1、2一、問題的提出實例實例: :曲線形構件的質量曲線形構件的質量oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii l. sm 勻質之質量勻質之質量分割分割,121insmmm ,),(iiis 取取.),(iiiism 求和求和.),(1 niiiism 取極限取極限.),(lim10 niiiism 近似值近似值精確值精確值近似近似3二、對弧長的曲線積分的概念二、對弧長的曲線積分的概念,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinlmmmllyxfxoyl并作和并作和作乘積作乘積點點個小段上任意取定的一個小段上任意取定的一為第為第又又個小段的長度為個

2、小段的長度為設第設第個小段個小段分成分成把把上的點上的點用用上有界上有界在在函數函數面內一條光滑曲線弧面內一條光滑曲線弧為為設設1.定義定義oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii l4.),(lim),(,),(,),(,010 niiiillsfdsyxfdsyxflyxf即即記作記作線積分線積分第一類曲第一類曲上對弧長的曲線積分或上對弧長的曲線積分或在曲線弧在曲線弧則稱此極限為函數則稱此極限為函數這和的極限存在這和的極限存在時時長度的最大值長度的最大值如果當各小弧段的如果當各小弧段的被積函數被積函數積分弧段積分弧段積分和式積分和式曲線形構件的質量曲線形構件的質量.),( ldsy

3、xm 52.存在條件：存在條件：.),(,),(存在存在對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分上連續時上連續時在光滑曲線弧在光滑曲線弧當當 ldsyxflyxf3.推廣推廣曲線積分為曲線積分為上對弧長的上對弧長的在空間曲線弧在空間曲線弧函數函數 ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 6注意：注意：)(,)(. 121llll 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 lllldsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 ldsyxflyxf曲線積分記為曲線積分記為上對弧長的上對弧長的在閉曲線在閉曲線函數函數74.性質性質 .),(),(),()

4、,()1( llldsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(為常數為常數kdsyxfkdsyxkfll .),(),(),()3(21 llldsyxfdsyxfdsyxf).(21lll 8三、對弧長曲線積分的計算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxllyxfl且且上具有一階連續導數上具有一階連續導數在在其中其中的參數方程為的參數方程為上有定義且連續上有定義且連續在曲線弧在曲線弧設設:基本方法基本方法,積分限由小到大積分限由小到大化為定積分化為定積分統一變量統一變量9)()()()(),(),(

5、 dtttttfdsyxfl22說明說明:22)()(dydxsdxyoydxdsdxtdtt)()(22 10注意注意: :;. 1 一定要小于上限一定要小于上限定積分的下限定積分的下限.,),(. 2而是相互有關的而是相互有關的不彼此獨立不彼此獨立中中yxyxf特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyl .)()(,),(dxxxxfdsyxfbal21 )(ba )(xyxx 22)()(dydxsdxdx)(21 11.)(:)2(dycyxl .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcl )(dc 類似類似)(3, )()(: rrlsdyxfl),( )sin)(,cos)(

6、rrf drr)()(2212推廣推廣:)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf13例例1).(,sin,cos:,象限象限第第橢圓橢圓求求 tbytaxlxydsil解解dttbtatbtai2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin abduubaab222)cossin(2222tbtau 令令.)(3)(22bababaab 14例例2. 計算,lsdy其中l是拋物線2xy b(1,1) 之間的一段弧 . 解解:)(:102xxyllsdy102xxdx2

7、21)(xdxx102411023241121)(x)(1551211lxy2xy b(1,1)o上點o(0,0)與15例例3ldsyx)(22yyxl2:22其中第四象限部分，如圖 解法：因為l方程 22yyx02y22212222yyyyyydydx2222212111yyyyydydx)()(dyyyyyydsyxl202222221242202dyy16解法 yyxl222:因為l參數方程為 tytxsincos122 t12222tttytxcossin)()(22222222121 dttdtttdsyxlsin)sin(cos422222 dtttcossin17例例4. 計算,

