1、第四章第四章 微分方程模型微分方程模型4.1 傳染病模型傳染病模型4.2 經濟增長模型經濟增長模型4.3 藥物在體內的分布與排除藥物在體內的分布與排除動態動態模型模型 描述對象特征隨時間描述對象特征隨時間(空間空間)的演變過程的演變過程 分析對象特征的變化規律分析對象特征的變化規律 預報對象特征的未來性態預報對象特征的未來性態 研究控制對象特征的手段研究控制對象特征的手段 根據函數及其變化率之間的關系確定函數根據函數及其變化率之間的關系確定函數微分微分方程方程建模建模 根據建模目的和問題分析作出簡化假設根據建模目的和問題分析作出簡化假設 按照內在規律或用類比法建立微分方程按照內在規律或用類比法

2、建立微分方程4.1 傳染病模型傳染病模型問題問題 描述傳染病的傳播過程描述傳染病的傳播過程 分析受感染人數的變化規律分析受感染人數的變化規律 預報傳染病高潮到來的時刻預報傳染病高潮到來的時刻 預防傳染病蔓延的手段預防傳染病蔓延的手段 按照傳播過程的一般規律，按照傳播過程的一般規律，用機理分析方法建立模型用機理分析方法建立模型 已感染人數已感染人數 (病人病人) i(t) 每個病人每天有效接觸每個病人每天有效接觸(足以使人致病足以使人致病)人數為人數為 模型模型1 1假設假設ttititti)()()(若有效接觸的是病人，若有效接觸的是病人，則不能使病人數增加則不能使病人數增加必須區分已感染者必

3、須區分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?sidtdi1)()(tits模型模型2 2區分已感染者區分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)假設假設1）總人數）總人數N不變，病人和健康不變，病人和健康 人的人的 比例分別為比例分別為)(),(tsti 2）每個病人每天有效接觸人數）每個病人每天有效接觸人數為為 , 且且使接觸的健康人致病使接觸的健康人致病建模建模ttNitstittiN)()()()(0)0()1(iiiidtdi 日日接觸率接觸率SI 模型模型teiti1111)(00)0()1(iii

4、idtdi模型模型21/2tmii010t11ln01itmtm傳染病高潮到來時刻傳染病高潮到來時刻 (日接觸率日接觸率) tm 1itLogistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm, di/dt 最大最大模型模型3傳染病無免疫性傳染病無免疫性病人治愈成病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染為健康人，健康人可再次被感染增加假設增加假設SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例為）病人每天治愈的比例為 日日治愈率治愈率ttNittitNstittiN)()()()()(建模建模/ 日接觸率日接觸率1/ 感染期感染期 一個感染期內一個感染期內每個病人的每個病人的有效接觸人數，稱為有效接觸

5、人數，稱為接觸數接觸數。0)0()1(iiiiidtdi1,01,11)(i)11 (iidtdi模型模型3i0i0接觸數接觸數 =1 閾值閾值/1)(ti形曲線增長按Sti )(感染期內感染期內有效接觸感染的有效接觸感染的健康者人數不超過病人數健康者人數不超過病人數小01i1-1/ i0iiidtdi)1 (模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/ i0t 1di/dt 1/ i(t)先升后降至先升后降至0P2: s01/ i(t)單調降至單調降至01/閾閾值值P3P4P2S0ssss00lnln模型模型4SIR

6、模型模型預防傳染病蔓延的手段預防傳染病蔓延的手段 (日接觸率日接觸率) 衛生水平衛生水平 (日日治愈率治愈率) 醫療水平醫療水平 傳染病不蔓延的條件傳染病不蔓延的條件s01/ 的估計的估計0ln1000sssis0i忽略 降低降低 s0提高提高 r0 1000ris 提高閾值提高閾值 1/ 降低降低 (= / ) , 群體免疫群體免疫模型模型4SIR模型模型被傳染人數的估計被傳染人數的估計0ln1000sssis記被傳染人數比例記被傳染人數比例ssx00)211 (200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xxT, c1(t)和和 c2(t)按指數規律趨于零按指數規律趨于零藥物以

7、速率k0進入中心室0Tt 0010 xkf )(0tx吸收室中心室000010)0()(Dxxktx tkttEeBeAetc01)(1tkeDtx0100)(tkekDtxktf010100010)()(3. .口服或肌肉注射口服或肌肉注射相當于藥物相當于藥物( 劑量劑量D0)先進入吸收室，吸收后進入中心室先進入吸收室，吸收后進入中心室吸收室藥量吸收室藥量x0(t)2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktcEBAcc,0)0(, 0)0(21ttBeAetctc)()(11參數估計參數估計各種給藥方式下的各種給藥方式下的 c1(t), c2(t) 取決于參數取決于參數k12, k21, k13, V1,V2t=0快速靜脈注射快速靜脈注射D0 , ,在在ti(i=1,2,n)測得測得c1(ti)()()()(212110