1、精品資料第三章地震波動方程現在，我們用前一章提出的應力和應變理論來建立和解在均勻全空間里彈性波傳播的地震波動方程。這章涉及矢量運算和復數，附錄 2對一些數學問題進 行了復習。3.1 運動方程 (Equation of Motion )前一章考慮了在靜力平衡和不隨時間變化情況下的應力、 應變和位移場。然 而，因為地震波動是速度和加速度隨時間變化的現象， 因此，我們必須考慮動力 學效應，為此，我們把牛頓定律(F ma)用于連續介質。3.1.1 一維空間之振動方程式質點面上由于應力差的存在而使質點產生振動。如圖1-3所示，考慮一薄棒向 x軸延伸，其位移量為 u :則其作用力為“應力”Fig3-1X

2、"其所在的質點面積”，所以其兩邊的作用力差為可修改ds x dx x dxds x慣量（inertia ）為dxds -2t所以得出2（3-1 ）_u _t2 x其中p為密度(densityo-為應力（stress ） = E -U x3-1式表示，物體因介質中的應力梯度(stress gradient )而得到加速度。如果p與E為常數，則3-1式可寫為2.2(3-2 )u1u2-222x c t運用分離變量法求解(3-2)式，設u=F(x)T(t),(3-2)式可以變為1XT XT c則可得：Tt,X考慮歐拉公式:cos( t) i sin(t), e i t cos(t) i s

3、in( t)i _ x ctu Ae ci_ x cti_ x ctBe c Ce ci _ x ctDe c(3-3 )其中 A,B,C,D為根據初始條件和邊界條件確定的常數。考慮到可正可負，方程式的解具有u f x ctg x ct的形式，其中f及g為波的函數，以c的波行速度向+x與-x方向傳遞。我們可以采用如下程序模擬地震波的傳播。平面波在均勻介質里沿x方向傳播,2ut2這里u是位移。對100公里的波長和假定4公里/秒的情況，我們寫出用有限差分法解這方程的計算機程序。用長度間距dx 1公里，時間問距dt 0.1秒。剪切波的齊次微分方程可表達為:假定在u (50公里)震源時間函數的形式為:

4、u50 t sin2t. 50<t <5 秒用u (0公里)的應力自由邊界條件和u (100公里)的固定邊界條件。用有限差分圖解來近似二次導數：2uUi 1 2Ui Ui 12xdx以4秒的間隔畫出1-33秒的圖。M = moviein(101);dx=1;dt=0.1;tlen=3;beta=4;%初始化變量，tlen為震源持續時間，beta為波傳播的速度u1=zeros(101,1);u2=u1;u3=u1; %u1為前一個時刻的各點的位移，u2為當前時刻的位移，u3為下一個時刻的位移值，開始均假定為零 t=0; jj=0； while (t<=33)%模擬的最長時間為

5、33秒for ii=2:100 rhs=betaA2*(u2(ii+1)-2*u2(ii)+u2(ii-1)/dxA2;%方程的解u3(ii)=dtA2*rhs+2*u2(ii)-u1(ii);% 對時間求導數end %左邊為自由邊界條件，右邊為固定邊界條件 u3(1)=u3(2);%左邊為自由邊界條件u3(101)=0.0;%右邊為固定邊界條件%左右兩邊為自由邊界條件 %u3(1)=u3(2);%左邊為自由邊界條件%u3(101)=u3(100);%右邊為自由邊界條件%左右兩邊為固定邊界條件 %u3(1)=0.0;%左邊為固定邊界條件%u3(101)=0.0;%右邊為固定邊界條件if(t&l

6、t;=tlen) u3(51)=(sin(pi*t/tlen).A2;% 地震震源時間函數end for ii=1:101 u1(ii尸u2(ii);u2(ii尸u3(ii);% 時刻的更新end plot(u2); %繪制目前的波形圖 ylim(-1.2 1.2); M(：,jj+1) = getframe；%獲得當前的圖像t=t+dt; %時間延長 end movie(M)%演示波形傳播3.1.2三維空間之振動方程式推導三維空間之振動方程式的過程，與上節中所采用的一維空間討論方式類似，如圖3-2所表示，先探討在 x方向之位移量u :Fig3-2dxdydz2ut7dx在y-z面上的作用力差

