1、教學目的：教學目的：函數(shù)函數(shù)極值極值和和最值最值教學重點：教學重點：函數(shù)單調性函數(shù)單調性教學難點：教學難點：最值的應用與不等式證明最值的應用與不等式證明第三講第三講 函數(shù)極值與最值函數(shù)極值與最值第三講第三講 函數(shù)極值與最值函數(shù)極值與最值主視圖主視圖極值與最值極值與最值函數(shù)單調性函數(shù)單調性函數(shù)極值函數(shù)極值函數(shù)最值函數(shù)最值必要條件必要條件充分條件充分條件函數(shù)單調性函數(shù)單調性由拉格朗日中值定理由拉格朗日中值定理，有有 212112()( )( ) () ()f xf xfxxxx例題例題01111)(222xxxxf解解 ) 1)(1(3332xxxy解解 11111111遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：(,

2、1) , (1,)遞減區(qū)間：遞減區(qū)間： 1,111例題例題2tan2 sin3 ,(0,)xxxx例例4 證明證明只要證只要證 2( )tan2 sin30,(0,)fxxxxx2( )sec2 cos3fxxx2tan2 cos2xx2( )2 tansec2 sinfxxxx232 tansec(1cos)0 xxx( )0,( )(0)0fxfxf( )0,( )(0)0fxfxf函數(shù)的極值函數(shù)的極值函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)極值，取得極值的點稱為函數(shù)極值點必須指出，函數(shù)的極值概念是局部性的 1x2x3x4x5xxy( )yf xabo回主視圖回主視圖極值必要條件極值必要條件0)(

3、xfyx0 xo 0fx yf x0)( xf0)( xf)(xfy xy0 xo極值充分條件極值充分條件() 定理定理3第一充分條件第一充分條件設函數(shù)設函數(shù))(xf0 x的某鄰域的某鄰域),(00ddxx內連續(xù)，可導內連續(xù)，可導)(0 xf可以不存在可以不存在在點在點 () ，則，則(1) 若當若當),(00 xxxd時，時，0)(xf，而當，而當),(00dxxx時，時，0)(xf)(xf在在0 x處取極大值；處取極大值； ，(2) 若當若當),(00 xxxd時，時，0)(xf，而當，而當),(00dxxx時，時，0)(xf則則)(xf在在0 x取極小值；取極小值； ，則，則(3) 若當

4、若當),(00ddxxx)(0 xx 時，時，0)(xf(0)(xf)(xf在在0 x處不取極值處不取極值 例題例題01不存在0極大極小x)0 ,() 1 , 0(), 1 ( )(xf _)(xf例題例題x+不存在+0不存在+y單增無極值單增極大值單減極小值單增a( ,)a 2(, )a2a2(,)2 3aa23a2(, )3a ay32)()2()32(2xaaxxay例題例題x+0+0y單增極大值單減單增極大值單減41xxxxx)(841221212),(2121), 0 (21) 0 ,(2121),(21y極大值為極大值為-1-2ln2回主視圖回主視圖第三講第三講 函數(shù)極值函數(shù)極值第

5、二充分條件在使用時不涉及函數(shù)單調性的討論，第二充分條件在使用時不涉及函數(shù)單調性的討論，因而有時它比第一充分條件方便因而有時它比第一充分條件方便例題例題解解 xxxf2cos2cos2)(xxxf2sin4sin2)( 0) 1)(cos1cos2(2xx23330333 ff為極大值； 2333503335 ff為極小值； 例題例題回主視圖回主視圖我們將求函數(shù)極值的方法歸納如下：我們將求函數(shù)極值的方法歸納如下： (1) 確定函數(shù)的定義域；確定函數(shù)的定義域； (2) 求求)(xf和和)(xf ； (3) 令令0)(xf，求駐點，并求不可導點；，求駐點，并求不可導點； (4) 在在0)( xf的駐

6、點上用第二充分條件判定；的駐點上用第二充分條件判定； (5) 在在)(xf不存在的點和不存在的點和0)( xf的駐點用第一充分條件的駐點用第一充分條件判定判定 函數(shù)最值函數(shù)最值在生產(chǎn)活動中，常常遇到這樣一類問題：即在一定條件下，在生產(chǎn)活動中，常常遇到這樣一類問題：即在一定條件下，怎樣使怎樣使“產(chǎn)品最多產(chǎn)品最多”、“成本最低成本最低”、“收益最大收益最大”等等等這類問題有時歸結為求某一函數(shù)等這類問題有時歸結為求某一函數(shù)(稱為目標函數(shù)稱為目標函數(shù))的最的最大值或最小值問題大值或最小值問題 例題例題解解 0,1112121)(xxxxfxob0( )f xy0 xa( )yf x例題例題例題例題例例10 在一塊邊長為在一塊邊長為a的正方形紙板上截去四角相等的小方塊，的正方形紙板上截去四角相等的小方塊， 然后折疊成一個無蓋紙盒，問截去的小方塊的邊長為多少時，然后折疊成一個無蓋紙盒，問截去的小方塊的邊長為多少時，紙盒的容積最大？紙盒的容積最大？2)2(xaxv2, 0ax)6)(2()2(4)2(2xaxaxaxxav)3(8axv 046 aa