1、專題02 命題及其關系、充分條件與必要條件【考點剖析】1.命題方向預測：（1）四種命題的概念及其相互關系、四種命題真假的判斷、充分要條件的判定及其應用是高考的熱點.(2)題型主要以選擇題、填空題的形式出現（3）本節知識常與集合、函數、不等式、數列、立體幾何中的直線、平面間的位置關系、復數、平面解析幾何等知識結合，復習中在理解命題及其關系、充分條件與必要條件等基礎知識的同時，重在掌握其它相關數學知識.2.課本結論總結：（1）命題的概念在數學中用語言、符號或式子表達的，可以判定真假的陳述句叫做命題.其中，判定為真的命題叫真命題，判定為假的命題叫假命題.（2）四種命題及其關系四種命題及其關系四種命題

2、的真假關系逆命題與否命題互為逆否命題；互為逆否命題的兩個命題同真假，互逆或互否的兩個命題，它們的真假沒有關系.(3)充分條件與必要條件若，則是充分條件，是的必要條件.若，且，則是充要條件3.名師二級結論：(1) 常見結論的否定形式結論是都是大于小于至少一個至多一個至少個至多有個對所有，成立或且對任何，不成立否定不是不都是不大于不小于一個也沒有至少兩個至多有（）個至少有（）個存在某，不成立且或存在某，成立(2)充要條件判定方法定義法：若，則是充分條件；若，則是必要條件；若，且，則是充要條件.集合法：若滿足條件的集合為a，滿足條件的集合為b，若ab，則是的充分不必要條件；若ba，則是必要不充分條件

3、；若a=b則，是 充要條件。對充要條件判定問題，一定要分清誰是條件，誰是結論，若條件、結論滿足的條件易求，常用集合法.利用原命題與逆命題的真假判斷若原命題為“若則”，則有如下結論：（1）若原命題為真逆命題為假，則是的充分不必要條件；（2）若原命題為假逆命題為真，則是的必要不充分條件；（3）若原命題與逆命題都為真，則是的充要條件；（4）若原命題與逆命題都為假，則是的既不充分也不必要條件4.考點交匯展示： (1)與集合交匯例1設，是兩個集合，則“”是“”的（ ）a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件【答案】c. (2)與不等式交匯例2【2018年天津卷文】設

4、，則“”是“” 的（ ）a. 充分而不必要條件 b. 必要而不充分條件 c. 充要條件 d. 既不充分也不必要條件【答案】a【解析】求解不等式可得，求解絕對值不等式可得或，據此可知：“”是“” 的充分而不必要條件.本題選擇a選項.（3）與函數交匯例3【2017天津，理4】設，則“”是“”的（a）充分而不必要條件 （b）必要而不充分條件（c）充要條件（d）既不充分也不必要條件【答案】 （4）與平面向量結合 例4【2018年理北京卷】設a，b均為單位向量，則“”是“ab”的a. 充分而不必要條件 b. 必要而不充分條件c. 充分必要條件 d. 既不充分也不必要條件【答案】c【解析】，因為a，b均為

5、單位向量，所以 ab，即“”是“ab”的充分必要條件.選c.（5）與復數交匯例5已知是虛數單位，則“”是“”的( )a.充分不必要條件 b.必要不充分條件c.充分必要條件 d.既不充分也不必要條件【答案】a.【解析】(a+bi)2a2b22abi2i，于是a2b20，2ab2解得ab1或ab1 ,故選a.（6）與立體幾何交匯例6【2018年浙江卷】已知平面，直線m，n滿足m，n，則“mn”是“m”的a. 充分不必要條件 b. 必要不充分條件c. 充分必要條件 d. 既不充分也不必要條件【答案】a【解析】 (7)與數列交匯例7【2018年北京卷文】設a,b,c,d是非零實數，則“ad=bc”是“

6、a,b,c,d成等比數列”的a. 充分而不必要條件 b. 必要而不充分條件c. 充分必要條件 d. 既不充分也不必要條件【答案】b (8)與平面解析幾何交匯例8【2018屆北京市人大附中5月三模】設,則“”是直線“與直線垂直”的a 充要條件 b 充分而不必要條件c 必要而不充分條件 d 既不充分也不必要條件【答案】b【解析】若，則兩條直線分別為、，兩直線斜率的乘積為，故兩條直線相互垂直；若兩條直線相互垂直，則，故或，故“”是兩條直線相互垂直的充分不必要條件，選b. 【考點分類】考向一 命題及其關系1.【河北省衡水中學2018屆第十六次模擬理】下列有關命題的說法正確的是（ ）a. 命題“若，則”

