1、 DFTDFT對(duì)對(duì)x xa a(t)(t)進(jìn)行頻譜分析進(jìn)行頻譜分析傅里葉變換理論 信號(hào)持續(xù)時(shí)間有限長(zhǎng)，其頻譜是無(wú)限寬。 信號(hào)的頻譜有限長(zhǎng)，在時(shí)域中，該信號(hào)的持續(xù)時(shí)間無(wú)限長(zhǎng)。上述兩種情況，在時(shí)域或頻域中進(jìn)行采樣，得到的序列都是無(wú)限長(zhǎng)序列，不滿(mǎn)足DFT的變換條件。采用的處理方法：在頻域中用濾波器濾除高于折疊頻率的高頻分量，在時(shí)域中則是截取有限點(diǎn)進(jìn)行DFT。結(jié)論：用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析是一種近似的分析，近似程度與信號(hào)帶寬、采樣頻率和截取的長(zhǎng)度有關(guān)。第1頁(yè)/共20頁(yè)3.4 DFT3.4 DFT的應(yīng)用舉例的應(yīng)用舉例設(shè)連續(xù)信號(hào)xa(t)持續(xù)時(shí)間為T(mén)p，最高頻率為fc， 如下圖(a)所示。 則xa(t

2、)的傅里葉變換為：dtdttxFTjfXftjtjaa 2aa(t)ex(t)ex)()( Tp第2頁(yè)/共20頁(yè)3.4 DFT3.4 DFT的應(yīng)用舉例的應(yīng)用舉例 對(duì)xa(t)以采樣頻率fs= 1/T2fc進(jìn)行采樣得：x(n)= Xa(nT)。 設(shè)共采樣N點(diǎn)，并對(duì)Xa(jf)作零階近似(t=nT, dt=T)得: 對(duì) x(jf)在區(qū)間0, fs上等間隔采樣N點(diǎn)，采樣間隔為F，參數(shù)fs 、 Tp、 N和F滿(mǎn)足如下關(guān)系式： 令f=KF，頻域N點(diǎn)采樣得 : 令X(jkF)=Xa(k)，xa(nT)=x(n)，代入得 ,)()(102 NnfnTjaaenTxTjfX , ) ( ) (102 Nnfn

3、Tjaae nTx Tjf X 函數(shù)值與區(qū)間長(zhǎng)度T的乘積和F=fs/N=1/NT=1/Tp ,FT=1/N1 -Nk0 ,)()(102 NnkFnTjaaenTxTjkFX , ) ( ) (102 NnfnTjaae nTx Tjf X 210()( )NjknNanX jkF Tx nTe1 - Nk0 ,)()(102 NnkFnTjaaenTxTjkFX 1-Nk0 DFTx(n),T1N0nNkn2jae)n(xT)k(X第3頁(yè)/共20頁(yè)3.4 DFT3.4 DFT的應(yīng)用舉例的應(yīng)用舉例結(jié)論:(1)連續(xù)信號(hào)的頻譜特性可以通過(guò)對(duì)連續(xù)信號(hào)采樣，并進(jìn)行DFT再乘以T的近似方法得到。(2)連

4、續(xù)信號(hào)的時(shí)域采樣信號(hào)可以通過(guò)對(duì)其頻譜函數(shù)進(jìn)行采樣，并進(jìn)行IDFT再乘以1/T的近似方法得到。誤差現(xiàn)象：(1)分析的結(jié)果看不到xa(jf)的全部特性，只能看到N個(gè)離散采樣點(diǎn)的譜特性，這就是柵欄效應(yīng)。(2)如果持續(xù)時(shí)間無(wú)限長(zhǎng)，分析時(shí)要進(jìn)行截?cái)嗵幚恚@樣會(huì)產(chǎn)生頻譜混疊和泄漏現(xiàn)象，使譜分析產(chǎn)生誤差。(k)IDFTXaT1)n(xDFTx(n) T)k(Xa第4頁(yè)/共20頁(yè)3.4 DFT3.4 DFT的應(yīng)用舉例的應(yīng)用舉例【例】理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)及其頻響函數(shù)Ha(if)如圖所示。sin()( )athtt用DFT來(lái)分析ha(t)的頻率響應(yīng)特性。 由于ha(t)的持續(xù)時(shí)間為無(wú)窮長(zhǎng)， 所以