7、為：xx xdxxx xdydz在x-z面上的作用力差為：yx ydyyx ydxdz在x-y面上的作用力差為：zx zdzzx zdxdy慣量為:得出2 ut2xxyxzxfx(3-4 )其中 (Txx、 cryx 及 crzx 分別為 stress tensor在xx（x面方向、x力方向），yx （ y面方向、x力方向）及zx （ z面方向、x力方向）方向的分量。注意，在本講義中有關stress tensor的兩個下標（indexes ）之定義，依序為面的方向與力的方向。將 Oxx、（Tyx 及bzx與其對應的應變之關系代入3-4式可推導得出三維空間之振動方程式如下:2 ut22ufx(3

8、-5a )其中入及科為常數，而2、為 Laplacian operatory2z2 °以相同的方法，可以得出在 y及z方向的振動方程式，若其位移量分別為v與w ,則其相對應之振動方程式可分別表示如下:t22一 V fy y(3-5b )t22一 w fz z(3-5c )若以向量形式來統一表示 3-5a、b、c式，可改寫如下:t22,grad div u u f.(3-6 )其中u為位移向量，在x、y與z方向的位移分量分別為 u、v與w。其中fx, fy, fz為體力，只有在研究震源時，才考慮該體力。這是構成許多地震學理論基礎的基本方程，稱之為連續介質方程或運動方程。 體力f通常包括

9、重力項fg和震源項fs。在正常模型地震學中，重力項是頻率很低時的一個重要因子， 但對所觀 測到的典型波長范圍，即在體波和面波的計算中，通常可被忽略。在這本書后面我們將考慮震源項fso在沒有體力的情況下，有齊次運動方程:t22grad div u u (3-7)在場論中考慮到：(3.8)2u u u將其變為更常用的形式，即:(3.8)將這個式子代入（3.12 ）得到:2ut22 grad div urot (rot u)u 2 uu上式決定了在震源區以外，地震波的傳播。解真實地球模型的上述方程是地震學的重要部分，這樣的解給出了離震源某一距離的特定地點預期的地面運動, 通常稱為合成地震圖。3.1.

10、3體波（縱波與橫波）之振動方程式首先，我們考慮由介質伸縮所衍生的質點體積應變之振動方程式。從上節所描述的 單一方向（x、v、z）上之位移量（u、v、w）所導出的振動方程式，可以進一步地推求 體積應變所引發的振動方程式，由的基本定義可以很自然的聯想到分別將3-4a、3-4b以及3-4c三式分別對x、y與z微分之后再相加，忽略體力，即可得到下式：(3-7 )JJ 2t23-5b式對z另外，考慮剪切應變可能產生的振動方程式。若將 3-5c式對y微分、 微分，然后相減，忽略體力可得到下式：2.(3-7 )w v 2 w v1 2t y zy z其中括弧內的-v項就是質點運動繞x軸的扭轉角度。 y zF

11、ig3-3參考圖3-3 , 一個質點P （ y、z ）向逆時針方向扭轉到P'（ y、z）,扭轉角度為a x,若其扭轉半徑為r,根據幾何關系可得到：y r cos , z r sin其位移形變為v r x sin z x精品資料w r xcosy x將其分別對y及z微分且相加，得出1 w v2 nz1uw1v同理得至Uy 和 z -y 2zx2 x,所以質點扭轉的運動方程式可寫為:2x t22yJ2z（3-8 ）3-6式與3-8式可用通式描述如下：222-2 C . （3-9 ）t2其為典型之波動方程式。根據對3-8式而言,對3-6式而言,可得出 C Vi V . （ 3-10）,可得出

