) F(0) = 0,所要證不等式成立。1 1 17.(本題滿分8分)在拋物線y = F上求一點p匕_/ ,(6/0),使弦P0的4I 4丿長度最短，并求最短長度，其中0是過點P的法線與拋物線的另一個交點。a28 + /(8 + /)八法線方程y = -j+2 +點0的坐標(biāo)-/4/(2分)f(a) = d2=當(dāng)G2逅時， 廣(a)0，a = 2 品是/)的唯一極小值點， 因而是最小值點。P(2,2),血n=6Q18.(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)/W在閉區(qū)間匕列上連續(xù)，在開區(qū)間(d,b)內(nèi)可導(dǎo)，且/(“)= /?,/(b) = G, i正明：(1)至少存在一點C (,/?),使得f(c)=c；(2)至少存在互異的兩點歹，已(,)，使得廣()廣()=10(x0)4(4 +/I=(),/(/o = Q)州0 =(加b(g) m J迄駙，q切pm(x)m O