5、要截取一段Tp， 假設(shè)Tp=8 s，采樣間隔T=0.25 s， 采樣點(diǎn)數(shù)N=Tp/T=32。 頻域采樣間隔F=1/NT=0.125 Hz。 則H(k)=TDFTh(n), 0k31 ，其中：h(n)=ha(nT)R32(n)整個(gè)頻響有波動(dòng)，高頻部分誤差較大第5頁(yè)/共20頁(yè)3.4 DFT3.4 DFT的應(yīng)用舉例的應(yīng)用舉例對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析主要關(guān)心的兩個(gè)問(wèn)題： 譜分析的范圍fc ：受采樣頻率fs的限制，fc 2 fc 譜分辯率: F= fs / N 采樣點(diǎn)數(shù)N的選擇： N 2fc/F 信號(hào)觀察時(shí)間Tp的選擇： Tp 1/F提高F:(1)如保持N不變，必須fs 降低，導(dǎo)致譜分析范圍減小；(2) f

6、s 不變，增加采樣點(diǎn)數(shù)N，即增加Tp第6頁(yè)/共20頁(yè)例：對(duì)實(shí)信號(hào)進(jìn)行譜分析，要求譜分辨率F10 Hz，信號(hào)最高頻率fc=2.5kHz，試確定最小記錄時(shí)間TPmin，最大的采樣間隔Tmax，最少的采樣點(diǎn)數(shù)Nmin。如果fc不變，要求譜分辨率增加一倍，最少的采樣點(diǎn)數(shù)和最小的記錄時(shí)間是多少? 解：根據(jù)信號(hào)觀察時(shí)間TP的選擇原則：TP 1/F=1/10=0.1s 因?yàn)橐? fs2fc，最小的采樣頻率為2fc ，所以: 頻率分辨率提高一倍， 即：F=5 Hz TPmin = 1/ F = 1/5 = 0.2s3m a xm in110 .21 0222 5 0 0222 5 0 05 0 01 0cc

7、TsffNFTmax = 1/ 2fc =Nmin = 2fc / F3maxmin110.21022250022250050010ccTsffNFNmin = 2fc / Fm inm in22 5 0 01 0 0 0510 .25pNTs觀察時(shí)間增加一倍，采樣點(diǎn)數(shù)增加了一倍第7頁(yè)/共20頁(yè)2. 2. 用用DFTDFT對(duì)序列進(jìn)行譜分析對(duì)序列進(jìn)行譜分析 單位圓上的Z變換就是序列傅里葉變換。 X(ejw)是w的連續(xù)周期函數(shù)，對(duì)序列x(n)進(jìn)行N點(diǎn)DFT，得到X(k) ，X(k) 是在區(qū)間0, 2上的N點(diǎn)等間隔采樣。 序列x(n)的傅里葉變換可利用DFT來(lái)計(jì)算。()( )jjz eX eX z第

8、8頁(yè)/共20頁(yè)(2)(2)對(duì)周期序列的頻譜分析對(duì)周期序列的頻譜分析設(shè)序列 (n)=x(n+rN)是周期為N的周期序列，則其傅立葉變換為： 周期序列的頻譜結(jié)構(gòu)可以用離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù) 表示 取 的主值序列 進(jìn)行N點(diǎn)DFT，得到 周期序列的頻譜結(jié)構(gòu)也可以用其主值序列的離散傅里葉變換X(k)來(lái)表示(分析)x)kN2w()k(XN2)n(xFT)e(X1N0njw(k)R(k)XDFTx(n)X(k) (n),R(n)xx(n)(-k NN),e)n(x)n(xDFS)k(X1N0nknN2j若且為整數(shù)(k)R(k)XDFTx(n) X(k)(n),R(n)xx(n) , (-k ,) ()( ) (