12、 C V2 J . （ 3-11 ）3-10可視為縱波（亦稱為 P波），因其質點運動方向與波的傳播方向相同（如圖 3-4）。Particle motion質點運動方向波傳方向Fig3-41-24視為橫波（亦稱為 S波），因為扭轉應變，其質點的轉動方向與波的傳播方向成正交。S波依其質點振動方向的不同可分為SV及SH,如圖3-5所示。SH wave波傳方向Fig3-5綜合以上所得，在完全彈性介質中，當其受外力作用時，產生兩種波相：縱波與橫波。由前節所述之各彈性系數的關系，我們可將3-10式以及3-11式寫為:可修改ViV2(V2Vi)其他彈性系數與速度的關系如下:_223Vi4V22V11V2(3

13、-12 )12V1V2(3-13 )242V1V 213 2(3-14 )E2c , V2 (3-15 )2 1其中3-13式可化為2V1111V21 2(3-16 )在地函內部，大部分的泊松比b接近于1/4。若產1/4 ,則2V13,V11.732 V2V2而且5 V2225 V125 V22若產1/2 ,即介質為純液體，則、E及V2皆為零V12地震所產生之彈性波， 穿過地球內部，藉由彈性波傳播所產生的速度變化,論以及彈性系數關系，我們可以探索地球內部的情況。3.1.4地震波的勢位移u往往可以根據P波的標量勢和S波的矢量也：那么有:參考彈性理(3.25 )(3.26 )將其代入t2t2（根據

14、3.13）（因為0)(3.27 )(- y(- z將(3.27 )代入w、Q )y?x2xt2)?y可得:(3.29 )P波的解由3.3平面波式(3.28 )和(3.29 )具有相同的形式，它們在直角坐標系可以表不為:2f2fx2f y2fz我們用分離變量法來尋找X(x)Y(y)Z(z)T(t)形式的解。每個因子是僅僅一個變量的函數。由上式可得:22V 22、/22rc d X c d Y c d Z1 d2T222X dx2Y dy2Z dz2T dt2、-士 工 1 d T 這息味著一dt2是常數,2令其為 可得:d2T 2_ n菽T Q同理，對于某常數kx,ky,有2 k2X0,dxik

15、xt eikyy k；Z Q dzikzZ e的標量波動方程給出，S波的解由的矢量波動方程給出。2應注意，k2 = k2 k2,因此解可由三個量，k”ky ,而不是c四個量來表示。類似于一維形式的推導。該方程可以有如下形式的通解:f x,y,z,tfi tnxX nyy nzzf2n*x nyy “z其中kxnx ,kcny .一,kzcnzc2nx2nyn2 1令 n*x nvy n7z n rx y znxX nyynzzconst當 t=t1 時，nXx nyy當 t=t2 時，nxX nyy看finzznzzt-x nyyc(ti a)c(t2 a)“z的物理意義a)的平面，第二式為離

16、原點距類似地,n*x nyy“z表示以速度c向-n方向傳播的平面波。由平面解析幾何知識可知第一式為離原點距離為c(t1離為c(t2 a)的平面，并且兩平面的法線方向都為nx,ny,nz。因此兩平面之間的距離為c(t2 ti),為波從ti時刻傳播到t2時刻所傳播的距離，傳播的速度恰為c,這也是為什么我們在波動方程中將其稱之為速度的原因。任意函數都可以寫成簡諧平面波疊加的形式根據Fourier疊加原理，可以把屋里上實際存在的平面波動，以數學形式分解成抽 象的、覆蓋整個頻率范圍的平面波的積分來表示：J*f t cnjXjc dt實際問題不考慮因此通常取f(r,t,)為方程的基本解。而 ？為波傳播的方

