1、第2課時兩個計數原理的綜合應用學習目標1.進一步理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理的區別.2.會正確應用這兩個計數原理計數知識點一兩個計數原理的區別與聯系分類加法計數原理分步乘法計數原理相同點用來計算完成一件事的方法種類不同點分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事每步依次完成才算完成這件事(每步中的一種方法不能獨立完成這件事)注意點類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整知識點二兩個計數原理的應用解決較為復雜的計數問題，一般要將兩個計數原理綜合應用使用時要做到目的明確，層次分明，先后有序，還需特別注意以下兩點：(1)合理分類，準確分步：處理計數問題，應扣緊

2、兩個原理，根據具體問題首先弄清楚是“分類”還是“分步”，要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標準分類時需要滿足兩個條件：類與類之間要互斥(保證不重復)；總數要完備(保證不遺漏)，也就是要確定一個合理的分類標準分步時應按事件發生的連貫過程進行分析，必須做到步與步之間互相獨立，互不干擾，并確保連續性(2)特殊優先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的計數問題，一般應優先安排特殊元素，優先確定特殊位置，再考慮其他元素與其他位置，體現出解題過程中的主次思想類型一組數問題例1用0,1,2,3,4五個數字，(1)可以排成多少個三位數字的電話號碼？(2)可以排成多少個三位數？(3)可以排成多少個能被2整除的無

3、重復數字的三位數？考點兩個計數原理的應用題點兩個原理在排數中的應用解(1)三位數字的電話號碼，首位可以是0，數字也可以重復，每個位置都有5種排法，共有5×5×553125(種)(2)三位數的首位不能為0，但可以有重復數字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5100(種)(3)被2整除的數即偶數，末位數字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數字是0，則有4×312(種)排法；一類是末位數字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2

4、15;3×318(種)排法因而有121830(種)排法即可以排成30個能被2整除的無重復數字的三位數引申探究由本例中的五個數字可組成多少個無重復數字的四位奇數？解完成“組成無重復數字的四位奇數”這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1,3中任取一個，有2種方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去用過的一個剩下的3個中任取一個，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內的3個數字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法由分步乘法計數原理知共有2×3×3×236(個)反思與感悟對于組數問題，應掌握以下原則：(1)明確特殊位置或特殊數字，是我們采用“分類”

5、還是“分步”的關鍵一般按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素)優先的策略分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法求解(2)要注意數字“0”不能排在兩位數字或兩位數字以上的數的最高位跟蹤訓練1從0,2中選一個數字，從1,3,5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數，其中奇數的個數為()a24 b18 c12 d6考點兩個計數原理的應用題點兩個原理在排數中的應用答案b解析由于題目要求是奇數，那么對于此三位數可以分成兩種情況；奇偶奇，偶奇奇如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析(3種情況)，之后十位(2種情況)，最后百位(2種情況)，共12種；如果是第二種情況偶奇奇：個位(

6、3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共6種，因此總共有12618(種)情況故選b.類型二選(抽)取與分配問題例2高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有()a16種 b18種 c37種 d48種考點抽取(分配)問題題點抽取(分配)問題答案c解析方法一(直接法)以甲工廠分配班級情況進行分類，共分為三類：第一類，三個班級都去甲工廠，此時分配方案只有1種情況；第二類，有兩個班級去甲工廠，剩下的班級去另外三個工廠，其分配方案共有3×39(種)；第三類，有一個班級去甲工廠，另外兩個班級去其他三

7、個工廠，其分配方案共有3×3×327(種)綜上所述，不同的分配方案有192737(種)方法二(間接法)先計算3個班級自由選擇去何工廠的總數，再扣除甲工廠無人去的情況，即4×4×43×3×337(種)方案反思與感悟解決抽取(分配)問題的方法(1)當涉及對象數目不大時，一般選用列舉法、樹狀圖法、框圖法或者圖表法(2)當涉及對象數目很大時，一般有兩種方法：直接使用分類加法計數原理或分步乘法計數原理一般地，若抽取是有順序的就按分步進行；若是按對象特征抽取的，則按分類進行間接法：去掉限制條件，計算所有的抽取方法數，然后減去所有不符合條件的抽取方