9、NN若且為整數(shù)102NnknNje n xn xDFSk X(k)R(k)XDFTx(n)X(k) (n),R(n)xx(n)(-k NN),e )n(x)n( xDFS)k(X1N0nknN2j若且為整數(shù)(k)R(k)XDFTx(n)X(k) (n),R(n)xx(n)(-k NN),e)n(x)n(xDFS)k(X1N0nknN2j若且為整數(shù)x (n) 第9頁(yè)/共20頁(yè)令：n=n+rN，r=0,1,m-1，n=0,1N-1,則 整數(shù)整數(shù)所以整數(shù)整數(shù)m, 0m),mk(mX,m, 0m, me1m0rm/rk2 jk k (k)X k k M整數(shù)整數(shù)整數(shù)整數(shù)由于m, 0m),mk(mX,m,

10、 0m, me1m0rm/rk2 jk k (k)X k k Mx xM(n)= (n)RM(n) 即：M=mN，m為整數(shù)截取序列的長(zhǎng)度M為 (n)的整數(shù)個(gè)周期x1mN0nknmN2j1M0nknM2jMe )n(xe )n(x)k(Xrkm2j1m0r1N0nkmNn2j1m0r1N0nkmN)rNn(2jee )n( xe )rNn(x 1m0rrkm2jrkm2j1m0re)mk(Xe )mk(X設(shè)：n=n+rN第10頁(yè)/共20頁(yè)3.4 DFT3.4 DFT的應(yīng)用舉例的應(yīng)用舉例周期序列的頻譜結(jié)構(gòu)也可以用xM(k)表示 分析: (1)只有在k=rm時(shí)，XM(rm)=m ，表示 (n)的r次

11、諧波譜線，幅度擴(kuò)大了m倍，在其它k值， XM(k)0。 (2)X(r)與XM(rm)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的頻率相等。 (3)只要截取 (n)整數(shù)個(gè)周期進(jìn)行DFT，就可得到它的頻譜結(jié)構(gòu)，達(dá)到譜分析的目的。( ),( )0,Mkm XX kmk/m=整數(shù)k/m整數(shù) (),( )0,MkmXXkm( ),( )0,MkmXXkm2102(1 )0()()()()() ()()0 , 1,1MMMk nMMMnmNk nm NnxnxnRnXkD F Txnxnexnekm N X(r)xx第11頁(yè)/共20頁(yè)3.4 DFT3.4 DFT的應(yīng)用舉例的應(yīng)用舉例若事先不知道x (n)的周期，怎樣進(jìn)行頻譜分析： 先截取x

12、(n) M點(diǎn)，則求xM (n)的DFT： xM(n) = x (n)RM(n)， XM(k) =DFTxM(n)，0k M-1; 再截取x (n) 2M點(diǎn)，則求x2M(n)的DFT： x2M(n) = x (n)R2M(n)， X2M(k)= DFTx2M(n)，0k 2M-1; 將2次截取序列的頻譜進(jìn)行分析，是否滿(mǎn)足誤差要求，若不滿(mǎn)足，應(yīng)加大截取窗長(zhǎng)度（增加M值），再將結(jié)果進(jìn)行分析。第12頁(yè)/共20頁(yè)3.4 DFT3.4 DFT的應(yīng)用舉例的應(yīng)用舉例)()(4nRnx02)(jeX16點(diǎn)DFT相當(dāng)于在序列后補(bǔ)零第13頁(yè)/共20頁(yè)3.4 DFT3.4 DFT的應(yīng)用舉例的應(yīng)用舉例x(n)=cos