17、向,由于c為波的傳播速度，通常稱n? 、 一 口為慢度矢量。對不同的Ac做Fourier疊加即可得到任意函數形式的平面波。引進平面波的概念很有幫助。平面波是一個位移只在波的傳播方向上變化，在與波傳播方向相互垂直的方向上，位移為常數的波動方程的解。例如，沿 x軸 傳播的波，位移可表達為：u x,t f t xc(3.30)這里c是波的速度，f是任意函數(矢量函數需表達出波的偏振)，這波沿x或x方向傳播。位移不隨y或z變化。在Y、Z方向上，波無限擴展。如果 f(t)是離散的脈沖，那么假定u有以平面波陣面傳播的位移脈沖形式。更普遍地 說，在位置矢量X處，平面波在單位矢量§方向傳播的位移可表

18、達為：u(x,t) f (t s? x/c)(3.31 ) (3.32 )這里s ?/c是慢度矢量，它的值是速度的倒數。由于地震能量通常由局部的震源輻射出來，地震波陣面總有某種程度的彎 曲。然而，在離震源足夠大的距離，波陣面平坦到足以使平面波的近似在局部上 是正確的。因此，許多解地震波動方程的方法總是把整個解表達為不同傳播角度 的平面波的和。往往通過變換到頻率域，從方程中去掉與時間的依賴關系。 在這 種情況下，可以把特定角頻率的位移表達為：u x,t Aei t sx(3.33 )A e i t kx(3.34 )這里k s/c?叫做波數矢量。在這本書中，我們將用復數來表示諧波。其詳細情況在附

19、錄2中作了復習。把諧波稱為單色的平面波，有時也把它叫做調 和的或穩態平面波解。用來描述這樣的波的其他參數是波數k |k/c,頻率f /2 ,周期T /f和波長cTo波數為單位長度內波的震動次數。在波的傳播過程中，某一振動狀態（周相）在單位時間內傳播的距離為波速 c,因此波速又叫做相速。應注意介質中各質點的振動速度和波的傳播速度 c是兩個 完全不同的概念。振動速度由震源確定，它是周期性變化的，而波速的大小只與 介質性質有關。將不同的諧波參數歸納于表3.1。表3.1諧波參數2T1TckcT3.4 P波和S波的偏振考慮沿x方向傳播的P波，根據（3.28）式有:(3.35 )2 xx tt可以把（3.

20、35 ）式的解寫成:(3.36 )這里減號相應于沿 x方向傳播，加號相應于沿x方向傳播。因為U有:(3.37 )UxuyUz注意對沿x方向傳播的平面波，在y和z方向沒有變化，所以空間導數y和z為 零。對P波僅在沿x軸波的傳播方向上有位移。這樣的波叫做縱波。而且因為0,運動是不旋轉的，或“無旋”的。由于 P波使介質體積發生變化， 所以P波也叫“壓縮”波或“膨脹”波。然而，要注意的是P波包括剪切和壓縮，這是為什么P波速度對體積模量和剪切模量反應都靈敏的原因。實際的 P 波諧振運動可以用圖3.2來說明。圖3.2 沿頁面水平傳播的諧振平面 P波（上面）和 S波（下面）的位移。S波純剪切，沒有體積變化。

21、而 P波包括材料體積的變化和剪切（形狀變化）。相對于地球實際的應變，這里應變被放大。現在考慮沿正x方向傳播的S波，矢量勢為:位移為:巾 xtX?ytXWztX2(3.38 )這里我們再用yuzuX(3.39 )z 0,u xzPy?(3.40 )運動在y和z方向，垂直于傳播方向。S波的實際運動往往可以分成兩個分量：在含傳播矢量的垂直面里的運動 （SV波）和取向與這個面垂直的水平運動 （SH波）。因為 uW 0,運動是純剪切的，沒有任何的體積變化（因此叫做剪切波）。在垂直方向偏振的剪切諧波（SV波）的質點運動如圖3.2所示。3.5 球面波如果我們假定球對稱，P波勢中的標量波動方程（3.28 ）就