8、法數即可跟蹤訓練23個不同的小球放入5個不同的盒子，每個盒子至多放一個小球，共有多少種方法？考點抽取(分配)問題題點抽取(分配)問題解(以小球為研究對象)分三步來完成：第一步：放第一個小球有5種選擇；第二步：放第二個小球有4種選擇；第三步：放第三個小球有3種選擇，由分步乘法計數原理得，總方法數n5×4×360.類型三涂色與種植問題例3(1)將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗田中，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗田不能種同一種作物，則不同的種植方法共有_種.考點種植問題題點種植問題答案42解析分別用a，b，c代表3種作物，先安排第一塊田，有3種方法，不妨設放入a，再安排第二

9、塊田，有兩種方法b或c，不妨設放入b，第三塊也有2種方法a或c.(1)若第三塊田放c：abc第四、五塊田分別有2種方法，共有2×24(種)方法(2)若第三塊田放a：aba第四塊有b或c兩種方法，若第四塊放c：abac第五塊有2種方法；若第四塊放b：abab第五塊只能種作物c，共1種方法綜上，共有3×2×(2×221)42(種)方法(2)將紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個小方格內，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種不同的涂色方法？1234考點涂色問題題點涂色問題解第1個小方格可以從5種顏色中任取一種

10、顏色涂上，有5種不同的涂法當第2個、第3個小方格涂不同顏色時，有4×312(種)不同的涂法，第4個小方格有3種不同的涂法，由分步乘法計數原理可知有5×12×3180(種)不同的涂法當第2個、第3個小方格涂相同顏色時，有4種涂法，由于相鄰兩格不同色，因此，第4個小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計數原理可知有5×4×480(種)不同的涂法由分類加法計數原理可得共有18080260(種)不同的涂法引申探究本例(2)中的區域改為如圖所示，其他條件均不變，則不同的涂法共有多少種？解依題意，可分兩類情況：不同色；同色第一類：不同色，則所涂的顏色各不相同

11、，我們可將這件事情分成4步來完成第一步涂，從5種顏色中任選一種，有5種涂法；第二步涂，從余下的4種顏色中任選一種，有4種涂法；第三步涂與第四步涂時，分別有3種涂法和2種涂法于是由分步乘法計數原理得，不同的涂法為5×4×3×2120(種)第二類：同色，則不同色，我們可將涂色工作分成三步來完成第一步涂，有5種涂法；第二步涂，有4種涂法；第三步涂，有3種涂法于是由分步乘法計數原理得，不同的涂法有5×4×360(種)綜上可知，所求的涂色方法共有12060180(種)反思與感悟解決涂色(種植)問題的一般思路涂色問題一般是綜合利用兩個計數原理求解，有幾種常

12、用方法：(1)按區域的不同，以區域為主分步計數，用分步乘法計數原理分析(2)以顏色為主分類討論，適用于“區域、點、線段”等問題，用分類加法計數原理分析(3)將空間問題平面化，轉化為平面區域的涂色問題種植問題按種植的順序分步進行，用分步乘法計數原理計數或按種植品種恰當選取情況分類，用分類加法計數原理計數跟蹤訓練3如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個端點異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的總數為_考點涂色問題題點涂色問題答案420解析按照sabcd的順序進行染色，按照a，c是否同色分類：第一類，a，c同色，則有5×4×3×1

13、×3180(種)不同的染色方法第二類，a，c不同色，則有5×4×3×2×2240(種)不同的染色方法根據分類加法計數原理，共有180240420(種)不同的染色方法1有a，b兩種類型的車床各一臺，現有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都會操作兩種車床，丙只會操作a種車床，要從這三名工人中選兩名分別去操作這兩種車床，則不同的選派方法有()a6種 b5種 c4種 d3種考點分類加法計數原理題點分類加法計數原理的應用答案c解析不同的選派情況可分為3類：若選甲、乙，有2種方法；若選甲、丙，有1種方法；若選乙、丙，有1種方法根據分類加法計數原理知，不同的選派

14、方法有2114(種)2用0,1，9這10個數字，可以組成有重復數字的三位數的個數為()a243 b252 c261 d648考點兩個計數原理的應用題點兩個原理在排數中的應用答案b解析0,1,2，9共能組成9×10×10900(個)三位數，其中無重復數字的三位數有9×9×8648(個)，所以有重復數字的三位數有900648252(個)3某班有3名學生準備參加校運會的100米、200米、跳高、跳遠四項比賽，如果每班每項限報1人，則這3名學生的參賽的不同方法有()a24種 b48種c64種 d81種考點分步乘法計數原理題點分步乘法計數原理的應用答案a解析由于每