13、n/416點(diǎn)相當(dāng)于取周期序列的兩個(gè)周期進(jìn)行DFT第14頁(yè)/共20頁(yè)3.4 DFT3.4 DFT的應(yīng)用舉例的應(yīng)用舉例3用DFT進(jìn)行譜分析的誤差問(wèn)題 DFT(實(shí)際中用FFT計(jì)算)可用來(lái)對(duì)連續(xù)信號(hào)和數(shù)字信號(hào)進(jìn)行譜分析。在實(shí)際分析過(guò)程中，要對(duì)連續(xù)信號(hào)采樣和截?cái)啵纱丝赡墚a(chǎn)生誤差分析。 (1)頻譜混迭現(xiàn)象： 原因: 不滿(mǎn)足時(shí)域采樣定理 避免措施：采樣頻率fs2fc，以避免信號(hào)在w=處附近的混迭。 具體方法是：采樣時(shí)滿(mǎn)足采樣定理，采樣前對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)濾波，濾去信號(hào)中頻率高于fs/2的頻率分量。第15頁(yè)/共20頁(yè)3.4 DFT3.4 DFT的應(yīng)用舉例的應(yīng)用舉例(2)柵欄效應(yīng)： 現(xiàn)象：N點(diǎn)DFT是在區(qū)間0, 2

14、上的N點(diǎn)等間隔采樣，采樣點(diǎn)之間的頻譜函數(shù)值是不知道的，就好像從N+1個(gè)柵欄縫隙中觀看信號(hào)的頻譜特性，得到的是N個(gè)縫隙中看到的頻譜函數(shù)值，這種現(xiàn)象稱(chēng)為柵欄效應(yīng)。 原因：對(duì)信號(hào)的頻譜進(jìn)行有限點(diǎn)采樣。 后果：柵欄效應(yīng)可能漏掉(擋住)大的頻譜分量 減少柵欄效應(yīng)的措施：對(duì)原序列補(bǔ)0，增大N，以增加采樣點(diǎn)；第16頁(yè)/共20頁(yè)3.4 DFT3.4 DFT的應(yīng)用舉例的應(yīng)用舉例(3)截?cái)嘈?yīng)：原因: 對(duì)序列x(n)截?cái)嗨鸬摹o(wú)限長(zhǎng)序列x(n)截短成有限長(zhǎng)序列y(n)，即 y(n)=x(n)RN(n)，則 Y(ejw)=FTy(n)=1/(2)X(ejw)*RN(ejw) =1/(2) X(ej)*RN(ej

15、(w-)d，其中X(ejw)=FTx(n) RN(ejw)=FTRN(n)=e-jw (N-1)/2sin(wN/2) sin(w/2)=RN(w)ej(w)RN(w)w02NN2N矩形窗函數(shù)幅度譜主瓣旁瓣第17頁(yè)/共20頁(yè)3.4 DFT3.4 DFT的應(yīng)用舉例的應(yīng)用舉例例：x(n)=cos(w0n)，w0=/4，用DFT分析其頻譜特性。解：序列的幅度譜X(ejw)= (w-/4-2l)+ (w+/4-2l) 加矩形窗截?cái)嗪?Y(ejw)=1/2X(ejw)*RN(ejw)，定性圖如下可見(jiàn)，截?cái)嗪蟮念l譜Y(ejw)與原序列頻譜X(ejw)存在差別表現(xiàn)為 頻譜泄漏：在上圖中，原譜線是離散譜線，而截短后，原來(lái)的離散譜線向附近展寬，常稱(chēng)這種展寬為泄漏。使譜分辨率F降低。泄漏原因是截取的窗函數(shù)有限長(zhǎng)。l=-w0-44Y(ejw)N/2加矩形窗后幅度譜 w0-44X(ejw) x(n)=cos(w0n)的頻譜RN(w)w02NN2N矩形窗函數(shù)幅度頻第18頁(yè)/共20頁(yè)3.4 DFT3.4 DFT的應(yīng)用舉例的應(yīng)用舉例 譜間干擾：在主譜線兩邊形成很多旁瓣，引起不同頻率分量間的干擾（簡(jiǎn)稱(chēng)譜間干擾），影響頻譜分辨率F，旁瓣的信號(hào)很強(qiáng)