22、可能有另外的解。在球坐標系里，拉普拉斯方程為：2 r 4一 r2 （3.41 ）r r r因為球對稱，這里去掉角的偏導數，由表達式（3.28 ）,即得到：1 212/、二一r2-f 0（3.42）r r rt在點r 0以外，方程的解可表達為：f t rr,t :（3.43 ）r注意到除了 1因子外，這與平面波方程（3.30 ）是相同的。分別用+和-號表示向 r內和向外傳播的波。因為這個表達式通常用來模擬從點源輻射的波，所以在正常情況下，1項表示波的振幅隨距離衰減的幾何擴散因子，在第6章將進一步的探r討。在r 0時，（3.43）不是方程（3.42）的正確的解。然而，這表明（例如Aki和Richa

23、rds,4.1節），（3.43）可能是以下非齊次方程的解：2 123 r rr 4 r f t（3.44 ）2 t2這里 r函數在r 0以外的任何地方都為零，它的體積積分為1。因子4 r f t表示在震源時間函數。在第9章討論震源理論時，我們將回到這個方 程上來。平面波的反射和折射地殼及地球內部是成層結構，內部有不少分界面。地表也可看作一個界面， 震源在各向同性的均勻介質中產生的地震波波陣面是成球形的一層一層向外傳 播，稱為球面波。因此，嚴格來講，我們應該討論球面波遇到分界面時的情況。 但當距離震源足夠遠時，也就是說震源到接收點的距離比波長大得多時， 作為一 種近似，可討論平面波在分界面上的行

24、為。 同時當 （為分界面的曲率半 徑），也可以將分界面看作平面，這樣可使討論大大簡化而不影響對許多現象本 質的揭示。同時，球面波在理論上可以看作是許多不同方向的均勻或不均勻的平 面波的疊加，因而先弄清了平面波在分界面上的行為， 也比較容易討論球面波在 分界面的行為。P波、SV波設平面波（指均勻的平面波）的傳播方向在 xz平面內，傳播方向就是波陣 面的法線方向，波的位移場可以表示為：u Up Us小 其中 滿足壓縮波的波動方程，小滿足剪切波的波動方程.由于均勻平面波波陣面上的 ，x，y, z為常數，而這里平面波傳播方向在XZ平面內，因此垂直于 xz平面的直線上的各點必在同一波陣面內，也就是：0o

25、p波產生的位移為:upvpWpup zP波產生的應力為zzzxzyezySV波的位移UsvUsvsvUsUsSV波產生的應力為:zzsvezz2zxsvezxx z2y2- zy-2" xzysvezy將上面兩式代入(1)式得:upusxxvp vszwpws分析界面條件，界面應力為:22zz2ezzuxwz2 .wz22y2 zx z2222ezxuwyyzx22zxx zxz2vwvzyezyzyz界面條件為界面兩邊應力相等，位移連續，即:zz zz', zx zx', zy zy'u u',v v',w w分析位移場在y方向的分量v, v

26、 vp vs vs,也就是v全部為橫波場的分量。 再由界面應力條件看，v只出現xy的表達式中，而u,w只出現在zz, zx的表達 式中。因此，SH波和P-SV波產生的波場是分離的。地球表面是一個特殊的分界面，它將無限介質劃分為兩個半空間， 地面以上 空氣介質，其密度與地面以下的巖石或海平面以下的海水層相比可以忽略。 地球 表面可以看成是一個彈性半空間表面， 表面下面視為理想彈性介質，表面上面為 空氣，這種界面稱為自由界面，自由界面上的應力作用為零。本節中將介紹彈性 波在自由表面上的反射。P波在自由界面的反射如圖所示，取xoy平面為自由表面，設有一 P波自下部介質入射到自由表面上，由于自由表面以

27、上不存在介質， 所以當波遇到自由表面時，只可能折回到原來的介質，而不會透過它，即只存在反射被而不存在透射波。當 P波入射到自由表面上時，為滿足自由表面處的邊界條件，反射波中會同時產生P波和SV波兩種成分，此時，SV波稱為轉換波。但是，由于 SH波的振動方向與P被和SV波的振動方向是相互獨立的，所以反射波中不會產生SH波。設入射P波為平面簡諧波，入射面為xOz平面，法線為z軸，入射P波的 入射角為id，反射SV波的反射角為is,由圖中各波的傳播方向與坐標軸方向的關系，它們的波函數可以寫為：Ae' t kxX kzZA t kxX kzZr t kxX kzZ這里 只考慮y分量，這是由于只