15、班每項限報1人，故當前面的學生選了某項之后，后面的學生不能再報，由分步乘法計數原理，共有4×3×224(種)不同的參賽方法4火車上有10名乘客，沿途有5個車站，乘客下車的可能方式有()a510種 b105種c50種 d500種考點分步乘法計數原理題點分步乘法計數原理的應用答案a解析分10步第1步：考慮第1名乘客下車的所有可能有5種；第2步：考慮第2名乘客下車的所有可能有5種；第10步：考慮第10名乘客下車的所有可能有5種故共有乘客下車的可能方式510(種)5如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形a，b，c，d中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有_種.abcd考點涂色問題

16、題點涂色問題答案108解析a有4種涂法，b有3種涂法，c有3種涂法，d有3種涂法，共有4×3×3×3108(種)涂法1分類加法計數原理與分步乘法計數原理是兩個最基本、也是最重要的原理，是解答后面將要學習的排列、組合問題，尤其是較復雜的排列、組合問題的基礎2應用分類加法計數原理要求分類的每一種方法都能把事件獨立完成；應用分步乘法計數原理要求各步均是完成事件必須經過的若干彼此獨立的步驟3一般是先分類再分步，分類時要設計好標準，設計好分類方案，防止重復和遺漏4若正面分類，種類比較多，而問題的反面種類比較少時，則使用間接法會簡單一些一、選擇題1在由0,1,2,3,4,5所

17、組成的沒有重復數字的四位數中，能被5整除的有()a512個 b192個 c240個 d108個考點兩個計數原理的應用題點兩個原理在排數中的應用答案d解析能被5整除的四位數，可分為兩類：一類是末位為0，由分步乘法計數原理，共有5×4×360(個)二類是末位為5，由分步乘法計數原理共有4×4×348(個)由分類加法計數原理得6048108(個)2有四位教師在同一年級的四個班各教一個班的數學，在數學檢測時要求每位教師不能在本班監考，則監考的方法有()a8種 b9種 c10種 d11種考點抽取(分配)問題題點抽取(分配)問題答案b解析設四位監考教師分別為a，b，

18、c，d，所教班分別為a，b，c，d.若a監考b，則余下三人監考剩下的三個班，共有3種不同方法同理，若a監考c，d時，也分別有3種不同方法由分類加法計數原理，得監考方法共有3339(種)3某城市的電話號碼由六位升為七位(首位數字均不為零)，則該城市可增加的電話部數是()a9×8×7×6×5×4×3×2b8×96c9×106d8.1×106考點兩個計數原理的應用題點兩個原理在排數中的應用答案d解析電話號碼是六位數字時，該城市可安裝電話9×105部，同理升為七位時為9×106，可增

19、加的電話數是9×1069×10581×105.故選d.4若三角形三邊均為正整數，其中一邊長為4，另外兩邊長分別為b，c，且滿足b4c，則這樣的三角形有()a10個 b14個 c15個 d21個考點分類加法計數原理題點分類加法計數原理的應用答案a解析當b1時，c4，當b2時，c4,5；當b3時，c4,5,6；當b4時，c4,5,6,7.故共有10個這樣的三角形5.如圖，某電子器件是由三個電阻組成的回路，其中共有6個焊接點a，b，c，d，e，f，如果某個焊接點脫落，整個電路就會不通，現在電路不通了，那么焊接點脫落的可能性共有()a6種 b36種 c63種 d64種考點

20、兩個計數原理的區別與聯系題點兩個原理的簡單綜合應用答案c解析每個焊接點都有脫落與未脫落兩種情況，而只要有一個焊接點脫落，則電路就不通，故共有26163(種)可能情況6從顏色分別為黃、白、紅、橙的4盆菊花和顏色分別為紫、粉紅、白的3盆山茶花中任取3盆，其中至少有菊花、山茶花各1盆，則不同的選法種數為()a12 b18 c24 d30考點兩個計數原理的區別與聯系題點兩個原理的簡單綜合應用答案d解析選出符合要求的3盆花可分為兩類：第一類，可從4盆菊花中選1盆，再從3盆山茶花中選2盆，有4×312(種)選法；第二類，可從4盆菊花中選2盆，再從3盆山茶花中選1盆，有6×318(種)選