7、的否命題為“若，則”b. 命題“若，則，互為相反數”的逆命題是真命題c. 命題“，使得”的否定是“，都有”d. 命題“若，則”的逆否命題為真命題【答案】b2.【2017北京卷】能夠說明“設a，b，c是任意實數若abc，則a+bc”是假命題的一組整數a，b，c的值依次為_【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）【方法規律】1.判斷一個命題的真假有兩種方法，法一：直接法，用直接法判定命題為真命題，需要嚴格的推理、考慮各種情況由命題條件推出結論正確，要判定一個命題為假命題，只要舉出一個反例就行；法二：等價值法，若不易直接判斷它的真假，利用原命題與其逆否命題同真假轉化為判斷其逆否命題的真假。2.正確的命

8、題要有充分的依據，不一定正確的命題要舉出反例，這是最基本的數學思維方式，也是兩種不同的解題方向，有時舉出反例可能比進行推理論證更困難，二者同樣重要3. 在書寫命題的四種形式時，首先要將命題轉化成“若p，則q”的形式，然后嚴格按定義書寫，注意正確應用常見詞語的否定.4.在判斷四種形式的命題真假時，先判斷原命題的真假，再判斷逆命題的真假，然后根據等價關系確定否命題和逆否命題的真假【解題技巧】1.當一個命題有大前提而要寫出其他三個命題時，必須保留大前提且不作改換2.在判斷命題的真假時，如果不易直接判斷它的真假，可以轉化為判斷其逆否命題的真假3.在書寫否命題題與您否命題時，要特別注意條件的否定和結論的

9、否定即為條件的反面和結論的反面.【易錯點睛】1.區分否命題與命題：否命題是將原命題的條件否定作為條件，將原命題的結論否定作為結論構造的一個新的命題；命題的否定只是否定命題的結論，常用于反證法2.特別要注意含有邏輯連結詞的否定形式.例 寫出命題“若，則，全為0”的否命題.【錯解】若，則，全不為0.【預防措施】要正確區分命題的否定與否命題：寫一個命題的否命題，既要否定條件又要否定結論，只否定結論，得到的命題是命題的否定；對條件和結論的否定要正確，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，條件和結論的否定就是分別找條件和結論的對立面，抓住這一點就可以避免類似的錯誤.【正解】若，則，不全為0.熱

10、點二 充分條件與必要條件1.“”是“”的（ ）a、充要條件 b、充分不必要條件c、必要不充分條件 d、既不充分也不必要條件【答案】b【解析】，因此選b. 2.【2018屆浙江省諸暨市5月適應性考試】已知圓與直線，則“”是“直線與圓相切”的（ ）a 充分而不必要條件 b 必要而不充分條件c 充要條件 d 既不充分也不必要條件【答案】a【解析】由圓心到直線的距離 若直線與圓相切，則 ，即 ，則 ，則“”是“直線與圓相切“的充分而不必要條件，故選：a3.【四川省成都市2018屆模擬】設，則是的（ ）a. 充分而不必要條件 b. 必要而不充分條件 c. 充分必要條件 d. 既不充分也不必要條件【答案】

11、a的充分不必要條件，故選a.4.設是公比為的等比數列，則是為遞增數列的（ ）充分且不必要條件 必要且不充分條件 充分必要條件 既不充分也不必要條件【答案】d.【方法規律】1.在進行充分條件、必要條件的判斷時，首先要明確哪個論斷是條件，哪個論斷是結論，再從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q，二是由條件q能否推得條件p，結合定義即可做出判斷.2.充分條件、必要條件的三種判斷方法，要注意靈活應用.利用集合法進行判斷時，借助數軸能直觀顯示兩個集合的關系，從而命題易于求解對于條件或結論是否定形式的充分條件、必要條件的判斷，要善于利用等價命題進行判斷【解題技巧】1.在進行充要條件判斷時，在明確條件、結

12、論的基礎上，將條件進行適當的化簡及合理的表示條件間的推出關系是解決問題的關鍵2.在利用集合法進行充要條件判斷時，常借助數軸直觀顯示兩個集合的關系，從而使問題易于求解.3.在利用命題法判定充要條件時，對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復雜問題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命、逆命題和否命題的等價性，轉化為判斷它的等價命題【易錯點睛】在判斷充要條件時，因條件與結論分不清或因考慮不全面導致致錯誤.例 已知：“向量與向量的夾角為鈍角”是：“0”的 條件.【錯解】若向量與向量的夾角為鈍角，則0，即0，故是的充要條件.【錯因分析】判斷條件與結論之間的關系時要從兩個方向判