28、有y?產生XOz平面的振動。kx sinid, kx sinid, kx sinis式中，kz cosid, kz cosid, kz cosiszzzskx ,因此必有:由邊界條件可知，在z=0處，方程為eit kxXkzz,ei tkxX kzz,eitkxXkzz的線性組合（其中由于z=0,指數因子中的z因子全為零）。所以必有kx kxsin id sin id sin is這就是Snell定律，回憶一下幾何光學，可見上式與幾何光學中的折射定律 和反射定律完全一致，這是由于它們在本質上（波動性）有相同之處。而折射反 射定律正是反映了物質的波動相關的一種規律。在光學中是從光學實驗或惠更斯

29、原理得到了折射反射定律，而這里我們從波動方程和邊界條件出發也得到了它。我們在以后的推導中令上式為常數 p則波函數可以寫為:cosis i t px z1 Ae, 2A2ecosis t px zBeCOsis t px 則：P波產生的位移為:Wpup z 一zP波產生的應力為2 sin2id.2 cos id_2.2 cos idzz P2 . cos id2-一 2 .sin id2-2 . cos id2-2.cos id22.2 cos id 2sin2 id 2 sin2 id2. sin idzx p2 ezx2.iSV波的位移usvUs xWsvUs zSV波產生的應力為:zz s

30、vezz2zx svx z2 y2z2y-2x2.yI P一2 cos is2-z2py一一2 sin 1s根據邊界條件,可得:對于正應力:zz |z 0 zz Pzz sv2.IyP-z對于剪應力:zx |z 0 zx Pzx sv2.I將入射波反射波的勢的表達式代入可得:1 2 2p2 A A222 cosis -Ps B2 cosid2p-A1 A2 22 P B由第二個式子可得：-2 cosid pA1221 2 2p2代入第一式得到折射系數:A2A1,4 2 cos1s cos1d4 p sd，4 2 cosis cosid2 2 24 p 1 2 p反射系數為:“ 2 cosid

31、2 24 pd 1 2 p4 2 cosis cosidp 1 2 2p22由于p2sin id sin is2 sin2 k1 2 2嗎上 cos2is,代入上面的式子可得到:A2.22 c.Asin 2id sin 2iscos 2is-2 二.722 Asin 2id sin 2iscos 2is2B2sin 2id cos2is7 2二.；22 A sin 2id sin 2iscos 2is位移位的振幅并不表示質點的振幅,不具有實際物理意義，下面討論作為位移振幅比的反射系數。對于穩態傳播的P波，位移振幅為:勢振幅一；對于穩態傳播的S波振幅為：勢振幅一。我們可以舉例說明上面的式子成立，

32、如對于上面所表示的入射波：1 u pup XXcosisvpup y01 Wp up z其合成振幅為：J2 Wp2 一對于上面提到的SV波：usvu s xWsvus、.、.99其合成振幅為：y|usv|wsv|由此可知，入射P波在做自由界面上的反射 P波位移反射系數與勢反射系數相同，而反射SV波的反射系數為勢反射系數的 一倍，即2 八 八22八a?sin 2id sin 2iscos 2is- 2二. ；二.22 a1sin 2id sin 2iscos 2isb2 sin 2id cos2is一 2二.22 aisin 2id sin 2is cos 2is假定SV波入射到自由表面上，其勢

33、振幅為 A,入射角為is,反射SV波的勢 振幅為B,由反射定律可知其反射角為is,反射P波的勢振幅為C,反射角為ip, 則根據前面P波和SV波產生的勢的定義式和表面應力條件可得：c 22 _ 22zx 2 i p 1 2 p y1 y2 0zzz 1 2 12旦 :2P A 工 ° 2 2p2222i p30z z從而得到：2 22 cosis1 2 p A B 2p22 pC 02 cosie2 222 p s A B 1 2 2 p2 C 0由第一個式子可得:1 2 2p22 .2 2 cos ip2 p -,代入第二式得到折射系數:A2 cosis cosip4p p 2 co