21、法根據分類加法計數原理知，不同的選法種數為121830.7在正五棱柱中，不同在任何側面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，那么一個正五棱柱所有對角線的條數為()a20 b15 c12 d10考點兩個計數原理的區別與聯系題點兩個原理的簡單綜合應用答案d解析由題意知，正五棱柱的對角線一定為上底面的一個頂點和下底面的一個頂點的連線，因為不同在任何側面內，所以從一個頂點出發的對角線有2條，所以正五棱柱所有對角線的條數為2×510.8.如圖，用五種不同的顏色分別給a，b，c，d四個區域涂色，相鄰區域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂法種數為()a280 b180c9

22、6 d60考點涂色問題題點涂色問題答案b解析按區域分四步：第一步a區域有5種顏色可選；第二步b區域有4種顏色可選；第三步c區域有3種顏色可選；第四步由于可重復使用區域a中已有過的顏色，故也有3種顏色可選用由分步乘法計數原理，共有5×4×3×3180(種)涂法二、填空題9在所有的兩位數中，個位數字大于十位數字的兩位數，共有_個考點兩個計數原理的應用題點兩個原理在排數中的應用答案36解析根據題意個位上的數字分別是2,3,4,5,6,7,8,9共8種情況，在每一類中滿足題目要求的兩位數分別有1個，2個，3個，4個，5個，6個，7個，8個，由分類加法計數原理知，符合題意的

23、兩位數共有1234567836(個)10某班將元旦聯歡會原定的9個歌唱節目已排成節目單，但在開演前又增加了兩個新節目如果將這兩個節目插入原節目單中，那么不同插法的種數為_考點分步乘法計數原理題點分步乘法計數原理的應用答案110解析先將其中一個節目插入原節目單的9個節目形成的10個空中，有10種方法；再把另一個節目插入前10個節目形成的11個空中，有11種插法由分步乘法計數原理知有10×11110(種)不同的插法11古人用天干、地支來表示年、月、日、時的次序用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、

24、亥”相配，共可配成_組考點兩個計數原理的區別與聯系題點兩個原理的簡單綜合應用答案60解析分兩類：第一類：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，則有5×630(組)不同的結果第二類也有30組不同的結果，共可得303060(組)三、解答題12有一項活動，需在3名教師，8名男同學和5名女同學中選人參加(1)若只需一人參加，有多少種不同選法？(2)若需教師、男同學、女同學各一人參加，有多少種不同選法？(3)若需一名教師，一名學生參加，有多少種不同選法？考點兩個計數原理的區別與聯系題點兩個原理的簡單綜合應用解(1)有三類選人的方法：3名教師中選一人，有3種方法；

25、8名男同學中選一人，有8種方法；5名女同學中選一人，有5種方法由分類加法計數原理知，共有38516(種)選法(2)分三步選人：第一步選教師，有3種方法；第二步選男同學，有8種方法；第三步選女同學，有5種方法由分步乘法計數原理知，共有3×8×5120(種)選法(3)可分兩類，每一類又分兩步第一類：選一名教師再選一名男同學，有3×824(種)選法；第二類：選一名教師再選一名女同學，共有3×515(種)選法由分類加法計數原理可知，共有241539(種)選法13將一枚骰子連續拋擲三次，擲出的數字順次排成一個三位數(1)可以排出多少個不同的三位數？(2)各位數字互不相同的三位數有多少個？(3)恰好有兩個數字相同的三位數共有多少個？考點兩個計數原理的應用題點兩個原理在排數中的應用解(1)分三步進行：先排百位，再排十位，最后排個位根據分步乘法計數原理知，可以排出6×6×6216(個)不同的三位數(2)分三步進行：先排百位，再排十位，最后排個位百位上數字的排法有6種，十位上數字的排法有5種，個位上數字的排法有4種，根據分步乘法計數原理知，各位數字互不相同的三位數有6×5×4120(個)(3)兩個數字相同有三種可能，即百位、十位相同，十位、個位相同，百位、個位相同，而每種都有6×5