13、斷，而上面之判定了一個方向就下結論，忽視了對“0”成立時能否導出“向量與向量的夾角為鈍角”的判斷.【防范措施】判斷充要條件時要注意兩點：首項要分清哪個是條件，哪個是條件；其次要從兩個方向進行判斷，即條件能否導出結論與結論能否導出條件.【正解】若向量與向量的夾角為鈍角，則0，即0，即；當0，即0，因為，所以，故向量與向量的夾角為鈍角或平角，即，故是的充分不必要條件.【熱點預測】1【2018屆北京市石景山區一模】“”是“”的（ ）a 充分不必要條件 b 必要不充分條件c 充要條件 d 既不充分也不必要條件【答案】a 2.【2018屆浙江省溫州市9月】已知，則“”是“”的（ ）a. 充要條件 b.

14、充分不必要條件 c. 必要不充分條件 d. 既不充分也不必要條件【答案】d【解析】因為當時，不成立；當時，不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故選d.3.【2018屆山東省肥城市適應性訓練】已知向量，則“”是“”的（ ）a 充分不必要條件 b 必要不充分條件 c 充分必要條件 d 既不充分也不必要條件【答案】a【解析】因為，所以因此“”是“”的充分不必要條件，選a. 4【2018屆廣東省汕頭市潮南區5月沖刺】已知直線與圓相交于兩點（為坐標原點），則“”是“”的( )a 充分不必要條件 b 必要不充分條件c 充要條件 d 既不充分也不必要條件【答案】a 5【2018屆廣西柳州高級中學5

15、月模擬】已知向量，則是的（ ）a 充分不必要條件 b 必要不充分條件 c 充分必要條件 d 既不充分也不必要條件【答案】a【解析】因為，所以因為 ，所以是的充分必要條件.故答案為：a.6【2018屆浙江省余姚中學模擬（二）】 “”是“直線與互相平行”的（ ）a 充分不必要條件 b 必要不充分條件 c 充要條件 d 既不充分也不必要條件【答案】a 7.【2018屆浙江省杭州市第二中學6月熱身】已知數列是等比數列，其公比為，則“”是“數列為單調遞增數列“的”（ ）a 充分不必要條件 b 必要不充分條件c 充分必要條件 d 既不充分也不必要條件【答案】d【解析】取，則，但為減數列；取，則，為增數列，

16、但，故“”是“等比數列為單調遞增數列”的既不充分又不必要條件，故選d8.【2018屆安徽省六安市第一中學適應性考試】已知函數，則在上不單調的一個充分不必要條件是（ ）a b c d 【答案】c【解析】，若在上不單調，令，則函數與x軸在有交點，設其解為，則，因此方程的兩解不可能都大于1，其在中只有一解，其充要條件是，解得或，因此選項c是滿足要求的一個充分必要條件.故選：c. 9.“實數”是“復數（為虛數單位）的模為”的（ ）a充分非必要條件 b必要非充分條件c充要條件 d既非充分條件又不必要條件【答案】 10【2018屆寧夏銀川市唐徠回民中學四模】的三個內角分別為,，則“ ”是“,成等差數列”的

17、（ ）a 充分而不必要條件 b 必要而不充分條件c 充要條件 d 既不充分也不必要條件【答案】c【解析】由，則，所以a、b、c成等差數列，為充分條件，由a、b、c成等差數列，所以，由內角和公式可得，為必要條件.故選c.11.“”是“直線和直線互相垂直”的 （ ）a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件【答案】c12.【2018屆浙江省臺州市高三上期末】已知，則“”是“”的（ ）a. 充分不必要條件 b. 必要不充分條件c. 充分必要條件 d. 既不充分也不必要條件【答案】b【解析】因為,但; 所以“”是“”的必要不充分條件,選b. 13.【2018屆浙江省嘉興市4月模擬】已知：不等式的解集為，：，則是的（ ）a. 充分不必要條件 b. 必要不充分條件c. 充要條件 d. 既不充分也不必要條件【答案】a【解析】:不等式的解集為，由一元二次不等式的性質可得，又為的真子集，所以是的充分不必要條件，故選a.14已知條件，條件，若是的充分不必要條件，則實數的取值范圍是_【答案】【解析】條件p:log2(1x