34、sis cosip4p p將其帶入上面的式子得4Pcosis2p22p24p2cosis cosipsin is / 八 2由于p s、12P2 .2 sin is2-cos2is，代入上面的式子可得到:2 - -22Bsin2ipsin2iscos 2isT -2 22 Asin2ipsin2iscos 2is2C 2 sin 2id cos2isT-2 22 Asin2ipsin2iscos 2is考慮勢振幅和位移振幅之間的關系，可得2 C -22 c.bsin 21Psin 21scos 2isV vv2_22 _asin 21Psin 21scos 2isf c 2sin2is cos

35、2isvp a2 sin21Psin2is2 cos2 2isSH波在自由界面上的反射設入射SH波的位移為：i xsin is zcosis i tS He反射SH波位移分別表示為：i - xsin i's zcosi's i tS' H 'e邊條件為：S S'yz |z 00z將其簡化為：H H ,即在自由表面 SH波的反射系數為1.從前面的討論可以看出，當一列P波入射到自由表面時，會產生一列反射P波和一列反射SV波；同樣，如果一列SV波向自由表面入射，會產生一列反射 SV波和一列反射P波。或者說，在一般反射問題中半空間內至少存在三列簡諧式中的分子為零

36、，則轉換波的振幅平面波（純SH波僅反射SH波）。如果我們令為零，半空間中只存在一列反射波。即 P波入射只反射SV波,SV波只反射P波，這種現象稱為偏振交換。自由界面上的位移，視出射角地面測量得到的是地面的實際位移， 也就是自由表面的位移。入射波射到自由表面后由于產生了反射波，因而自由表面上的位移并不等于入射波的位移，這旦 TH分重要的。對于p波我們稱自由表面位移向量與界面法線的夾角 ip為視入射稱自由表面上的位移向量與地面之間的夾角e為視出射角。當p波入射時,tanip p-|w將P波入射反射為P波和SV波的勢函數，并采用反射系數可得,2 COSid COSis o 2 22 24p 2 p

37、1 2 ptanip p21 2 2p2 螞 1 2 2p2 2 2p2sin2iss tan21s cos2is因此ip 2is,由地震記錄可得到 pP波入射到地面后地面位移的北南、東西與垂直分量，求北南、東西分量的平方和再開方得到地面的水平分量，而水平分量和垂直分量的比值就是tanip, ip的一半即為SV波的反射角，根據折射定律即可求得ip ,即真入射角：sin ip sin is sin ip或,cosep cos90o ep p當SV波入射到自由表面時，其真入射角為is , tan iswsUs仿效這個式子,我們定義這種情況下的視入射角為,w Wsi Ws2 wptan-U Usi

38、Us2 upp(1 Acosip Cpcosi B ip 1 -AC pA2 222 cotip pcot rs 12 sin2issin ipcosip sin is2-：cos2is cosis在推導時應注意p處皿黑一。當SH波入射到自由表面時，根據前面的推導,反射系數為1.我們同樣可設入射SH波的位移為:i_ xsin is zcosis i tS He總的位移為v S, S2i xsin is ezcosi s i tiexsin is zcosi在z=0的面上即得到vSiS2 Hi xsin i e1 xsin is e1 xsin is i t2He即自由表面的位移為入射SH波位移的2倍。全反射當入射波為SV波時，由折射定律有:sin ip sin is由于,因此反射P波的反射角大于入射SV波的入射角is ，當入射角is滿足is sin1 一時，反射P波的反射角為90 °。1當 is sin 時,sin ip 1 , p根據有關復數的知識，這時ip必為復數，且有ip萬0,sin i p psin 一 2sin cosi2cos sin i cosi 2co