8、sdxil其中l為雙紐線)(0222222ayxayx 解解: 在極坐標系下,cos: 222arl它在第一象限部分為)(cos:4021 arl利用對稱性, 得sdxil1440224 drrr)()(cos4024 da cos222ay y185例例,)(ldsyx計計算算為為頂頂點點的的回回路路是是以以其其中中),(),(),(1101000bal:解解boaboaldxdsxyoa, 10, 0:dydsyxab,:101dxdsxxybo210,:boaboaldsyx)(10101021dxxxdyyxdx)()(22 19例例6.計算曲線積分 ,)(sdzyx222其中為螺旋線

9、)(,sin,cos 20ttkztaytax的一段弧 .解解: sdzyx)(222 20222)()sin()cos(tktatatdtkaka 2022222 20322223tktaka)(222224332kaka tdktata222)cos()sin(20 dsd 例例7. 計算,sdzyxi222其中 129222zxzyx:解解: 1124122121zxyx)(: 2221 sincos: yx 2022 sin22 cos22 sin 1822920di d2cos221z21例例8. 計算,sdx2其中為球面 被2222azyx平面 所截的圓周. 0zyx解解: 由對稱

10、性可知sdx2sdy2sdzyxsdx)(222231sdz2sda231aa 2312332a 22思考思考sdyxxyl)432(22.,:ayxl其周長為其周長為其中其中13422利用對稱性02sdxylo22yx3sdyxl)(341222原式原式sdl12a1223四、幾何與物理意義,),()1(的線密度時的線密度時表示表示當當lyx ;),( ldsyxm ;,1),()2( ldslyxf弧長弧長時時當當,),(),()(處的高時處的高時柱面在點柱面在點上的上的表示立于表示立于當當yxlyxf3.),(ldsyxfs柱面面積柱面面積sl),(yxfz 24,)4(軸的轉動慣量軸的

11、轉動慣量軸及軸及曲線弧對曲線弧對yx.,22lylxdsxidsyi曲線弧的重心坐標曲線弧的重心坐標)5(., lllldsdsyydsdsxx 25例例9.計算半徑為r ,中心角為2的圓弧 l 對于它的對稱軸的轉動慣量 i (設線密度 ). 1解解: 建立坐標系如圖,則rxyolsdyil2)(sincos: ryrxl drrr2222)cos()sin(sin dr23sin 034222sinr)cossin( 3r26五、小結1 1、對弧長曲線積分的概念、對弧長曲線積分的概念2 2、對弧長曲線積分的計算、對弧長曲線積分的計算3 3、對弧長曲線積分的應用、對弧長曲線積分的應用27951

12、10p習題9 , 8 , 6 , 4 , 3 , 2a組組28思考題思考題對弧長的曲線積分的定義中對弧長的曲線積分的定義中 的符號的符號可能為負嗎？可能為負嗎？is 29思考題解答思考題解答is 的符號永遠為正，它表示弧段的長度的符號永遠為正，它表示弧段的長度.30一、一、 填空題填空題: :1 1、 已知曲線形構件已知曲線形構件l的線密度為的線密度為),(yx , ,則則l的質量的質量m= =_；2 2、 lds= =_；3 3、 對對_的曲線積分與曲線的方向無關；的曲線積分與曲線的方向無關；4 4、 ldsyxf),(= = dtttttf)()()(),(22中要中要求求 _ . .二、

13、二、 計算下列求弧長的曲線積分計算下列求弧長的曲線積分: : 1 1、 lyxdse22, ,其中其中l為圓周為圓周222ayx , ,直線直線xy 及及x軸在第一象限內所圍成的扇形的整個邊界；軸在第一象限內所圍成的扇形的整個邊界；練習題練習題31 2 2、 yzdsx2, ,其中其中l為折線為折線abcd, ,這里這里dcba, 依次為點依次為點(0,0,0)(0,0,0), ,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3 3、 ldsyx)(22, ,其中其中l為曲線為曲線 )cos(sin)sin(costttaytttax )20( t； 4 4、計算、計算 ldsy, ,其中其中l為雙紐線為雙紐線 )0()()(222222 ayxayx . .三、設螺旋形彈簧一圈的方程為三、設螺旋形彈簧一圈的方程為taxcos , ,taysin , ,ktz , ,其中其中 20t, ,它的線密度它的線密度222),(zyxzyx , ,求求: : 1 1、它關于、它關于z軸的轉動軸的轉動zi慣慣量量； 2 2、